幾何課題2-平面向量課件

1、 項(xiàng)目2.1向量的概念案例導(dǎo)入遇到問(wèn)題,調(diào)整好狀態(tài)應(yīng)對(duì)吧! 圖2-1圖2-2圖2-3圖2-4項(xiàng)目2.2向量的加減2.2.1向量的加法案例導(dǎo)入遇到問(wèn)題,調(diào)整好狀態(tài)應(yīng)對(duì)吧!如圖2-5所示,車(chē)床在加工一根軸時(shí),刀頭先從A點(diǎn)出發(fā),向前移動(dòng)到B點(diǎn),再向左平移到C點(diǎn)后開(kāi)始切削,到D點(diǎn)位置切削結(jié)束,圖2-5刀頭退出到E點(diǎn).根據(jù)每段過(guò)程刀頭的位移探究:(1)+=;(2)+=.【分析】根據(jù)位移的概念可知,位移是質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置移動(dòng),與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線無(wú)關(guān). 1.向量加法的三角形法則 如圖2-6a所示,=a,=b,則就是向量a和向量b的和,記作:a+b=+=, 這就是向量加法的三角形法則.圖2-6b所示的是兩個(gè)平行(

2、共線)向量和的特殊情況. 圖2-62.向量加法運(yùn)算律(1)加法交換律a+b=;(2)加法結(jié)合律(a+b)+c=.3.向量加法的平行四邊形法則如圖2-7所示,以向量=a、=b為邊作平行四邊形ABCD,那么對(duì)角線就是向量a、b的和,即a+b=+=+=,這個(gè)法則叫做向量求和的平行四邊形法則. 圖2-7 1.如圖2-8所示,已知下列各組向量a,b,求a+b. 圖2-8圖2-92.如圖2-9所示,填空: 習(xí)題1.一架飛機(jī)向北飛行300km,然后改變方向向西飛行300km,求飛機(jī)飛行的總路程和總位移.圖2-102.現(xiàn)有一輛小車(chē)在農(nóng)耕路上拋錨,村里的農(nóng)民趕來(lái)一匹牛和一匹馬來(lái)幫助車(chē)主拉車(chē)(圖2-10).已知牛

3、的拉力F1的大小為30 0N,馬的拉力F2的大小為200N,兩根繩子之間的夾角為30,則牛和馬拉小車(chē)的合力有多大?2.2.2向量的減法案例導(dǎo)入遇到問(wèn)題,調(diào)整好狀態(tài)應(yīng)對(duì)吧!某輪船計(jì)劃從江的西岸A處向正對(duì)岸B處以4m/s的速度前進(jìn),水流速度為3m/s,方向向南,求船長(zhǎng)應(yīng)執(zhí)行航行的速度的大小和方向.圖2-11【分析】如圖2-11所示,船要沿AB線行進(jìn),則在行駛中還需克服水流向南的影響,所以船實(shí)際航行的方向應(yīng)該是向東偏北.由向量的加法可知,船本身的速度和水流速度的合速度為4m/s,方向向正東.這樣,問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為已知向量和向量,并且+=,求的大小和方向.叫做向量a與b的差,圖2-12 1.向量的差如圖2

4、-12所示,已知向量a,b,作=a,作=b,則b+=a.向量并記作a-b,即=-=-. 2.向量差的求法如果把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起,則這兩個(gè)向量的差是減向量的點(diǎn)到被減向量的點(diǎn)的向量.3.相反向量與向量a等長(zhǎng)且方向相反的向量叫做a的相反向量,記作-a,并有a+(-a)=0.圖2-13例1如圖2-13所示,已知平行四邊形ABCD中,=a,=b,用a與b分別表示向量,. 【解】連結(jié)AC,DB,由向量加法的三角形法則,得=+=a+b,依向量減法的定義得=-=a-b. 1.如圖2-14所示,已知下列各組向量a,b,求作a-b. 圖2-14項(xiàng)目2.3數(shù)乘向量2.3.1數(shù)乘向量的概念案例導(dǎo)入遇到問(wèn)題,調(diào)整

