正數(shù)和負(fù)數(shù) (3)

1、1.1 正數(shù)和負(fù)數(shù)一、課題引入為了讓學(xué)生更好地理解正數(shù)與負(fù)數(shù)的概念，作為教師有必要了解數(shù)系的發(fā)展從數(shù)系的發(fā)展歷程來看，微積分的基礎(chǔ)是實數(shù)理論，實數(shù)的基礎(chǔ)是有理數(shù)，而有理數(shù)的基礎(chǔ)則是自然數(shù)自然數(shù)為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供了堅實的基礎(chǔ) 對于“數(shù)的發(fā)展”（也即“數(shù)的擴(kuò)充”），有著兩種不同的認(rèn)知體系一是數(shù)的自然擴(kuò)充過程，如圖1所示，即數(shù)系發(fā)展的自然的、歷史的體系，它反映了人類對數(shù)的認(rèn)識的歷史發(fā)展進(jìn)程；另一是數(shù)的邏輯擴(kuò)充過程，如圖2所示，即數(shù)系發(fā)展所經(jīng)歷的理論的、邏輯的體系，它是策墨羅、馮諾伊曼、皮亞諾、高斯等數(shù)學(xué)家構(gòu)造的一種邏輯體系，其中綜合反映了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中許多思想方法正無理數(shù)正整數(shù)正有理數(shù)數(shù)數(shù)非負(fù)有理數(shù)數(shù)非負(fù)實

2、數(shù)實數(shù)復(fù)數(shù)正分?jǐn)?shù)零虛數(shù)單位i，i2=1負(fù)數(shù)自然數(shù)(包括零)整數(shù)有理數(shù)實數(shù)復(fù)數(shù)有理數(shù)列負(fù)整數(shù)倒數(shù)x2=1的根i圖1圖2二、課題研究在實際生活中，存在著諸如上升5m，下降5m；收入5000元，支出5000元等各種具體的數(shù)量這些數(shù)量不僅與5、5000等數(shù)量有關(guān)，而且還含有上升與下降、收入與支出等實際的意義顯然上升5m與下降5m，收入5000元與支出5000元的實際意義是不同的為了準(zhǔn)確表達(dá)諸如此類的一些具有相反意義的量，僅用小學(xué)學(xué)過的正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、零，是不夠的如果把收入5000元記作5000元，那么支出5000元顯然是不可以也同樣記作5000元的收入與支出是“意義相反”的兩回事，是不能用同一個數(shù)來表

3、達(dá)的因此，為了準(zhǔn)確表達(dá)支出5000元，就有必要引入了一種新數(shù)負(fù)數(shù)我們把所學(xué)過的大于零的數(shù)，都稱為正數(shù)；而且還可以在正數(shù)的前面添加一個“”號，比如在5的前面添加一個“”號就成了“5”，把 “5”稱為一個正數(shù)，讀作“正5”在正數(shù)的前面添加一個“”號，比如在5的前面添加一個“”號，就成了“5”，所有按這種形式構(gòu)成的數(shù)統(tǒng)稱為負(fù)數(shù)“5”讀作“負(fù)5”，“5000”讀作“負(fù)5000”于是“收入5000元”可以記作“5000元”，也可以記作“5000元”，同時“支出5000元”就可以記作“5000元”了這樣具有相反意義的兩個數(shù)量就有了不同的表達(dá)方式利用正數(shù)與負(fù)數(shù)可以準(zhǔn)確地表達(dá)或記錄諸如上升與下降、收入與支出、

4、海平面以上與海平面以下、零上與零下等一些“具有相反意義的量”再如，某個機(jī)器零件的實際尺寸比設(shè)計尺寸大0.5 mm就可以表示成“0.5mm”，或“0.5mm”；如果“另一個機(jī)器零件的實際尺寸比設(shè)計尺寸小0.5 mm”，那么就可以表示成“0.5 mm”了在一次足球比賽中，如果甲隊贏了乙隊2個球，那么可以把甲隊的凈勝球數(shù)記作“2”，把乙隊的凈勝球數(shù)記作“2”借助實際例子能夠讓學(xué)生較好地理解為什么要引入負(fù)數(shù)，認(rèn)識到負(fù)數(shù)是為了有效表達(dá)與實際生活相關(guān)的一些數(shù)量而引入的一種新數(shù)，而不是人為地“硬造”出來的一種“新數(shù)”三、鞏固練習(xí)例1 博然的父母6月共收入4800元，可以將這筆收入記作4800元；由于天氣炎熱

5、，博然家用其中的1600元錢買了一臺空調(diào)，又該怎樣記錄這筆支出呢？思路分析：“收入”與“支出”是一對“具有相反意義的量”，可以用正數(shù)或負(fù)數(shù)來表示一般來說，把“收入4800元” 記作4800元，而把與之具有相反意義的量“支出1600元”記作1600元特別提醒：通常具有“增加、上升、零上、海平面以上、盈余、上漲、超出”等意義的數(shù)量，都用正數(shù)來表示；而與之相對的、具有“減少、下降、零下、海平面以下、虧損、下跌、不足”等意義的數(shù)量則用負(fù)數(shù)來表示再如，若游泳池的水位比正常水位高5cm，則可以將這時游泳池的水位記作5cm；若游泳池的水位比正常的水位低3cm，則可以將這時游泳池的水位記作3cm；若游泳池的水

