求圓錐曲線方程5大類(lèi)型

1、求圓錐曲線方程 5 大類(lèi)型求圓錐曲線方程分為五個(gè)類(lèi)型，求解策略一般有以下幾種：幾何分析+方程思想； 設(shè)而不求+韋達(dá)定理定義+數(shù)形結(jié)合； 參數(shù)法+方程思想類(lèi)型 1待定系數(shù)法待定系數(shù)法本質(zhì)就是通過(guò)對(duì)幾何特征進(jìn)行分析，利用圖形，結(jié)合圓錐曲線的定義與幾何性質(zhì)，分析圖中已知量與未知量之間的關(guān)系，列出含有待定系數(shù)的方程，解出待定的系數(shù)即可。22例 1.2014 年全國(guó)卷（理科 20）設(shè) 1 、 2 分別是橢圓 :+22= 1( 0) 的左、右焦點(diǎn)， 是 上一點(diǎn)且 2 與 軸垂直，直線 1 與 的另一個(gè)交點(diǎn)為 若直線 的斜率為34，求 的離心率； 若直線 在 軸上的截距為 2，且 = 5 1 ，求 ，【解法

2、分析】第小題利用試題提供的幾何位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)和方程思想，通過(guò)待定系數(shù)法進(jìn)行求解。著重考查橢圓的幾何性質(zhì)，將幾何特征轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，突顯數(shù)形結(jié)合的思想。MF由題知，1F F1 2=34b2a12c=34,且a2= +b c .聯(lián)立整理得：2e2 2 2+3e-2 0，=解得e=12. C的離心率為12.b2由三角形中位線知識(shí)可知，MF 2 2，即 4.= = 2a設(shè)F N m,由題可知MF 4m.由兩直角三角形相似，可得= = 1 13M , N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為c,- c.由焦半徑公式可得:23MF a ec, NF a e(- c)，且MF : NF 4:1,e= +

3、= + = =1 1 1 12ca,a2= +b c .聯(lián)立解得a2 2= =7,b 27.所以，a=7,b=2 7類(lèi)型 2相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程動(dòng)點(diǎn) P(x，y)依賴與另一個(gè)動(dòng)點(diǎn) Q(x0，y0)變化而變化，并且動(dòng)點(diǎn) Q(x0，y0)又在另一個(gè)已知曲線上，則可先用 x，y 表示 x0，y0，再將 x0，y0 代入已知曲線，可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。2例 2、2017 年全國(guó) 卷（理科 20）設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M 在橢圓 C：2+ 2 = 1 上，過(guò) M作 x 軸的垂線，垂足為 N，點(diǎn) P 滿足 = 2（ ） 求點(diǎn) P 的軌跡方程；（ ） 設(shè)點(diǎn) Q 在直線 = 3 上，且 = 1，證明：過(guò)

4、點(diǎn) P 且垂直于 OQ 的直線 l 過(guò) C的左焦點(diǎn) F【解法分析】本例第小題充分利用主動(dòng)點(diǎn) M 在橢圓上，而從動(dòng)點(diǎn) N 與主動(dòng)點(diǎn) M 之間存在橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)有 倍的關(guān)系，可利用相關(guān)點(diǎn)法進(jìn)行求解。設(shè) P(x，y) ，易知 N(x，0) NP ，y 1 0 2 2 (0 ) 又 NM NP ， y 1 ，又 在橢圓上M x， y M 2 2x 2 y 1，即 x2 y2 2 2 2 設(shè)點(diǎn)Q(3，y ) ， P(x ，y ) ， (y 0) ，Q P P Q由已知：OP PQ (x ，y )(3 y ，y y ) 1，P P P Q P 2OP OQ OP OP OQ OP 1， 2 ，OP O

5、Q OP 1 3 x x y y 3x y y 3P Q P Q P P Qy設(shè)直線OQ ： y x ，Q3因?yàn)橹本€與 垂直lOQ kl3yQ3故直線方程為 ，y (x x ) yP PyQ令 y 0 ，得 y y 3(x x ) ，P Q P1 y y x xP Q P3，1 x y y x ，P Q P3 y y 3 3x ，P Q Py1 x (3 3x ) x 1，P P3E D若 y 0 ，則 3 3， x ， y 1， x 1Q P P PA O B x直線OQ 方程為 y 0 ，直線方程為 x 1，C直線過(guò)點(diǎn) (1，0) ，為橢圓C 的左焦點(diǎn)類(lèi)型 3定義法求軌跡方程先根據(jù)條件確定

6、動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。例 3、2016 年全國(guó)卷（理科 20）設(shè)圓 2 + 2 + 2 15 = 0 的圓心為 ，直 線 過(guò)點(diǎn) (1,0)且與 軸不重合， 交圓 于 ， 兩點(diǎn)，過(guò) 作 的平行線交 于點(diǎn) 證明 + 為定值，并寫(xiě)出點(diǎn) 的軌跡方程； 設(shè)點(diǎn) 的軌跡為曲線 1，直線 交 1 于 ， 兩點(diǎn)，過(guò) 且與 垂直的直線與圓 交于 ， 兩點(diǎn)，求四邊形 面積的取值范圍類(lèi)型 4參數(shù)法求曲線方程當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系較探尋時(shí)，可考慮 x，y 之間用同一個(gè)變量表示，得到參數(shù)方程， 再消去參數(shù)即可，但要注意參數(shù)的取值范圍。例 4、2016 全國(guó)卷（文科 20

