42連續(xù)線性泛函與共軛空間

1、4.2連續(xù)線性泛函與共軛空間為了引用泛函分析的一般理論于具體場(chǎng)合，若能知道具體空間上連續(xù)線性泛函的一般形 式，即：具體了解一個(gè)線性空間X的共軛空間X *中每個(gè)元素的形式將是重要的。下面我們 將介紹一些常用的空間的共軛空間?；靖拍疃x4.2.1設(shè)X是賦范線性空間，X上的連續(xù)線性范函全體記做X *,即X * =f f是X上的連續(xù)線性泛函,它按通常的線性運(yùn)算：當(dāng)f，g E X*，a是數(shù)時(shí)，對(duì)vx e X，規(guī)定(f + g)(x) = f (x) + g(x),(a f)(x) =a f (x);(4.2.1)及泛函的范數(shù)|f II = sup = sup I f (x)| = sup I f (x

2、) (x e X),(4.2.2)x.0 H 炯ULi成為一個(gè)賦范線性空間，稱(chēng)為X的共軛空間。定義4.2.2設(shè)X和Y是兩個(gè)賦范線性空間，T是X到Y(jié)的映射，且對(duì)一切xe X，有Tx| = |x|,(4.2.3)則稱(chēng)T是X到Y(jié)的一個(gè)保范算子。若T不但是保范的，又是線性的，而且是X到Y(jié)上的一一對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)T是X到Y(jié)上的 (保范)同構(gòu)映射。若空間X和Y之間存在一個(gè)從X到Y(jié)上的(保范)同構(gòu)映射，則稱(chēng)X和Y同構(gòu)。注 若T : x Tx是一個(gè)從X到Y(jié)上的(保范)同構(gòu)映射，即：X和Y同構(gòu)，則將x和Tx 同一化(即：把x和Tx視為同一的)，這樣就可以將X和Y同一化而不加區(qū)別。在泛函分析中，常把兩個(gè)同構(gòu)的空間同一化

3、，這是泛函分析中一個(gè)基本的觀念。一般說(shuō)來(lái)，若一個(gè)抽象的賦范線性空間能與一個(gè)具體的賦范線性空間同構(gòu)，我們就把這 個(gè)具體空間的形式稱(chēng)為抽象空間的一個(gè)表示。一些賦范線性空間上連續(xù)線性泛函的表示所謂賦范線性空間X上連續(xù)線性泛函的表示，就是研究X *這個(gè)賦范線性空間能和怎樣的具體空間實(shí)現(xiàn)同構(gòu)。1. Z1的共軛空間G)* = 1811是滿(mǎn)足 |xj 3的數(shù)列X =(氣,七，)全體按通常線性運(yùn)算和范數(shù) n=11X11廣為所成的Banach空間。13是有界數(shù)列X=(氣,/.)全體按通常線性運(yùn)算和范數(shù)sup |xn(4.2.4)(4.2.5)所成的Banach空間。證 取 e = (0,.,0, 1 ,0-)n

4、第n項(xiàng)n T，2，111，則對(duì) * = R，氣，)e 11，x = 3 x ei i i=1對(duì)Vf e (11)*，記門(mén)=f (e ), n = 1,2,.顯然nnh到fine日f(shuō)i i,因此h= (n1,h2-,hn，)e 13，且 mil = sup hn| *1n作映射A:(11)* 13如下:f h = (h,h ,，)=(f (e ), f (e ), f (e ),).12n12n(4.2.6)顯然A是線性映射，且將非零元f映射成非零元h = Af及間，=，=suP hnl = sup|f (en)|II f|.nn(4.2.7)為了證明A是(11)*到13的同構(gòu)映射，還需證明A(

5、 11)* =13 及|4f| 2 IIf 11.3In fact,對(duì)Vh =(氣電，,hn，)e，因?yàn)閟up虬| = | 3,且 n(4.2.8)n當(dāng)x = （X , X，）G l1時(shí)， X絕對(duì)收斂，所以 X門(mén) 也絕對(duì)收斂; TOC o 1-5 h z 12n =1n = 1廖二| 氣 | 忙 | |8| X |8)n=1n=1n=1于是(4.2.9)可以視為11上的泛函，顯然f是線性泛函，且If (x )| | 氣計(jì)|呻 |氣| =虬| x| 1n = 1n = 1即f是11上的連續(xù)線性泛函，且llfll = suP f (x)xeX卻 L = l |Af| l8 .1(4.2.10)由（

