高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：5.2 平面向量的數(shù)量積22

1、第二節(jié) 平面向量的數(shù)量積考綱解讀理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)進(jìn)行兩個(gè)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.會(huì)用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題及其他一些實(shí)際問題.命題趨勢探究平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題，如證明垂直、求夾角、距離等是每年必考內(nèi)容，單獨(dú)命題時(shí)，以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，注意考查向量的運(yùn)算及性質(zhì)，高考中，與向量有關(guān)的解答題一般與其他內(nèi)容相結(jié)合（如解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何）進(jìn)行考查，重在考查向量的工具性作用，向量的應(yīng)用是跨學(xué)科

2、知識的一個(gè)交匯點(diǎn)，應(yīng)引起重視.預(yù)測2019年高考將考查平面向量的數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)與三角函數(shù)結(jié)合的解答題也是熱點(diǎn)之一，每年高考分值一般保持在5分左右.知識點(diǎn)精講平面向量的數(shù)量積(1) 已知兩個(gè)非零向量和，作eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，AOB(0)叫作向量與的夾角記作，并規(guī)定.如果與的夾角是，就稱與垂直，記為.(2) | |cos 叫作與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作,即| | |cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個(gè)非零向量與垂直的充要條件是=0.兩個(gè)非零向量與平行的充要條件是| | |.二、平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積等于的長度| |與在

3、方向上的射影| |cos 的乘積即| | |cos .( 在方向上的射影| |cos ;在方向上的射影| |cos).三平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)性質(zhì)1 .性質(zhì)2 性質(zhì)3 當(dāng)與同向時(shí)；當(dāng)當(dāng)與反向時(shí).或.性質(zhì)4 性質(zhì)5 注利用向量數(shù)量積的性質(zhì)2可以解決有關(guān)垂直問題；利用性質(zhì)3可以求向量長度；利用性質(zhì)4可以求兩向量夾角；利用性質(zhì)5可解決不等式問題.四、平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律（1）（交換律）；（2）為實(shí)數(shù)）；（3）（分配律）。數(shù)量積運(yùn)算法則滿足交換律、分配律，但不滿足結(jié)合律，不可約分.五、平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量由此得到若；設(shè)兩點(diǎn)間距離設(shè)的夾角，則eq oac(,1)非零向量的充要條

4、件是.eq oac(,2)由得.六、向量中的易錯(cuò)點(diǎn)（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且.（2）當(dāng)時(shí)，由不能推出一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌c垂直的非零向量都有.當(dāng)時(shí)，且時(shí)，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時(shí)，有，但.（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因?yàn)槭且粋€(gè)與共線的向量，而是一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項(xiàng)，一般都是錯(cuò)誤選項(xiàng).（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）.當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且題型歸納及思路提示題型79 平面向量的數(shù)量積思路提示平面向量的數(shù)量積的計(jì)算有其定義式和坐標(biāo)式，若告訴坐標(biāo)或容易建立坐標(biāo)系

5、利用坐標(biāo)計(jì)算，否則運(yùn)用定義式.這里要考慮將向量盡可能轉(zhuǎn)化為共線或垂直.一、平面向量的數(shù)量積例5.19 （1）在（ ）A -16 B. -8 C. 8 D.16（2）已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則_;的最大值為_.（3）在，M是BC的中點(diǎn)AM=1，點(diǎn)P在AM上且滿足，則等于 ( )A B. C. D.分析利用向量數(shù)量積的幾何意義（投影）求解.變式1 如圖5-27所示，在平行四邊形ABCD中，垂足為P，且，則=_.圖5-27DOCAPB變式2 在，若G為的重心，則=_.圖5-28DFCABE例5.20如圖5-28所示，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若的

