電磁場與電磁波理論基礎(chǔ)第二章作業(yè)題解答

1、第二章 靜電場 習題解答題2-1圖2-1已知半徑為的導體球面上分布著面電荷密度為的電荷，式中的為常數(shù)，試計算球面上的總電荷量。解 取球坐標系，球心位于原點中心，如圖所示。由球面積分，得到2-2兩個無限大平面相距為d，分別均勻分布著等面電荷密度的異性電荷，求兩平面外及兩平面間的電場強度。解 題2-2圖對于單一均勻帶電無限大平面，根據(jù)對稱性分析，計算可得上半空間和下半空間的電場為常矢量，且大小相等方向相反。由高斯定理，可得電場大小為 對于兩個相距為的d無限大均勻帶電平面，同樣可以得到題2-3圖 因此，有 2-3兩點電荷和，分別位于和處，求點處的電場強度。解 根據(jù)點電荷電場強度疊加原理，P點的電場強

2、度矢量為點S1和S1處點電荷在P處產(chǎn)生的電場強度的矢量和，即 式中 代入得到 2-7一個點電荷+q位于（-a, 0, 0）處，另一點電荷-2q位于（a, 0, 0）處，求電位等于零的面；空間有電場強度等于零的點嗎？題2-7圖解 根據(jù)點電荷電位疊加原理，有 式中 代入得到 電位為零，即令 簡化可得零電位面方程為 根據(jù)電位與電場強度的關(guān)系，有 要是電場強度為零，必有 即 此方程組無解，因此，空間沒有電場強度為零的點。題2-9圖2-9電場中有一半徑為a的圓柱體，已知圓柱內(nèi)、外的電位為 求：（1）圓柱體內(nèi)、外的電場強度；（2）這個圓柱是由什么材料構(gòu)成的，表面有電荷嗎？解 （1）根據(jù)電位與電場強度的關(guān)系

3、式得到 （2）由于圓柱體是等位體，且圓柱內(nèi)電場為零，判斷材料是導體。有根據(jù)電位邊界條件 而 所以 題2-11圖 2-11兩無限大平行板電極，距離為d，電位分別為0和U0，兩板間充滿電荷密度為的介質(zhì)，如圖所示。求兩極板間的電位分布和極板上的電荷密度。解 由于兩無限大平板間存在電荷密度分布，電位函數(shù)滿足泊松方程。又平板沿Y和Z方向無窮大，電位分布與x和z無關(guān)，因此，有 且滿足邊界條件 求解二階常微分方程，得到 應用邊界條件，有 所以 根據(jù)電位滿足的邊界條件 可得在下極板上表面的電荷密度分布為 下極板導體中的電位為零，有 代入，得到 對于上極板，導體中的電位為常數(shù) 有 上極板下表面電荷密度為 題2-

4、15圖2-15空間某區(qū)域中的電荷密度在柱坐標系中為（C/m3），應用高斯定理求電通密度D。解 根據(jù)題意知，電荷密度分布與、z無關(guān)，因此場分布具有柱對稱性，電通密度矢量D僅有分量，由高斯定理 取圓柱面為高斯面，有 2-17在真空中放置一無限長線電荷密度為l的細金屬棒，證明在徑向距離上的兩點1、2之間的電位差為 。題2-17圖解 首先計算無限長帶電金屬棒在空間任一點產(chǎn)生的電場。由于線電荷分布無限長，電通密度矢量僅有徑向分量，且在同一圓柱面上電通密度矢量的大小相等，根據(jù)高斯定理，有 由此得到電通密度矢量 而電場強度為 根據(jù)電位的定義，在徑向選擇一點為參考點，則有 2-25如圖所示，電荷Q 距離兩無限

