相似圖形復(fù)習(xí)要點

1、相似圖形復(fù)習(xí)要點福建周奕生圖形的相似是幾何的重要內(nèi)容之一，同平移、翻折、旋轉(zhuǎn)這些全等變換一樣，相 似也是一種變換，主要研究圖形的形狀關(guān)系.一、知識結(jié)構(gòu)二、復(fù)習(xí)目標.認識物體和圖形的相似，了解相似圖形的概念；. 了解線段的比、成比例的線段概念和黃金分割；.能夠判定兩個三角形相似，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決一些簡單的實際問題；. 了解位似圖形的概念，能用位似變換將一個圖形進行放縮；.能夠利用直角坐標系來描述圖形的位置.三、知識要點本章的重點是相似三角形的性質(zhì)和三角形相似的判定；運用圖形相似的性質(zhì)解決簡單的實際問題是本章的難點，也是重點之一.主要知識點是：.線段比：在同一長度單位下，兩條線段長度的

2、比叫做線段比.這里要特別注意兩 條線段的長度單位要統(tǒng)一.比如：線段AB=3 cm, CD = 2 0mm,那么應(yīng)先把線段 ABAR 3與CD的長度單位化為統(tǒng)一，如果以cm為單位，則 =,如果以mm為單位，則CD 2AB 303金 =30 = 3.可見，線段比與所采用的度量單位無關(guān).CD 202.比例尺：在地圖或圖紙上，圖上距離與它所表示的實際距離的比叫做比例尺，通 常寫成1 ： m的形式.這里也要注意圖上距離與實際距離的長度單位也是要統(tǒng)一的.事實 上，比例尺是特殊的線段比.比例線段：如果四條線段，其中兩條的比等于另外兩條的比，那么稱這四條線段 成比例線段，簡稱比例線段.可見比例線段是線段之間的

3、一種數(shù)量關(guān)系.例如：已知線段,a 1 c 1 一,- a c _A=3, B=6, C=12, D=24,由一=一，一=一可得一=一,從而可知 A, B, C,b 2 d 2 b d a 1 b 1D是比例線段；另一方面，如果從 一=一，一=-也可知這四條線段成比例.這里也特別c 4 d 4a c汪意：如果 A、B、C、D成比例，那么比例式是 一=,不能隨意更改比例式；b d4 .比例的性質(zhì)：a (1)基本性質(zhì)：如果 一=,那么AD = BC;反過來，如果 AD = BC (A, B, C,b da cD都不等于0),那么一=.可見比例式與等積式可以相互轉(zhuǎn)化.b da c a b c d(2

4、)合比性質(zhì)：如果 一=,那么=.此性質(zhì)可以記作：在一個比例 TOC o 1-5 h z b db d式中，比的分子分別加上或減去各自比的分母，所得比例式仍然成立.a cm(3)等比性質(zhì)：如果一= (b+D +nW0),那么b dn土，m=一.這里要特別注意 3+口 +-+!1才0這個條件.b d+nb/C Co(4 )黃金分割：如果點C把線段AB分成AC和BC,且=(或AC2 = AB EC), 屆A那么稱線段 AB被點C黃金分割，點 C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比值為士二1 (約等于0.618)叫做黃金比.注意：一條線段有兩個黃金點；2.相似的圖形：形狀相同，大小不一定相同的兩個

5、圖形稱為相似的圖形，簡稱相似形；.相似多邊形：各角對應(yīng)相等、各邊對應(yīng)成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，其中對應(yīng)邊的比叫做相似比.全等多邊形就是相似比為1的相似多邊形；.相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.注意：各角對應(yīng)相等的多邊形不一定相似，比如兩個矩形，它們的四個角對應(yīng)相等，但不一定相似；.相似三角形：相似多邊形中最簡單的特例.相似三角形的判定：(1 )兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；(2)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似；(3 )三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；注意：三角相似的判定與三角形全等的判定十分類似.1 0 .相似三角形的性質(zhì)：若兩個三角形相似，則(1 )對應(yīng)角相等