5、好狀態(tài)應(yīng)對(duì)吧! (1)請(qǐng)根據(jù)向量的加法,作出圖2-16中所給向量的和.圖2-16(2)請(qǐng)測(cè)量表示向量a的有向線段的長(zhǎng)度,以及上題中你用于 表示向量和的有向線段的長(zhǎng)度,并觀察它們的方向與向量a的關(guān)系. (3)觀察2個(gè)-a相加,其方向、長(zhǎng)度與向量-a的關(guān)系.(4)思考:若將圖2-16b中的5個(gè)改為個(gè),則它們的向量和是什么?如何表示?【分析】通過(guò)觀察,不難發(fā)現(xiàn),2個(gè)或5個(gè)a相加后,仍是一個(gè)向量.通過(guò)測(cè)量,向量2個(gè)a與向量5個(gè)a的長(zhǎng)度分別是向量a長(zhǎng)度的2倍與5倍,它們的方向均與向量a相同.而2個(gè)向量-a相加時(shí),其方向與向量-a相同,與向量a的方向相反,長(zhǎng)度是向量-a長(zhǎng)度的2倍,若將圖2-16b中的5改

6、為,則它們的向量和就是個(gè)a. 數(shù)乘向量的一般定義:實(shí)數(shù)和向量a的乘積是一個(gè)向量,記作a,|a|=|a|.a的方向:如果a0,當(dāng)0時(shí),與a的方向;當(dāng)0時(shí),與a的方向;當(dāng)=0或a=0時(shí),0a=0=0.a中的實(shí)數(shù),叫做向量a的系數(shù).數(shù)乘向量的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮小. 數(shù)乘向量運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律:設(shè)、為實(shí)數(shù),則(1)(+)a=+;(2)(a)=;(3)(a+b)=+.想一想你能用實(shí)際數(shù)值來(lái)驗(yàn)證上述運(yùn)算律嗎?2.求未知向量x:(1)x+2(a+x)=0;(2)3a+4(b-x)=0;(3)(a+2b)-(5a-2b)+x=0.3.如圖2-17所示的平行四邊形ABCD,填空

7、:圖2-172.3.2向量平行的條件案例導(dǎo)入遇到問(wèn)題,調(diào)整好狀態(tài)應(yīng)對(duì)吧!如果向量a、b均為非零向量,并且a=-3b,那么,你能判斷向量a與b的位置關(guān)系嗎?如果是a=b(0)呢?【分析】由數(shù)乘向量可知,向量-3b是將向量b延長(zhǎng)3倍,而且方向相反.所以,向量a與b的位置關(guān)系應(yīng)該是共線或平行.同理,對(duì)于a=b(0),兩者的位置關(guān)系還是共線或平行. 1.向量的平行如果一些向量的基線互相平行或重合,則稱(chēng)這些向量互相平行.數(shù)學(xué)上規(guī)定零向量與任何一個(gè)向量.2.平行向量基本定理如果向量b0,則ab的充分必要條件是:存在唯一實(shí)數(shù),使a=b. 即如果b0,則aba=b(R). 圖2-183.單位向量給定一個(gè)非零向

8、量a,與a同方向且長(zhǎng)度等于的向量叫單位向量.a的單位向量通常記作a0,由數(shù)乘向量的定義可知:a=|a|a0或 a0=.例如圖2-18所示,MN是ABC的中位線,求證:MN=BC,且MNBC.1.如圖2-19所示,已知e1,e2,用e1,e2表示向量a,b,c,d.圖2-192.根據(jù)下列各題中的條件,判斷四邊形ABCD是哪種四邊形:項(xiàng)目2.4向量的直角坐標(biāo)2.4.1向量的分解案例導(dǎo)入遇到問(wèn)題,調(diào)整好狀態(tài)應(yīng)對(duì)吧!如圖2-20所示,放在水平地面上的木塊,受到斜向上方的拉力F,沿地面向右勻速運(yùn)動(dòng).木塊在此過(guò)程中受到哪些力的作用,它沿水平地面向前運(yùn)動(dòng)的引力從何而來(lái)? 圖2-20【分析】木塊在沒(méi)受到斜上方

