函數(shù)極值以及其求法

1、關(guān)于函數(shù)的極值及其求法第一張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月定義使得有則稱 為 的一個極大值點(diǎn) (或極小值點(diǎn) )極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn) .極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 .1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).2) 對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點(diǎn)(稱為可疑極值點(diǎn)). 稱 為 的一個極大值 (或極小值 )注意第二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月函數(shù)極值的求法定理1(函數(shù)取得極值的必要條件)(費(fèi)馬定理)定義注意:例如,設(shè)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù), 且在處取得極值,則第三張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2 (第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)設(shè)在點(diǎn) 處連續(xù) ,

2、(1) 若 時, 而時,則在點(diǎn)處取得極大值;(2) 若 時, 而時,則在點(diǎn)處取得極小值;(3) 若時, 的符號相同, 則在點(diǎn)處無極值.第四張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)第五張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例1解列表討論極大值極小值第六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月圖形如下第七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例2解第八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月的極值 .解得駐點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)是極大值點(diǎn)，其極大值為是極小值點(diǎn)，其極小值為例3 求函數(shù)不存在第九張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月定理3(第二充分條件)證同理可

3、證(2).二階導(dǎo)數(shù) , 且則 在點(diǎn) 取極大值 ;則 在點(diǎn) 取極小值 . 設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 處 具有第十張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例4解圖形如下第十一張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月注意:第十二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月的極值 . 解: 令得駐點(diǎn)因故 為極小值 ;又故需用極值的第一充分條件來判別.例5. 求函數(shù)第十三張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月則1) 當(dāng) 為偶數(shù)時,2) 當(dāng) 為奇數(shù)時,為極值點(diǎn) , 且不是極值點(diǎn) ,證定理4設(shè) f (x) 在點(diǎn) x0 處 具有n 階導(dǎo)數(shù)，且則 在點(diǎn) 取極大值 ;則 在點(diǎn) 取極小值 . 點(diǎn) 為拐點(diǎn)

4、 。第十四張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月故1) 當(dāng) 為偶數(shù)時,由極限的保號性,知又得故 在點(diǎn) 取極大值 。則 在點(diǎn) 取極小值 .同理可證，2) 當(dāng) 為奇數(shù)時,可證 在 點(diǎn)鄰近兩 側(cè)異號, 故 在點(diǎn) 不取極值 。第十五張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月故 當(dāng) 為奇數(shù)時,可證 在 點(diǎn)鄰近兩側(cè)異號, 故點(diǎn) 為拐點(diǎn) 。第十六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè) 其中a 為常數(shù) .證明: 時, f (0) 為 f (x)的極小值 ;時, f (0) 為 f (x)的極大值 .證 時, f (0) 為 f (x)的極小值 ;時, f (0) 為 f (x)的極大值 ;時, 例6

5、第十七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月f (0) 為 f (x)的極大值.第十八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月函數(shù)圖形的描繪步驟 :1. 確定函數(shù)的定義域 ,期性 ;2. 求并求出及3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn) ;4. 求漸近線 ;5. 確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形 .為 0 和不存在的點(diǎn) ;并考察其對稱性及周第十九張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例7解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.定義域（-，+ ）0,第二十張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極值點(diǎn)間斷點(diǎn)第二十一張，PPT共三十

6、二頁，創(chuàng)作于2022年6月作圖第二十二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是可疑極值點(diǎn).判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)第二十三張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考與練習(xí)1. 設(shè)則在點(diǎn) a 處( ).的導(dǎo)數(shù)存在 ,取得極大值 ;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示: 利用極限的保號性 .第二十四張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月在的某鄰域內(nèi)連續(xù), 且則在點(diǎn)處(A) 不可導(dǎo) ;(B) 可導(dǎo), 且(C) 取得極大值 ;(D) 取得極小值 .D提示: 利用極限的保號性 .2.

7、設(shè)第二十五張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月是方程的一個解,若且則在(A) 取得極大值 ;(B) 取得極小值 ;(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .提示:A3. 設(shè)第二十六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè) f ( x )連續(xù)，且 f ( a )是 f ( x )的極值，問 f 2( a )是否是 f 2( x )的極值 .證則得 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的極小值; 不妨設(shè) f ( a )是 f ( x )的極小值 ,有第二十七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月由 f ( x )在 x = a 處連續(xù)，得f 2( a )是 f 2( x )的極大值.同理可討論f ( a ) 是f ( x )的極大值的情況.由極限的保號性 , 知由得第二十八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月試問 為何值時,在時取得極值 ,還是極小.解: 由題意應(yīng)有又取得極大值為備用題 求出該極值,并指出它是極大第二