中考數(shù)學(xué)翻折問題考點(diǎn)類型

1、中考數(shù)學(xué)翻折問題考點(diǎn)類型第 頁(yè)中考數(shù)學(xué)翻折問題考點(diǎn)類型最新說明：本文檔整理了中考數(shù)學(xué)翻折問題的考點(diǎn)類型、試題類型、難度系統(tǒng)等內(nèi)容，詳細(xì)講解了各種類型題目的解法和技巧，本文是翻折問題的專項(xiàng)訓(xùn)練，望對(duì)老師和同學(xué)們有所幫助。目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc107085039 一、知識(shí)與方法 PAGEREF _Toc107085039 h 3 HYPERLINK l _Toc107085040 二、典型題 PAGEREF _Toc107085040 h 4一、知識(shí)與方法1. 軸對(duì)稱的定義把一個(gè)圖形沿著某條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)

2、于這條直線對(duì)稱，對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫對(duì)稱點(diǎn)，直線叫對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱也叫軸對(duì)稱.2. 軸對(duì)稱的性質(zhì)（1）關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；（2）對(duì)稱軸這條直線是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線.3. 軸折疊兩側(cè)的部分對(duì)應(yīng)相等，如對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等、折痕上的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離相等；4. 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕所在直線垂直平分，這會(huì)出現(xiàn)垂直于中點(diǎn)；5. 折疊問題中，常常結(jié)合角平分線、等腰三角形、三線合一、設(shè)未知數(shù)解勾股定理等綜合知識(shí)點(diǎn)；6. 在平面直角坐標(biāo)系中出現(xiàn)折疊，常常還會(huì)用到求解析式法、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等。二、典型題【題1】如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=4，A=60，將菱形紙片翻

3、折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上則sinEFG的值為【解析】如圖：過點(diǎn)E作HEAD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)N，連接BD，BE四邊形ABCD是菱形，AB=4，DAB=60，AB=BC=CD=AD=4，DAB=DCB=60，DCABHDE=DAB=60，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，DE=CD=2在RtDEH中，DE=2，HDE=60DH=1，HE=，AH=AD+DH=5在RtAHE中，AE=2折疊，AN=NE=，AEGF，AF=EFCD=BC，DCB=60BCD是等邊三角形，且E是CD中點(diǎn)BECD，BC=4，EC=2，BE=2CDAB，ABE=BEC=90在RtBEF中

4、，EF2=BE2+BF2=12+（ABEF）2EF=，sinEFG=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】“對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕所在直線垂直平分”，“三線合一”，“轉(zhuǎn)化目標(biāo)角”【題2】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，且AE=2EB，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，連接EP，過點(diǎn)P作PQPE交射線CD于點(diǎn)Q若點(diǎn)C關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)正好落在邊AD上，求BP的值【解析】過點(diǎn)P作PEAD于點(diǎn)E，PEC=90矩形ABCD中，AB=3，BC=4EAB=B=C=QDC=90，CD=AB=3四邊形CPED是矩形DE=PC，PE=CD=3AE=2EB，AE=2，EB=1設(shè)BP=x，則DE=PC=4x法2：亦

5、可過C作CGBC，連接CC點(diǎn)C與C關(guān)于直線PQ對(duì)稱PCQPCQPC=PC=4x，CQ=CQ，PCQ=C=90PEPQBPE+CPQ=90又BEP+BPE=90BEP=CPQBEPCPQ同理可證：PECCDQ，CQ=x（4x）CQ=x（4x），DQ=3x（4x）=x24x+3，CD=3x，EC=EC+CD=DE，解得：x1=1，x2=BP的值為1或【題3】如圖，矩形OABC中，OA=4，AB=3，點(diǎn)D在邊BC上，且CD=3DB，點(diǎn)E是邊OA上一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A恰好落在邊OC上，則OE的長(zhǎng)為_.【解析】連接AD，AD，四邊形OABC是矩形，BC=OA=4，