9、的拉力時(shí),受到重力和地面對(duì)它的支持力,而力F對(duì)它實(shí)際上產(chǎn)生兩個(gè)方向上的作用:豎直向上的拉力F1和水平向右的拉力F2.豎直向上的拉力“抵消”了部分重力;水平向右的拉力則是使木塊沿水平地面向右運(yùn)動(dòng)的“引力”,由于木塊勻速前進(jìn),所以它的大小等于木塊與地面之間的摩擦力. 1.平面向量分解定理如果e1和e2是同一平面上的兩個(gè)不平行的向量,那么對(duì)該平面上的任一向量a,存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)a1,a2,使a=a1e1+a2e2.這個(gè)定理告訴我們:任何一個(gè)向量都可以沿兩個(gè)不平行的方向分解為唯一一對(duì)向量的.特別地,一個(gè)向量分解為兩個(gè)相互垂直的向量之和時(shí),叫做向量的正交分解,圖2-20中,拉力F在水平方向和豎直方向分解

10、為F1、F2,就是向量的.正交分解在力學(xué)分析中應(yīng)用尤為廣泛.2.線性組合a1e1+a2e2叫做e1和e2的線性組合.想一想在上節(jié)內(nèi)容的練一練第一題中,你能從向量分解的角度來(lái)解釋如何用e1、e2表示其他四個(gè)向量嗎?由平面向量分解定理可知,如果e1和e2不平行,那么e1和e2的所有線性組合a1e1+a2e2構(gòu)成平面上的全體向量,這時(shí)e1,e2叫做平面上全體向量的一個(gè)基底,e1,e2叫做基向量.例1如圖2-21所示,已知向量e1、e2,用e1、e2表示向量,.【解】由圖可得,=3e1+2e2;=-2e1+e2;=6e1-3e2;=-3e1+3e2.圖2-21例2如圖2-22所示,ABCD的兩條對(duì)角線

11、相交于點(diǎn)M,設(shè)=a,=b,用向量a、b表示、.圖2-22 1.如圖2-23所示,用向量e1、e2表示向量,. 圖2-232.如圖2-24所示,已知ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M, 設(shè)=a,=b,用向量a、b表示,.3.如圖2-25所示,兩人提一桶水,兩人手臂間的夾角大些省力,還是小些省力?說(shuō)明理由.圖2-24圖2-252.4.2向量直角坐標(biāo)的概念案例導(dǎo)入遇到問(wèn)題,調(diào)整好狀態(tài)應(yīng)對(duì)吧!圖2-26如圖2-26所示,在平面直角坐標(biāo)系中,分別在x軸和y軸上取單位向量e1、e2.向量a的起點(diǎn)、終點(diǎn)所對(duì)坐標(biāo)為(1,1),(4,4),你能用e1、e2表示a嗎?【分析】根據(jù)向量的正交分解可知,向量a可看成是3e

12、1和3e2的和,所以a=3e1+3e2.想一想對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任一向量b,能用案例中的e1、e2來(lái)表示嗎? 在直角坐標(biāo)系Oxy內(nèi),取與x軸和y軸方向相同的兩個(gè)單位向量e1、e2,則對(duì)Oxy平面內(nèi)的任一向量a,由平面向量分解定理可知,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使得a=+,(1)圖2-27(x,y)叫做向量a在直角坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo),記作a=(x,y).(2)實(shí)際上,(2)式只是(1)式的縮寫(xiě).其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo).e1、e2叫做直角坐標(biāo)平面上的.想一想請(qǐng)寫(xiě)出以下向量的坐標(biāo):e1=,e2=,0=.例如圖2-27所示,試用向量e1、e2表示向量a、b、c、