6、，對應(yīng)邊成比例；(2)對應(yīng)高、中線和角平分線的比都等于相似比；(3)周長的比等于相似比；(4)面積的比等于相似比的平方；注意：運用相似三角形可以解決許多實際問題.1 1 .位似圖形：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，那么 這兩個多邊形叫做位似，該交點叫做位似中心.可見，位似是特殊的相似，其相似比又叫做位似比.位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比.利用位似變換可以輕易地將圖形放大或縮小.四、典例剖析例1 如圖，CD為直角三角形 ABC斜邊AB上的高，則圖中共有幾個三角形？這些三角形相似嗎？為什么？你能從中得出什么結(jié)論？分析：要判定三角形是否相似，先從最簡單的

7、“兩角對應(yīng) 相等”入手，尋找是否存在兩個角對應(yīng)相等？在 ABC 與 ACD 中，顯然有/ ACB = / ADC =90 / A為公共角，故 ABCsACD;同理， ABCACBD,因此，圖中三個三角形都相似.由此可得這樣的結(jié)論：直 角三角形斜邊上高分三角形所得兩個直角三角形與原三角形都 相似.a + 9h例2 已知2 A= 3 B= 4 C w 0 ,求a的值.2a 3b 4c分析：先求出A ： B： C的值，再運用參數(shù)法，用k表示A、C.已知的等式三邊同時除以2、3、4的最小公倍數(shù)1 2 ,得a 2b 3c2a 3b 4c6k 8k9k12k 12k 12k2336例3 已知點C是線段AB

8、上一點,.5-13 - . 5一 一AC=，BC= 3 ,試判斷點C是不是線段AB的黃金點?分析：欲知點為什么？C是不是AB的黃金點，只須判斷AC或BC與AB的比值是不是等于黃5 -1金比乂5?因此，應(yīng)先求出 AB的長.2因為AB = AC + BC=芯 T + 3 -而=1 ,所以AC5-1AC = N5，故點C是AB的黃金點.AB已知矩形OABC頂點的坐標分別為 0(0, 0),A(2, 0),B(2, 1),C (0 , 1 ),現(xiàn)把各點的坐標乘以2 ,得到矩形OD E F ,求證：矩形 OABCs矩形ODEF .設(shè) A= 6 k , B= 4 k , C = 3 k ,則 TOC o

9、1-5 h z 分析：欲證矢I形OABCs矩形OD E F ,E只須證明四個角對應(yīng)相等，四條邊對應(yīng)成比例.由于 ABC與OD E F都是矩形，所口n以四個角都是直角，從而對應(yīng)角相等已滿足.由已知，點D, E, F的坐標分別是D dAO（4, 。） ，E （4, 2） , F （0,一 OAABBCCO1.2 ）,故有 =,因此，矩形 OABCs矩形 OD E F .ODDEEFFO2例5 如圖是學(xué)校的旗桿，小明帶著一條卷尺和一面鏡子，他想借助這兩樣工具測量 旗桿的高，請你為他設(shè)計測量的方法.分析：由于旗桿的頂端不能到達，故可利用相似 形對應(yīng)邊成比例來進行測量.首先把鏡子放在一個與旗桿底部有一定

10、距離，且 在同一水平線上的點 C的位置；然后量一下旗桿底部 B到C的距離BC的長，記為A米；接下來沿著BC這條射線從鏡子C往后退，退到 點E ,使站在點E處恰好能夠從鏡子里看到旗桿的頂端A;然后量一下點E到 C的距離，記為B米；最后再量一下眼部 D到地面上的高 DE的長，記為 C米.此時在 ABC和 DEC中，它們除了都有一個直角/ E = /B外，根據(jù)光的反射原理，入射角等于反射角，又可知/DC E = Z ACB,從而 ABCsDEC;接下來根據(jù)相ABDE例6似三角形對應(yīng)邊成比例，得 二世，即些，解得AB=變（米）.CE c bb一塊直角三角形余料， 直角邊BC= 8 0 cm, AC =6 0 cm,現(xiàn)要最大限度地利用這個余料把它加工為一個 正方形，求這個正方形的邊長.分析：最大限度利用余料，說明加工出來的正方形的頂 點應(yīng)全部都在三角形的邊上，其中有兩個頂點在同一邊上， 此時的這兩個頂點出現(xiàn)了兩種情況：在直角邊上和在斜邊上，究竟在什么邊上的面積最大？應(yīng)加以討論.）如果正方形的兩個頂點在直角邊上（如圖1 ） ，設(shè) 正方形的邊長為 xcm,則由 ADFA ABC,得DF AF 口.x 60 -x A /口 240彘=AC，即而=60，解得x=）如果正方形的兩個頂點在斜邊上