6、OC=AB=3，C=B=O=90，法2：亦可過D作DGAO，連接AACD=3DB，CD=3，BD=1，CD=AB，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A恰好落在邊OC上，AD=AD，AE=AE，在RtACD與RtDBA中，RtACDRtDBA（HL），AC=BD=1，AO=2，AO2+OE2=AE2，22+OE2=（4OE）2，OE=，【點(diǎn)評(píng)】“對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”【題4】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF，則CF的長(zhǎng)為法2：亦可過E作EGFC；或者過F

7、作MN分別垂直AD和BC【解析】連接BF，BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，BE=3，又AB=4，AE=5，BH=，則BF=，F(xiàn)E=BE=EC，BFC=90，根據(jù)勾股定理得，CF=故答案為：【題5】如圖，將邊長(zhǎng)為6的正方形紙片ABCD對(duì)折，使AB與DC重合，折痕為EF，展平后，再將點(diǎn)B折到邊CD上，使邊AB經(jīng)過點(diǎn)E，折痕為GH，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N（1）若CM=x，則CH=（用含x的代數(shù)式表示）；（2）求折痕GH的長(zhǎng)【解析】（1）CM=x，BC=6，設(shè)HC=y，則BH=HM=6y，故y2+x2=（6y）2，整理得：y=x2+3，HMC+MHC=90，EMD=MHC，EDMMCH，=，=

8、，解得：HC=x2+2x，故答案為：x2+3或x2+2x；（2）方法一：四邊形ABCD為正方形，B=C=D=90，設(shè)CM=x，由題意可得：ED=3，DM=6x，EMH=B=90，故HMC+EMD=90，HMC+MHC=90，EMD=MHC，EDMMCH，=，即=，解得：x1=2，x2=6，當(dāng)x=2時(shí)，CM=2，DM=4，在RtDEM中，由勾股定理得：EM=5，NE=MNEM=65=1，NEG=DEM，N=D，NEGDEM，=，=，解得：NG=，由翻折變換的性質(zhì)，得AG=NG=，過點(diǎn)G作GPBC，垂足為P，則BP=AG=，GP=AB=6，當(dāng)x=2時(shí)，CH=x2+3=，PH=BCHCBP=6=2，

9、在RtGPH中，GH=2當(dāng)x=6時(shí)，則CM=6，點(diǎn)H和點(diǎn)C重合，點(diǎn)G和點(diǎn)A重合，點(diǎn)M在點(diǎn)D處，點(diǎn)N在點(diǎn)A處MN同樣經(jīng)過點(diǎn)E，折痕GH的長(zhǎng)就是AC的長(zhǎng)所以，GH長(zhǎng)為6方法二：有上面方法得出CM=2，連接BM，可得BMGH，則可得PGH=HBM，在GPH和BCM中，GPHBCM（SAS），GH=BM，GH=BM=2【題6】已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A （11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B和折痕OP設(shè)BP=t（1）如圖，當(dāng)BOP=30時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如圖，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直

10、線PB上，得點(diǎn)C和折痕PQ，若AQ=m，求m（用含有t的式子表示）；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果）【解析】（1）根據(jù)題意，OBP=90，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30，BP=t，得OP=2tOP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=2（舍去）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6）；（2）OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，OBPOBP，QCPQCP，OPB=OPB，QPC=QPC，OPB+OPB+QPC+QPC=180，OPB+QPC=90，BOP+OPB=90，BOP=CPQ，又OBP=C=90，OBPPCQ

11、，=，由題意設(shè)BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11t，CQ=6m=，m=t2t+6（0t11）；（3）過點(diǎn)P作PEOA于E，如圖3，PEA=QAC=90，PCE+EPC=90，PCE+QCA=90，EPC=QCA，PCECQA，=，在PCE和OCB中，PCEOCB（AAS），PC=OC=PC，BP=AC，AC=PB=t，PE=OB=6，AQ=m，EC=112t，=，m=t2t+6，3t222t+36=0，解得：t1=，t2=故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，6）或（ ，6）1如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=15，tanABC=，將菱形紙片沿折痕FG翻折，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)E處，若CE