13、d,并求出它們的坐標(biāo).【解】a=3e1+2e2=(3,2);b=-2e1+4e2=(-2,4);c=-2e1-2e2=(-2,-2);d=2e1-3e2=(2,-3).2.4.3向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算案例導(dǎo)入遇到問(wèn)題,調(diào)整好狀態(tài)應(yīng)對(duì)吧!已知a=(1,2),b=(2,3),在直角坐標(biāo)系中求以下向量的坐標(biāo):(1)a+b;(2)a-b;(3)2a.同時(shí)探究它們的坐標(biāo)和a、b的坐標(biāo)有何關(guān)系.【分析】通過(guò)作圖法,利用向量加減的三角形法則或平行四邊形法則,不難求出兩個(gè)向量的和與差,再利用基底法就能得到(1)和(2)題的坐標(biāo):(1)a+b=(3,5);(2)a-b=(-1,-1).通過(guò)作圖,將a延長(zhǎng)一倍即可得2

14、a,由三角形相似的相關(guān)知識(shí)即可得2a的坐標(biāo)為(2,4).通過(guò)比較,不難發(fā)現(xiàn),兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo),等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差;數(shù)乘向量所得向量的坐標(biāo),等于數(shù)乘上向量的相應(yīng)坐標(biāo).設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a+b=(a1,a2)+(b1,b2)=(,);a-b=(a1,a2)-(b1,b2)=(,);a=(a1,a2)=(,).想一想你能證明上邊的式子嗎?(提示:a=(a1,a2)=a1e1+a2e2,b=(b1,b2)=b1e1+b2e2.)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算,開(kāi)辟了幾何問(wèn)題用代數(shù)方法解決的途徑,對(duì)向量的廣泛應(yīng)用有重要意義.由于a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a=

15、b可化為(a1,a2)=(b1,b2)=(b1,b2),即a1=b1(1)a2=b2(2)(1)、(2)兩式的兩邊分別乘以b2、b1,得a1b2=b1b2(3)a2b1=b2b1(4)(3)-(4)得a1b2-a2b1=0(5)想一想前面我們已了解向量平行的條件:如果b0,則aba=b(R).我們能否從坐標(biāo)角度判斷兩個(gè)向量平行的充要條件? (5)式就是兩個(gè)向量平行的充分必要條件.如果向量b不與坐標(biāo)軸平行,那么b1、b2均不為零,(5)式還可以轉(zhuǎn)化為=(6)例1已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐標(biāo).【解】a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);圖2-2

16、8a-b=(2, 1)-(-3, 4)=(5,-3);3a+4b=3(2, 1)+4(-3, 4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).例2如圖2-28所示,已知點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),求向量的坐標(biāo).【解】=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)例3已知a=(4,2),b=(6,y),且a/b,求y.【解】 因?yàn)閍/b所以4y-26=0則y=3. 1.已知向量a、b的坐標(biāo),求a+b,a-b的坐標(biāo):(1)a=(-2,4),b=(5,2);(2)a=(4,3),b=(-3,8);(3)a=(2,3),b=(-2,-3);(4)a=(3,0),b=(0

17、,4).2.已知a=(3,1),b=(-1,4),求4a+3b的坐標(biāo).3.已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),求,的坐標(biāo):(1)A(3,5),B(6,9);(2)A(-3,4),B(6,3);(3)A(3,0),B(0,5);(4)A(-3,6),B(-8,-7).4.已知點(diǎn)A(-2,-1),B(0,4),且a=(1,y),若a,求y.5.已知點(diǎn)A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1),求證:.6.已知點(diǎn)A(-1,1),B(0,-2),C(3,0),D(2,3),求證:四邊形ABCD是平行四邊形.1.如圖2-29所示,用向量e1、e2表示向量a、b、c、d.2.如圖2-30所示,在ABC中,點(diǎn)