6、位正好處于正常水位的位置，則將其水位記作0cm例2 周一證券交易市場開盤時，某支股票的開盤價為18.18元，收盤時下跌了2.11元；周二到周五開盤時的價格與前一天收盤價相比的漲跌情況及當(dāng)天的收盤價與開盤價的漲跌情況如下表： 單位：元日期周二周三周四周五開盤0.16+0.25+0.78+2.12收盤0.231.320.670.65當(dāng)日收盤價試在表中填寫周二到周五該股票的收盤價思路分析：以周二為例，表中數(shù)據(jù)“0.16”所表示的實際意義是“周二該股票的開盤價比周一的收盤價高出了0.16元”；而表中數(shù)據(jù)“0.23”則表示“周二該股票收盤時的收盤價比當(dāng)天的開盤價降低了0.23元”因此，這五天該股票的開盤

7、價與收盤價分別應(yīng)該按如下的方式進(jìn)行計算：周一該股票的收盤價是18.182.11=16.07元；周二該股票的收盤價為16.07+0.160.23=16.00元；周三該股票的收盤價為16.00+0.251.32=14.93元；周四的該股票的收盤價為14.93+0.780.67=15.04元；周五該股票的收盤價為15.042.120.65=16.51元例3 甲、乙、丙三支球隊以主客場的形式進(jìn)行雙循環(huán)比賽，每兩隊之間都比賽兩場，下表是這三支球隊的比賽成績，其中左欄表示主隊，上行表示客隊，比分中前后兩數(shù)分別是主客隊的進(jìn)球數(shù)，例如32表示主隊進(jìn)3球客隊進(jìn)2球甲乙丙甲32 22乙2331丙3101試計算甲、

8、乙、丙三個隊各自的總凈勝球數(shù)思路分析：由表中數(shù)據(jù)可知：甲隊主場以32贏乙隊，甲隊有1個凈勝球；甲隊客場又以32贏乙隊，又增加了1個凈勝球甲隊與乙隊的兩場比賽中甲隊凈勝球的總數(shù)為2 甲隊與丙隊的兩場球，甲主場以22與丙隊握手言和，甲隊凈勝球數(shù)為0；甲客場以13負(fù)給了丙隊，這場球甲隊的凈勝球數(shù)為2甲隊與丙隊的兩場比賽中甲隊凈勝球數(shù)為2總之，甲隊與乙隊兩場比賽的凈勝球數(shù)為2，與丙隊的兩場比賽凈勝球數(shù)為2；這樣甲隊總凈勝球數(shù)為零相信同學(xué)們根據(jù)上面的分析，自己也能說出“乙隊總凈勝球數(shù)為1，丙隊總凈勝球數(shù)為1”老師可以讓學(xué)生來試試說說看特別提醒：股票的漲跌、球賽的勝負(fù)都是當(dāng)今日常生活中經(jīng)常遇到的實際問題，

9、作為當(dāng)代中學(xué)生應(yīng)該主動去接觸或了解一些與之相關(guān)的實際問題，以豐富學(xué)生的生活閱歷同時也充分說明數(shù)學(xué)本身就是生活的一部分，要盡可能地調(diào)動學(xué)生的積極性，把我們所學(xué)的數(shù)學(xué)用到實際生活中去例4 春季某河流的河水因春雨先上漲了15cm，隨后又下降了15cm請你用合適的方法來表示這條河流河水的變化情況思路分析：從上面的敘述可見河水的水位是先上漲了，隨后又下降了，水位最終又回到了原來的位置也就是說“最終水位的改變量是零”，或者說“水位的總變化量是零”與最初的水位相比先上漲的15cm，可以記作“15cm”，而隨后又下降了15cm，可以記作“15cm”，這樣水位又回到了原來最初的位置， “水位的總變化量是零”，即

10、這個變化量為“（15cm ）（15cm ）= 0cm”特別提醒：在表示具有相反意義的量時，如果某個量經(jīng)兩次或多次變化后又回到了最初狀態(tài)，就可以用“0”來表示總變化量；或者說這個量的最終變化量是“零”對于初一的學(xué)生來說，零的內(nèi)涵極其豐富，因此需要特別關(guān)注，在以后討論有理數(shù)的相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)的運算時，需要提醒學(xué)生重視零的一些性質(zhì)，并關(guān)注零在這些概念或運算中所“扮演的角色”四、思考問題培養(yǎng)良好的閱讀習(xí)慣和提高閱讀能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中需要引起重視的一個重要方面教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生絕對不會做的題目很少，但由于沒有把問題看懂而造成的不會做的題目卻相對較多一旦老師幫助學(xué)生把問題弄明白是怎么一回事之后，學(xué)生往往都會說“這題其實不難”，“我也會做，只是沒有認(rèn)真讀題罷了” 怎樣才能在盡可能短的時間內(nèi)讓學(xué)生有效獲取題目呈現(xiàn)給我們的信息，做高效的閱讀者？這是需要教師認(rèn)真考慮的問題。教師對閱讀習(xí)慣的培養(yǎng)和閱讀能力的提高應(yīng)該投入充足時間，而且一定要持之以恒