5、大接地直角平面XY平面的垂直距離為d，距離XZ平面的垂直距離也是d。利用鏡像法求任一點P(0, y, z)的電位和電場。 題2-25圖解 兩個半無限大導體平面間的夾角，則所需鏡像電荷數(shù)為3。首先，移去沿Z軸放置的導體平板，在的空間填充的介質(zhì)，并在與放置+Q對稱的位置上放置等量異號電荷-Q，如圖所示。其次，移去Y軸放置的導體板，在的下半空間填充的介質(zhì)，并在與上半空間放置電荷的對稱位置上放置等量異號電荷。利用點電荷疊加原理，得到四個點電荷在P(0, y, z)點產(chǎn)生的電位為 驗證可得 根據(jù)唯一性定理，邊值問題的解為 2-26設(shè)一點電荷q與無限大接地導體平面的距離為d，如圖所示。求：（1）上半空間的

6、電位分布和電場強度；（2）導體平面上的感應電荷密度；（3）點電荷所受的力。 題2-26圖解 （1）采用鏡像法。移去接地導體板，用0的介質(zhì)填充，并在與+q對稱的位置S(0,0,-d)處放置一鏡像電荷-q，則上半空間任一點的電位為根據(jù)電場強度與電位的關(guān)系式，有 （2）根據(jù)電通密度矢量的邊界條件，得到感應電荷分布密度為 在導體表面上z=0，R1=R2，令R=R1=R2，得到導體表面的電場強度為 因此，有 （3）點電荷+q所受的力就是點電荷+q與鏡像電荷-q之間的作用力，也就等于點電荷+q與無限大導體板上感應電荷之間的作用力，方向向下，沿方向，即 2-27如圖所示，一個沿Z軸很長且中空的矩形金屬管，其

7、中三邊保持零電位，第四邊電位為U，求：（1）當U=U0時，管內(nèi)的電位分布；（2）當時，管內(nèi)的電位分布。解 題2-27圖由于矩形金屬管沿Z軸方向無限長，故金屬管內(nèi)電位與z無關(guān)，由此得到金屬管電位分布的邊值問題為 令 代入拉普拉斯方程，得到X(x) 和Y(y)滿足的本征方程為 常數(shù)kx和ky滿足 由邊界條件可得本征函數(shù)滿足的邊界條件為 本征函數(shù)X(x)在邊界上有一個零點，其解應取雙曲函數(shù)形式本征函數(shù)Y(y)在邊界有兩個零點，Y(y)取三角函數(shù)形式 根據(jù)邊界條件，有 而 顯然，D不能為零，否則電位函數(shù)恒為零，因此 由于 得到 本征函數(shù)X(x)的解形式為 根據(jù)線性疊加原理，得到矩形金屬管內(nèi)電位的通解為

8、式中Bm為待定系數(shù)。 利用非零邊界條件，有 該式就是奇周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式，所以需要把U在(-b, b)進行奇周期延拓，即取為奇函數(shù)，然后求傅立葉級數(shù)的系數(shù)，有則Bm為將Bm代入，得到邊值問題的解為 或(2) 當時，有比較兩邊系數(shù)，得到因此，電位分布為2-28兩平行的無限大導體平面，其間距離為b，在兩板間沿X方向有一無限長的極薄的導體片，其坐標由y=d到y(tǒng)=b，如圖所示。上板和薄片保持電位為U0，下板為零電位，求板間的電位分布。設(shè)在薄片平面上，從y=0到y(tǒng)=d電位線性變化，即。 題2-28圖解 由于平板沿X方向無窮大，且與兩區(qū)域?qū)ΨQ，因此兩區(qū)域間的電位分布相同，僅需求解區(qū)域的電位分布。為了求解電位分布，應用電位疊加原理，把電位分布看作是由如題2-28圖（a）和（b）兩個電位分布的疊加。對于題2-28（a）兩平行板之間的電位，有 （b）題2-28圖對于題2-28圖（b）所示的兩板間的電位分布，首先列出邊界條件為 根據(jù)邊界條件 可知電位沿Y方向應