12、AD，則cosEFG的值為【解析】如圖，過點(diǎn)A作AHBC于點(diǎn)H，連接BE，過點(diǎn)P作PEAB，AB=15，tanABC=，AH=9，BH=12，CH=3，四邊形ABCD是菱形，AB=BC=15，ADBC，AHBC，AHAD，且AHBC，CEAD，四邊形AHCE是矩形EC=9，AE=CH=3，BE=3，將菱形紙片沿折痕FG翻折，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)E處，BF=EF，BEFG，BO=EO=ADBC，ABC=PAE，tanABC=tanPAE=，且AE=3，AP=，PE=，EF2=PE2+PF2，EF2=+（15EF+）2，EF=，F(xiàn)O=cosEFG=，故答案為：2如圖，在菱形ABCD中，AB=5，

13、tanD=，點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B，C重合），將四邊形AECD沿直線AE翻折后，點(diǎn)C落在C處，點(diǎn)D落在D處，CD與AB交于點(diǎn)F，當(dāng)CDAB時(shí)，CE長(zhǎng)為 【解析】如圖，作AHCD于H，交BC的延長(zhǎng)線于G，連接AC由題意：AD=AD，D=D，AFD=AHD=90，AFDAHD（AAS），F(xiàn)AD=HAD，EAD=EAD，EAB=EAG，=（角平分線的性質(zhì)定理，可以用面積法證明）ABCD，AHCD，AHAB，BAG=90，B=D，tanB=tanD=，=，AG=，BG=，BE：EG=AB：AG=4：3，EG=BG=，在RtADH中，tanD=，AD=5，AH=3，CH=4，CH=1，CGAD，=，C

14、G=，EC=EGCG=故答案為3如圖，已知E為長(zhǎng)方形紙片ABCD的邊CD上一點(diǎn)，將紙片沿AE對(duì)折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好在線段BE上若AD=3，DE=1，則AB=5【解析】折疊，ADEADE，AD=AD=3，DE=DE=1，DEA=DEA，四邊形ABCD是矩形，ABCD，DEA=EAB，EAB=AEB，AB=BE，DB=BEDE=AB1，在RtABD中，AB2=DA2+DB2，AB2=9+（AB1）2，AB=5故答案為：54如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，點(diǎn)N為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，連接MN，把BMN沿MN折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰在矩形ABCD的對(duì)稱軸上，則BM

15、的長(zhǎng)為5或【解析】當(dāng)E在矩形的對(duì)稱軸直線PN上時(shí)，如圖1此時(shí)MEN=B=90，ENB=90，四邊形BMEN是矩形又ME=MB，四邊形BMEN是正方形BM=BN=5當(dāng)E在矩形的對(duì)稱軸直線FG上時(shí)，如圖2，過N點(diǎn)作NHFG于H點(diǎn)，則NH=4根據(jù)折疊的對(duì)稱性可知EN=BN=5，在RtENH中，利用勾股定理求得EH=3FE=53=2設(shè)BM=x，則EM=x，F(xiàn)M=4x，在RtFEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4x）2，解得x=，即BM=故答案為5或5如圖，在矩形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊AD上且AE=4，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將四邊形ABFE沿EF翻折，A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1與點(diǎn)

16、C在同一直線上，A1B1與邊AD交于點(diǎn)G，如果DG=3，那么BF的長(zhǎng)為【解析】CDGAEG，AE=4AG=2BG=4由勾股定理可知CG=則CB=由CDGCFB設(shè)BF=x解得x=故答案為6如圖，已知扇形AOB的半徑為6，圓心角為90，E是半徑OA上一點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)將扇形AOB沿EF對(duì)折，使得折疊后的圓弧恰好與半徑OB相切于點(diǎn)G若OE=4，則O到折痕EF的距離為2【解析】過點(diǎn)G作OGOB，作AOOG于O，如圖，連結(jié)OO交EF于H，則四邊形AOGO為矩形，OG=AO=6，沿EF折疊后所得得圓弧恰好與半徑OB相切于點(diǎn)G，與所在圓的半徑相等，點(diǎn)O為所在圓的圓心，點(diǎn)O與點(diǎn)O關(guān)于EF對(duì)稱，OOEF，OH=H