18、D、E分別是AB、BC的中點(diǎn),設(shè)=a,=b,試用a、b表示向量,.圖2-29圖2-303.已知a=(4,3),b=(-2,0),c=(0,6),求3a+b-2c的坐標(biāo).4.已知a=(1,2),b=(2,3),實(shí)數(shù)x,y滿足等式xa+yb=(3,4),求x,y.5.已知向量a和它始點(diǎn)A的坐標(biāo),求向量終點(diǎn)B的坐標(biāo):(1)a=(-2,1),A(0,0);(2)a=(1,3),A(-1,5);(3)a=(-2,-5),A(3,7).6.當(dāng)x為何值時(shí),a=(2,3)與b=(x,-6)共線?7.已知點(diǎn)A(-2,-3),B(2,1),C(1,4),D(-7,-7),問(wèn)與是否平行?8.已知ABCD的頂點(diǎn)A(-

19、1,-2),B(3,-1),C(5,6),求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).項(xiàng)目2.5向量的內(nèi)積2.5.1向量的內(nèi)積及其運(yùn)算律案例導(dǎo)入遇到問(wèn)題,調(diào)整好狀態(tài)應(yīng)對(duì)吧!在物理學(xué)中,我們經(jīng)常遇到一個(gè)力做了多少功的問(wèn)題.如圖2-31所示,拉力F拉著木塊勻速前進(jìn),使木塊發(fā)生位移s,那么在此過(guò)程中F究竟做了多少功? 圖2-31【分析】要求力做功多少,關(guān)鍵在于要知道物體在力的方向上移動(dòng)的距離.如圖2-31所示,木塊的位移s是水平方向,那么拉力F所做的功應(yīng)該是它在水平方向上的分力F2.由三角函數(shù)可知,|F2|=|F|cos,所以在此過(guò)程中,拉力對(duì)木塊所做的功W=|F|s|cos.由力所做的功出發(fā),我們引入向量的內(nèi)積運(yùn)算. 1.向

20、量?jī)?nèi)積的概念已知兩個(gè)非零向量a和b,將它們的始點(diǎn)置于一起時(shí),兩個(gè)向量間便有夾角(0180),這便是向量a與b的夾角.當(dāng)=0時(shí),a與b的方向;當(dāng)=180時(shí),a與b的方向;當(dāng)=90時(shí),我們說(shuō)a與b,記作.已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為,我們把數(shù)量|a|b|cos叫做a與b的內(nèi)積(也叫做數(shù)量積),記作ab,即ab=|a|b|cos.想一想兩個(gè)向量的內(nèi)積還是向量嗎?和呢?差呢?數(shù)乘向量呢?規(guī)定零向量與任一向量的內(nèi)積為0.由向量的內(nèi)積的定義,我們可以發(fā)現(xiàn),案例導(dǎo)入中的拉力F所做的功就是向量F和s的內(nèi)積.2.向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)由向量?jī)?nèi)積的定義,可以得到向量?jī)?nèi)積有如下重要性質(zhì):設(shè)a、b都是非零向量,e是與

21、b方向相同的單位向量,是a與e的夾角.則(1)ea=ae=|a|cos;(2)abab=;(3)aa=|a|20或|a|=;(4)|ab|a|b|.想一想以上性質(zhì)如何證明呢?根據(jù)式子特點(diǎn),你能說(shuō)說(shuō)它們的用途嗎? 3.向量?jī)?nèi)積運(yùn)算律已知向量a、b、c和實(shí)數(shù),向量的內(nèi)積滿足下列運(yùn)算律:(1)ab=(交換律);(2)(a)b=(ab)=a(b);(3)(a+b)c=+.例1已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角=120,求ab.【解】ab=|a|b|cos=54cos120=-10. 例2已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角=60,求(a+2b)(a-3b).【解】(a+2b)(a-3b)=a

22、2-ab-6b2 =|a|2-|a|b|cos-6|b|2 =62-64cos60-642=-72.圖2-32例3求證:菱形的兩條對(duì)角線互相垂直.已知:ABCD是菱形,AC和BD是它的兩條對(duì)角線(圖2-32).求證:ACBD.【證明】因?yàn)?+,=-,所以=(+)(-)=|2-|2.因?yàn)閨=|,所以=0,即ACBD. 1.已知|a|,|b|,a與b的夾角,求ab.(1)|a|=8,|b|=4,=60;(2)|a|=7,|b|=12,=120;(3)|a|=4,|b|=2,=90.2.已知|a|=3,|b|=4,a與b的夾角=60,求(a+2b)(a-b).3.已知|a|=6,|b|=8,a與b的