6、值是：_.圖5-30DCAB變式1 如圖5-30所示在是邊BC上一點(diǎn)，_.變式2 如圖5-31所示，在_.圖5-31DCAB變式3 （2016天津理7）已知是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)，使得，則的值為（ ）.A. B. C. D.例5.21 已知向量滿足則_.變式1在則=_.變式2 向量滿足且則_.變式3 設(shè)向量滿足且若則_.例5.22 設(shè)是單位向量且則的最小值為（ ）.A B. C. D.變式1 已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足則的最大值是（ ）A1 B. 2 C. D.變式2若平面向量滿足，則的最小值是：_.例5.23 在中，M是BC的中點(diǎn)，A

7、M=3，BC=10，則=_.評注利用中線向量求解，可得衍生結(jié)論,利用這一結(jié)論可求解向量數(shù)量積運(yùn)算中有關(guān)中線向量所涉及的最值計(jì)算的問題，其變式題如下.變式1 設(shè)，是邊上一點(diǎn)，滿足且對于邊上任一點(diǎn)，恒有,則（ ）A. B. C. C. 變式2 點(diǎn)P是棱長為1的正方體的底面上一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）. B. C. C. 二平面向量的夾角求夾角，用數(shù)量積，由得，進(jìn)而求得向量的夾角.例5.24 已知向量則的夾角是_.例5.25 已知是非零向量且滿足則的夾角是（ ）.A B C D.評注求兩向量的夾角主要是應(yīng)用公式來解決，為此應(yīng)該求出的值或與的關(guān)系，或在坐標(biāo)已知的情況下直代帶入計(jì)算.例5.26 已知向量

8、滿足則的夾角為（ ）A B C D.變式1 已知是非零向量，且滿足，則與的夾角是_.變式2 若平面向量滿足，且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為，則的夾角的取值范圍是_.例題5.27 已知的夾角為，求使向量與的夾角為銳角的的取值范圍.分析由公式可知，夾角若為銳角，則，即，同時(shí)也應(yīng)注意從以上結(jié)果中排除同向共線這一情形.評注注意當(dāng)時(shí)，已包括了向量與的夾角為，即方向相同的情況，故應(yīng)排除.本題若改為“與的夾角為鈍角，求的范圍”，同樣需用且排除兩向量方向相反的情況.變式1 設(shè)兩個(gè)向量，滿足的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的范圍.變式2 (2017北京理6)設(shè)，為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”

9、的（ ）.A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C. 充分必要條件 D.既不充分也不必要條件變式3 若向量與不共線，則向量與的夾角為（ ）A0 B C D.三、平面向量的模長求模長，用平方，.例5.28 已知，向量與的夾角為，求.評注在求解向量的模長時(shí)，常用到如下公式來求解.（1）或；（2）；（3）若則.變式1 已知向量滿足的夾角為，則=_.變式2 已知向量滿足=2,則等于( )A1 B C D.變式3在中，已知求.例5.29已知向量的夾角為,則等于（）A5 B4 C3 D.1變式1（2017全國1理13）13.已知向量，的夾角為， ，則 .變式2 已知，則的夾角為_.變式3 設(shè)點(diǎn)M是線段

10、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，,則（）A8 B4 C2 D.1例5.30 已知平面向量，滿足，且的夾角，則的取值范圍是_.變式1 若均為單位向量，且，則的最大值為（）A B1 C D.2變式2 已知為單位向量，若向量滿足，則的取值范圍是（）A B C D.例5.31 在平面上，若，則的取值范圍是（）.A BC D.變式1 在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則（）A2 B4C5 D.10最有效訓(xùn)練題22（限時(shí)45分鐘）1.下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）eq oac(,1)若，則；eq oac(,2)若，且；eq oac(,3)；eq oac(,4).A1 B2C3 D.42.已知向量，則向量的夾角為（ ）.A B C D.3.已知向量，若向量滿足，則=（ ）A B C D.4.（2017全國3理12）在矩形中，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上若，則的最大值為（ ）.A3BC.D25.2017全國2理12）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ）.A. B. C. D.6.（2017山東理12）已知是互相垂直的單位向