17、O，設(shè)OH=x，則OO=2x，EOH=OOA，RtOEHRtOOA，=，即=，解得x=2，即O到折痕EF的距離為2故答案為27如圖，矩形ABCD中，AD=4，O是BC邊上的點(diǎn)，以O(shè)C為半徑作O交AB于點(diǎn)E，BE=AE，把四邊形AECD沿著CE所在的直線對(duì)折（線段AD對(duì)應(yīng)AD），當(dāng)O與AD相切時(shí)，線段AB的長(zhǎng)是【解析】設(shè)O與AD相切于點(diǎn)F，連接OF，OE，則OFAD，OC=OE，OCE=OEC，四邊形ABCD是矩形，A=B=A=90，由折疊的性質(zhì)得：AEC=AEC，B+BCE=AEO+OEC，OEA=B=90，OE=OF，四邊形AFOE是正方形，AE=AE=OE=OC，BE=AE，設(shè)BE=3x，

18、AE=5x，OE=OC=5x，BC=AD=4，OB=45x，在RtBOE中，OE2=BE2+OB2，（5x）2=（3x）2+（45x）2，解得：x=，x=4（舍去），AB=8x=故答案為：9如圖，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一點(diǎn)，O是CD上一點(diǎn)，以O(shè)C為半徑作O，將ADE折疊至ADE，點(diǎn)A在O上，延長(zhǎng)EA交BC延長(zhǎng)線于F，且恰好過點(diǎn)O，過點(diǎn)D作O的切線交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G若FG=1，則AD=2，O半徑=【解析】作OHDG于H，如圖，設(shè)DA=x，則AB=2x，ADE折疊至ADE，DA=DA=x，DAE=A=90，DA與O相切，在ODA和OCF中DOAFOCDA=CF=x，DG是O的切線

19、，OHDG，H點(diǎn)為切點(diǎn)，DH=DA=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在RtDCG中，DC2+CG2=DG2，（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，AD=2，設(shè)O的半徑為r，則OC=OA=r，OD=2xr=4r，在RtDOA中，DA2+OA2=DO2，22+r2=（4r）2，解得r=，即O的半徑為故答案為2，10如圖1，在ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，分別以ABC的三邊AB，BC，AC為邊在三角形外部作正方形ABDE，BCIJ，AFGC如圖2，作正方形ABDE關(guān)于直線AB對(duì)稱的正方形ABDE，AE交CG于點(diǎn)M，DE交IC于點(diǎn)N點(diǎn)D在邊IJ上則

20、四邊形CMEN的面積是24【解析】正方形ABDE關(guān)于直線AB對(duì)稱的正方形ABDE，AE=AB=10，EAB=90，AEN=90，AC=6，BC=8，AB=10，AC2+BC2=AB2，ACB為直角三角形，AC2=BCMC，MC=，MAC=NAE，RtACMRtAEN，=，即=，EN=，四邊形CMEN的面積=SAENSACM=106=24故答案為2411如圖，菱形ABCD中，A=60，將紙片折疊，點(diǎn)A，D分別落在A，D處，且AD經(jīng)過點(diǎn)B，EF為折痕，當(dāng)DFCD時(shí)，的值為【解析】設(shè)BC與DF交于點(diǎn)KCF=a，DK=b，四邊形ABCD是菱形，A=60，C=60，D=D=120，KFCD，KFC=90