23、夾角=120,求(a+b)(a-b),|a+b|.2.5.2向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算案例導(dǎo)入遇到問(wèn)題,調(diào)整好狀態(tài)應(yīng)對(duì)吧!已知兩個(gè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),請(qǐng)嘗試用a和b的坐標(biāo)表示ab.【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的定義可知,a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,ab=(x1e1+y1e2)(x2e1+y2e2)=x1x2+x1y2e1e2+y1x2e2e1+y1y2 因?yàn)?=1, e1e2=e2e1=0, =1所以 ab=x1x2+y1y2(1) 由上面案例可見(jiàn),兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.對(duì)于向量a=(x,y),由| a|2= aa,有|a|=.(2)如果向量

24、a的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),這樣|a|=.(3)這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.例1已知a=(3,-1),b=(1,-2),求ab,|a|,|b|.【解】ab=31+(-1)(-2)=5;|a|=;|b|=.例2已知點(diǎn)A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷ABC是不是直角三角形.【解】因?yàn)?(2,3)-(1,2)=(1,1), =(-2,5)-(1,2)=(-3,3)=(-2,5)-(2,3)=(-4,2),所以=1(-3)+13=0. 所以ABC是直角三角形. 1.已知向量a、b的坐標(biāo),求ab,|a|,|b|.(1)a

25、=(3,4),b=(-4,3);(2)a=(3,-4),b=(5,2);(3)a=(5,-12),b=(1,-2);(4)a=(3,1),b=(3,-9).2.已知a=(2,3),b=(-2,4),c=(-1,-2),求ab,a(b+c),(a+b)2.3.已知點(diǎn)A(1,2),B(-5,8),C(-2,-1),試判斷ABC是不是直角三角形.項(xiàng)目2.6向量的應(yīng)用2.6.1向量在力學(xué)中的應(yīng)用力向量往往具有三要素大小、方向和作用點(diǎn).在不計(jì)作用點(diǎn)的情況下,我們可以用向量的平行四邊形法則進(jìn)行計(jì)算,如求合力,一個(gè)力在某方向上的分力等. 圖2-33例1把豎直向下的150N的力F分解為兩個(gè)分力,分力F1的方向

26、水平向東,分力F2的方向和豎直方向成30角,求出兩個(gè)分力的大小.【解】如圖2-33所示,可知|F1|=|F|tan30=150N=50N;圖2-34|F2|=100N. 例2如圖2-34所示,為了防止電線桿傾倒,常在兩側(cè)對(duì)稱(chēng)地拉上鋼繩.設(shè)兩條鋼繩間的夾角是60,兩條鋼繩的拉力都是300N,求兩條鋼繩作用在電線桿上的合力大小. 圖2-35【解】如圖2-34所示,設(shè)兩條鋼繩作用在電線桿上的合力分別為、,則為、的合力.根據(jù)題意,有|=|cos30=300N=150N,所以|=300N.例3如圖2-35所示,拴著物體A的繩子通過(guò)一個(gè)定滑輪拉著物體B,拉著物體B的輕繩與豎直方向成60.已知物體A重40N

27、, 物體B重100N,這時(shí),物體B對(duì)地面的壓力有多大?(提示:物體B對(duì)地面的壓力=物體B的重量-繩子拉B時(shí)產(chǎn)生的豎直向上的作用力) 【解】 設(shè)F1、F2分別為繩子在物體B上產(chǎn)生的豎直方向和水平方向上的拉力,則這兩個(gè)力的合力大小剛好為物體A的重量GA,大小為40N.所以|F1|=|GA|cos60=40N=20N,則物體B對(duì)地面的壓力大小為|GB|-|F1|=100N-20N=80N. 2.6.2向量在電學(xué)中的應(yīng)用在電學(xué)中,正弦交流電中的相量經(jīng)常應(yīng)用向量的加減方法來(lái)計(jì)算,即把電動(dòng)勢(shì)、電壓、電流看作向量,然后利用向量的平行四邊形法則進(jìn)行加減運(yùn)算,以求相量的和與差.為了區(qū)分相量和向量,在表示相量時(shí),