7、） 已知拋物線 : 2 = 2 的焦點(diǎn)為 ，平行于 軸的兩條直線 1，2 分別交 于 ， 兩點(diǎn)，交 的準(zhǔn)線于 ， 兩點(diǎn) 若 在線段 上， 是 的中點(diǎn)，證明 ； 若 的面積是 的面積的兩倍，求 中點(diǎn)的軌跡方程【 解 法 分 析 】 本 例 的 第 小 題 以 兩 條 直 線 與 拋 物 線 的 交 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 為 參 數(shù) ， 利 用面積是 面積的兩倍，得到直線 AB 與 x 軸交點(diǎn) N 的坐標(biāo)，再進(jìn)一步利用點(diǎn)差法求得 AB 中點(diǎn)的軌跡方程。著重考查了設(shè)而不求的思想方法。由 AP=AF，BQ=BF及 AP/BQ，AR/FQ()設(shè) ，A(x , y ), B(x , y )1 1 2 21 1F

8、( , 0)，準(zhǔn)線為 ，x 2 21 1S PQ y yPQF 1 22 2，設(shè)直線 AB 與 x 軸交點(diǎn)為 N ，1S FN y yABF 1 22， S 2S ， 2 FN 1， x 1，即 N(1, 0) PQF ABF N 2y 2x設(shè) AB 中點(diǎn)為 M (x, y) ，由 得 1 2 2( 1 2 ) ，1 1y2 y2 x xy 2x22 2y y y 又 1 2 ，x1 x2 x 1y 1 ，即 y2 x 1x 1 y AB 中點(diǎn)軌跡方程為 y2 x 1類(lèi)型 5直譯法求軌跡方程例 5、2014 年湖北（理科 21）在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) 到點(diǎn) (1,0) 的距離比它到 軸的距離

9、多 1，記點(diǎn) 的軌跡為 求軌跡為 的方程； 設(shè)斜率為 的直線 過(guò)定點(diǎn) (2,1)，求直線 與軌跡 恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí) 的相應(yīng)取值范圍（）設(shè)點(diǎn) M (x, y) ，依題意得| MF | x | 1，即 (x 1)2 y2 | x | 1，化簡(jiǎn)整理得 y2 2(| x | x) .故點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程為 y2 4x, x 0, 0, x 0.（）在點(diǎn) M 的軌跡 C 中，記 1 : ， .C y2 4x 2 :C y 0 (x 0)依題意，可設(shè)直線l 的方程為 y 1 k(x 2).y 1 k(x 2),由方程組 可得 ky2 4y 4(2k 1) 0.y 4x,

10、2 （1）當(dāng) k 0 時(shí)，此時(shí) y 1. 把 y 1代入軌跡 C 的方程，得 1 .x 4故此時(shí)直線l : y 1與軌跡C 恰好有一個(gè)公共點(diǎn) (1 , 1) .4（2）當(dāng) k 0 時(shí)，方程的判別式為 16(2k2 k 1) . 設(shè)直線l 與 x 軸的交點(diǎn)為 (x , 0) ，則02k 1由 y 1 k(x 2) ，令 y 0 ，得 x . 0k 0,1（）若 由解得 ，或 .k k 1x 0, 2 01即當(dāng) k (, 1) ( , ) 時(shí)，直線l 與C 沒(méi)有公共點(diǎn)，與C 有一個(gè)公共點(diǎn)，1 22故此時(shí)直線l 與軌跡C 恰好有一個(gè)公共點(diǎn). 0, 0,1 1（）若 或 由解得 ，或 k 0. k 1

11、, x 0, x 0, 2 2 001即當(dāng) k 1, 時(shí)，直線l 與C 只有一個(gè)公共點(diǎn)，與C 有一個(gè)公共點(diǎn).1 221當(dāng) k , 0) 時(shí)，直線l 與C 有兩個(gè)公共點(diǎn)，與C 沒(méi)有公共點(diǎn).1 221 1故當(dāng) 時(shí)，直線 與軌跡 恰好有兩個(gè)公共點(diǎn).k , 0) 1, l C2 2 0,1 1（）若 由解得 ，或 .1 k 0 k x 0, 2 2 01 1即當(dāng) 時(shí)，直線 與C 有兩個(gè)公共點(diǎn)，與C 有一個(gè)公共點(diǎn)，k (1, ) (0, ) l1 22 2故此時(shí)直線l 與軌跡C 恰好有三個(gè)公共點(diǎn).1綜合（1）（2）可 知 ，當(dāng) k (, 1) ( , ) 0時(shí)，直線l 與軌跡C 恰好有一個(gè)公21 1共 點(diǎn) ； 當(dāng)