21、，F(xiàn)KC=BKD=30，KBD=180DBKD=30，BD=b，BK=b，KC=2a，KF=a，BC=CD=DF+CF，b+2a=b+a+a，（1）a=（1）b，a=b，=，故答案為12如圖，在ABC中，C=90，AC=BC=，將ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60到ABC的位置，連接CB，則CB=1【解析】如圖，連接BB，ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得到ABC，AB=AB，BAB=60，ABB是等邊三角形，AB=BB，在ABC和BBC中，ABCBBC（SSS），ABC=BBC，延長(zhǎng)BC交AB于D，則BDAB，C=90，AC=BC=，AB=2，BD=2=，CD=2=1，BC=BDCD=1故答案為：

22、113如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），沿DE翻折DBE使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接AF，當(dāng)線段AF=AC時(shí)，BE的長(zhǎng)為【解析】連接AD，作EGBD于G，如圖所示：則EGAC，BEGBAC，=，設(shè)BE=x，ACB=90，AC=3，BC=4，AB=5，=，解得：EG=x，BG=x，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，CD=BD=2，DG=2x，由折疊的性質(zhì)得：DF=BD=CD，EDF=EDB，在ACD和AFD中，ACDAFD（SSS），ADC=ADF，ADF+EDF=1880=90，即ADE=90，AD2+DE2=AE2，AD2=

23、AC2+CD2=32+22=13，DE2=DG2+EG2=（2x）2+（x）2，13+（2x）2+（x）2=（5x）2，解得：x=，即BE=；故答案為：14在正方形ABCD中，（1）如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點(diǎn)O，且AOF=90求證：AE=BF（2）如圖2，將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G若DC=5，CM=2，求EF的長(zhǎng)【解析】（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，AB=BC，ABE=BCF=90，AOF=90，BAE+OBA=90，又FBC+OBA=90，BAE=CBF，在ABE和BCF中

24、，ABEBCF（ASA）AE=BF（2）由折疊的性質(zhì)得EFAM，過點(diǎn)F作FHAD于H，交AM于O，則ADM=FHE=90，HAO+AOH=90、HAO+AMD=90，POF=AOH=AMD，又EFAM，POF+OFP=90、HFE+FEH=90，POF=FEH，F(xiàn)EH=AMD，四邊形ABCD是正方形，AD=CD=FH=5，在ADM和FHE中，ADMFHE（AAS），EF=AM=15如圖，已知E是正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，BFC=90，求的值【解析】如圖，延長(zhǎng)EF交CB于M，連接CM，四邊形ABCD是正方形，AD=DC，A=BCD=90，將ADE沿直線DE對(duì)折得到D

25、EF，DFE=DFM=90，在RtDFM與RtDCM中，RtDFMRtDCM，MF=MC，MFC=MCF，MFC+BFM=90，MCF+FBM=90，MFB=MBF，MB=MC，設(shè)MF=MC=BM=a，AE=EF=x，BE2+BM2=EM2，即（2ax）2+a2=（x+a）2，解得：x=a，AE=a，=316在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，將AED沿AE所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處（1）如圖1，若點(diǎn)F落在對(duì)角線AC上，且BAC=54，則DAE的度數(shù)為18（2）如圖2，若點(diǎn)F落在邊BC上，且AB=6，AD=10，求CE的長(zhǎng)（3）如圖3，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF的沿長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)

26、G，且AB=6，AD=10，求CG的長(zhǎng)【解析】（1）四邊形ABCD是矩形，BAD=90，BAC=54，DAC=9054=36，由折疊的性質(zhì)得：DAE=FAE，DAE=DAC=18；故答案為：18；（2）四邊形ABCD是矩形，B=C=90，BC=AD=10，CD=AB=6，由折疊的性質(zhì)得：AF=AD=10，EF=ED，BF=8，CF=BCBF=108=2，設(shè)CE=x，則EF=ED=6x，在RtCEF中，由勾股定理得：22+x2=（6x）2，解得：x=，即CE的長(zhǎng)為；（3）連接EG，如圖3所示：點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，DE=CE，由折疊的性質(zhì)得：AF=AD=10，AFE=D=90，F(xiàn)E=DE，EFG=90=C，在RtCEG和FEG中，RtCEGFEG（HL），CG=FG，設(shè)CG=FG=y，則AG=AF+FG=10+y，BG=BC