6、4.2.6）所定義的泛函f顯然滿(mǎn)足f （匕）二氣，n = 1,2,，即Af =n .綜合（4.2.7）和(4.2.10),有：A(11)*= 18 ,且 |Af| =11 f|.8既然（l1）*和同構(gòu)，我們就把（11）*和同一化，所以可以說(shuō)：l1的共軛空間（l1）*就 是 l8，即(l1)* = l8.證畢!注 這里要特別注意的是：（l 1）*=只是同構(gòu)意義下的等式，因此在運(yùn)用這些“等式”去探討其他問(wèn)題時(shí)，還必須把同構(gòu)映射同時(shí)加以考慮。忽視這一點(diǎn)將會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。今后有關(guān)共軛空間表示的等式都應(yīng)注意這一點(diǎn)。有的書(shū)常用“=”代替“=”，以示區(qū)別。l p是滿(mǎn)足 |氣|i = 1lp的共軛空間(1)* =

7、 lq (1 p 8, 1/p + 1/q = 1)|P 1, q 1,若-+ - = 1,則稱(chēng)p,q是一對(duì)對(duì)偶數(shù)。 p q特別地，將P = 1, q = 8也看成是一對(duì)對(duì)偶數(shù)。Lpa,萬(wàn)的共軛空間(4“, b)* = Lqa, b( 1 p 0，BN g N，當(dāng)m,n N時(shí)， nIT - Ts.n m任取xgX，則有ITx - 5 IT-叮時(shí) s IM.故Tx是Y中的基本點(diǎn)列。 n因?yàn)閅是Banach空間，所以存在J g Y，有l(wèi)imTx = y .nnT8定義算子T: Tx = y .現(xiàn)在證明 T g B (X T Y)，且 lim |T -T| = 0.n T8T的線性是顯然的?，F(xiàn)證有界

8、性。由于II邛-叩 |T - T | T 0 (n, m T8)，故虹|是基本點(diǎn)列，于是有界。設(shè)|仁|M (n = 1,2,3, .)，由|網(wǎng)= lim|Tx| (im|叮|)x| M |x| (x g X)n T8nT8可知，T 有界，且 |T| M ,故T g B (X T Y).下證lim|7 -7| = 0.在n T8II7? - 5判廠E戲倒中令m T8，并利用limT x = y及Tx = y，得: nnT8|7x-潤(rùn)| N).因此此71 N).故7 依算子范數(shù)收斂于T .于是B (X T Y)中任一基本點(diǎn)列必有極限，即B (X T Y)是Banach空間。證畢!推論 賦范線性空間

9、X的共軛空間X*是Banach空間。證 由X*的定義及定理4.2.1立得。定理4.2.2設(shè)X是賦范線性空間，若X*是可分的，則X也一定是可分的。證 因?yàn)閄*是可分的，所以存在一列 f u X*在X*的單位球面上稠密。n對(duì)每個(gè)f，因?yàn)?n州 fn If 2，所以在X的單位球面上必有xn，使得I f (xn )| 2.將xn張成X的線性閉子空間，記作X0，顯然X0可分。(自證！)若X不可分，則X 0。X .從而在X *中存在f, |fj = 1，且當(dāng)x g X 0時(shí)，如=.然而，對(duì)任何自然數(shù)n，有崎-辦I fn （叩 2。（ = l fn 3 HU這與f 在x *的單位球面上稠密的假設(shè)矛盾。故X也

10、一定是可分的。證畢! n注1 X的“維數(shù)”不超過(guò)X*的“維數(shù)”。(自證！并舉例說(shuō)明：dimX* dimX .)注2定理4.2.4啟發(fā)我們用共軛空間X *的性質(zhì)來(lái)研究原來(lái)賦范線性空間X的性質(zhì)。4.2.4收斂性對(duì)于泛函，我們也引入類(lèi)似的收斂概念。定義4.2.3設(shè)f 是賦范線性空間X上的一列連續(xù)線性泛函。若存在f e X *，使得 n|f f| - 0 (n - 0)，則稱(chēng)泛函序列f 強(qiáng)收斂于f，記作 nf f (n 0)或 f = lim f .n s若對(duì)Vx e X，都有fn (x) - f (x) (n - 0)，則稱(chēng)泛函序列f 弱*收斂于f，記作 nf f 或 f =(弱 * )lim f或 f = (W * )lim f .n sns注 若將泛函看作算子的特殊情況，即r是一維空間時(shí)，算子序列的一致收斂概念相當(dāng)于泛 函序列的強(qiáng)收斂；而算子序列的強(qiáng)收斂和弱收斂都相當(dāng)于泛函序列的弱*收斂。對(duì)于賦范線性空間X中的序列氣，通?？梢砸胂旅鎯煞N收斂概念。定義4.2.4設(shè)X是賦范線性空間，氣 u X, x0 e X .若|x - x | 0 (n s)，則稱(chēng)序列氣強(qiáng)收斂于x 0.若對(duì)任何feX *，都有f (x) f (x) (n s)，則稱(chēng)序列氣弱*收斂于x0，記作X =(弱 * )lim x或ns nx =(W * )lim x .