28、往往用大寫(xiě)字母上加黑點(diǎn)的符號(hào)來(lái)表示,如用、和分別表示電動(dòng)勢(shì)、電壓和電流的有效值相量,用、和分別表示電動(dòng)勢(shì)、電壓和電流的最大值相量. 圖2-36在正弦交流電中,u=sin其中,為電壓的最大值,為角頻率,u為初相.在相量相加時(shí),先作出與正弦量相對(duì)應(yīng)的相量,再按平行四邊形法則(向量的加法法則)求和(圖2-36),和的長(zhǎng)度表示正弦量和的有效值(或最大值),和與x軸正方向的夾角為正弦量和的初相,角頻率不變.相量相減時(shí),將減量視為加上一個(gè)負(fù)的相量,即加上一個(gè)反方向的相量,然后再按平行四邊形法則求和,即可得結(jié)果.例1已知:u1=3sinV,u2=4sinV.求:u=u1+u2和u=u1-u2的瞬時(shí)值表達(dá)式.

29、 【解】(1)根據(jù)題意作出u1、u2的相量圖,利用平行四邊形法則作u=u1+u2的相量圖,如圖2-37a所示.則=V=5V,=arctan=arctan53 (為u1超前u2的角度).于是可得u=u1+u2的三要素為=5V,=314rad/s,u=1-=30-53=-23,所以u(píng)=u1+u2=5sinV (2)同理,由u=u1-u2=u1+,畫(huà)出-u2的相量,再運(yùn)用平行四邊形法則求u,如圖2-37b所示.則=V=5V,=arctan=arctan53(為u超前u1的角度).于是可得u=u1-u2的三要素為=5V,=314rad/s ,u=+1=53+30=83,所以 u=u1-u2=5sinV

30、. 圖2-37例2已知阻值為10的電阻兩端加u=10sinV的電壓,求流過(guò)電流的瞬時(shí)表達(dá)式.【解】因?yàn)閡=10sinV所以i=sinA 求交流電壓u1=220sin(100t+/6)V,u2=380sin(100t+/3)V之間的相位差,指出它們之間的相位關(guān)系,并畫(huà)出它們的波形圖和相量圖。 習(xí)題1.根據(jù)圖2-38,分別寫(xiě)出i1和i2的解析式(設(shè)它們的角頻率都為),然后用相量作圖法求i1和i2的和,并在圖上量取長(zhǎng)度后寫(xiě)出i1+i2的瞬時(shí)值表達(dá)式。2.一個(gè)1000的純電阻負(fù)載,接到u=311sin(314t+30)V的電源上,求負(fù)載中電流瞬時(shí)值表達(dá)式,并畫(huà)出電壓和電流的相量圖。圖2-383.已知加在2F電容器上的交流電壓為u=220sin(100t+/6)V,求通過(guò)電容器的電流,寫(xiě)出電流瞬時(shí)值的表達(dá)式,并畫(huà)出電流、電壓的相量圖。小結(jié)與復(fù)習(xí)1.向量的概念向量是既有方向又有大小的量.向量一般用有向線段來(lái)表示,其中有向線段的方向用來(lái)表示向量的方向,線段的長(zhǎng)度表示向量的大小.要判斷兩個(gè)向量是否相等,我們要看這兩個(gè)向量的大小是否相等,并且方向是否相同.長(zhǎng)度等于0的向量,叫做零向量,記作0,零向量的方向不確定. 如果=a,那么的長(zhǎng)度表示向量a的大小,也叫a的長(zhǎng)(或模),記作|a|或|.2.向量的平行如果表示