2022年精品解析北師大版九年級數學下冊第一章直角三角形的邊角關系綜合測試試題(含詳解)

1、九年級數學下冊第一章直角三角形的邊角關系綜合測試考試時間：90 分鐘；命題人：數學教研組考生注意：1、本卷分第I 卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，滿分100 分，考試時間 90 分鐘2、答卷前，考生務必用 0.5 毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I 卷（選擇題 30 分）一、單選題（10 小題，每小題 3 分，共計 30 分）1、在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是 1，BAC 的位置如圖所示，則sinBAC

2、 的值為（）235A 1BCD22252、已知某水庫大壩的橫斷面為梯形，其中一斜坡AB 的坡度i 1:3 ，則斜坡 AB 的坡角 為（）A30B45C60D1503、如圖，某建筑物AB 在一個坡度為i1：0.75 的ft坡 BC 上，建筑物底部點B 到ft腳點C 的距離BC20 米，在距ft腳點C 右側同一水平面上的點D 處測得建筑物頂部點A 的仰角是 42，在另一坡度為 i1：2.4 的ft坡DE 上的點E 處測得建筑物頂部點A 的仰角是 24，點E 到ft腳點D 的距離DE26 米，若建筑物AB 和ft坡BC、DE 的剖面在同一平面內，則建筑物AB 的高度約為（）（參考數 據 ：sin24

3、0.41，cos240.91，tan240.45，sin420.67cos420.74， tan420.90）A36.7 米B26.3 米C15.4 米D25.6 米4、如圖，滑雪場有一坡角為 20的滑道，滑雪道的長AC 為 100 米，則BC 的長為（）米A 100cos20 B100cos20C 100 sin 20D100sin205、學習了三角函數的相關知識后，小麗測量了斜坡上一棵垂直于地面的大樹的高度如圖，小麗先在坡角為30 的斜坡 AB 上的點A 處，測得樹尖E 的仰角為15 ，然后沿斜坡走了 10 米到達坡腳B 處， 又在水平路面上行走 20 米到達大樹所在的斜坡坡腳C 處，大樹

4、所在斜坡的坡度i 3: 4 ，且大樹與坡腳的距離CD 為 15 米，則大樹ED 的高度約為（ ）3（參考數據： sin15 0.26,cos15 0.97, tan15 0.27, 1.73 結果精確到 0.1）A10.9 米B11.0 米C6.9 米D7.0 米6、如圖，正方形ABCD 中，AB6，E 為 AB 的中點，將ADE 沿 DE 翻折得到FDE，延長 EF 交 BC 于G，FHBC，垂足為 H，連接BF、DG以下結論：BF ED；DFG DCG； FHB EAD；tanGEB 4） ；其中正確的個數是（3A4B3C2D1 7、cos60的值為（）32AB22C 1D1228、如圖，

5、一艘輪船在小島A 的西北方向距小島40海里的C 處，沿正東方向航行一段時間后到達小島 A 的北偏東60的 B 處，則該船行駛的路程為（）A80 海里B120 海里C (40 402) 海里D (40 403) 海里9、如圖，A、B、C 三點在正方形網格線的交點處，若將ABC 繞著點A 逆時針旋轉得到ABC，則cosBCB的值為（）5A 1B25CD32 52510、如圖，在4 4 的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為 1，已知 的頂點位于正方形網格的格點上，且cos ，則滿足條件的 是（）3 13ABCD13第卷（非選擇題 70 分）二、填空題（5 小題，每小題 4 分，共計 20 分）1、

6、如圖，在 44 的正方形網格中，ABC 的頂點都在邊長為 1 的小正方形的頂點上，則tanACB 的值為22、如圖， ABC 中，BAC90，BC4，將 ABC 繞點 C 按順時針方向旋轉 90，點B 的對應點 B 落在 BA 的延長線上，若sin B AC0.8，則 AC3、若一個小球由桌面沿著斜坡向上前進了 10cm，此時小球距離桌面的高度為 5cm，則這個斜坡的坡度為4、如圖，在正方形 ABCD中，對角線 AC ， BD 相交于點O，點E 在DC 邊上，且CE 2DE ，連接AE 交 BD 于點 G，過點D 作DF AE ，連接OF 并延長，交DC 于點 P，過點O 作OQ OP 分別交

7、AE 、 AD 于點 N、H，交BA 的延長線于點Q，現給出下列結論：AFO 45 ； DP2 NH OH ； Q OAD ； OG DG 其中正確的結論有 （填入正確的序號）5、計算：cos245tan30sin60sin245 三、解答題（5 小題，每小題 10 分，共計 50 分）1、在平行四邊形ABCD 中，E 為 AB 上一點，連接CE，F 為 CE 上一點，且DFE=A求證：DCFCEB；若 BC=4，CE=3，tanCDF=152，求線段BE 的長2、如圖，在RtABC 中， ACB 90 在線段 AC 上求作一點D，使得BDC 2A ；（用尺規(guī)作圖，不寫作法，但應保留作圖痕跡）

8、若A 22.5 ，利用上述作圖，求 1的值tan A3、先化簡，再求代數式(a1) (a 1)的值，其中a tan 60 2sin30 a2 1a 14、如圖，在平面直角坐標系中，直線ykx3k 交 x 軸于點B，交y 軸于點A，tanABO2求 k 的值；點 G 為線段AB 上一點，過點G 作 CGAB 交y 軸正半軸于點C，若點G 的橫坐標為t，線段OC 的長為 d，求 d 與 t 之間的函數關系式，并直接寫出t 的取值范圍；如圖 3，在（2）的條件下，延長GC 交 x 軸于點D，連接BC，在 BC 上截取 BHOC，F 為第一象限內一點，且FBx 軸，連接FH，點E 在第三象限，連接AE

9、、BE、DE，若CBO2FHB， ，AEB+OBC90，且 BF 3DE，求點 E 坐標152485、如圖，從甲樓AB 的樓頂A，看乙樓CD 的樓頂C，仰角為 30，看乙樓（CD）的樓底D，俯角為60；已知甲樓的高AB=40m求乙樓 CD 的高度，（結果精確到 1m）-參考答案-一、單選題1、D24 10【分析】10先求出ABC 的面積，以及利用勾股定理求出AC 2進而求解即可【詳解】22 621022 222解：如圖所示，過點B 作 BDAC 于 D， AB 2，利用面積法求出BD 10，由題意得： SABC= 1 4 2=4= 1 AC BD ，22AC 2，AB 2，4 10 BD 10

10、，5sinBAC = BD =，AB5故選 D【點睛】本題主要考查了勾股定理和求正弦值，解題的關鍵在于能夠正確作出輔助線，構造直角三角形 2、A【分析】直接利用坡角的定義得出答案【詳解】解： 某水庫大壩的橫斷面是梯形，其中一斜坡AB 的坡度i 1:3 ，設這個斜坡的坡角為 ，313故tan 3 ，故 30 故選：A【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是根據題意正確得出坡角與坡比的關系 3、D【分析】如圖所示，過E 點做 CD 平行線交AB 線段為點H，標 AB 線段和CD 線段相交點為G 和 H 由坡度為i 1：0.75，BC20 可得 BG=16,GC=12,由坡度為 i1：

11、2.4，DE26 可得 DF=24,EF=10，分別在在AGAHAGB 中滿足 GD tan 42，在AEH 中滿足 HE tan 24 化簡聯立得AB=25.6【詳解】如圖所示，過E 點做 CD 平行線交AB 線段為點H，標 AB 線段和CD 線段相交點為G 和 HBGC 中在BC20，坡度為i1：0.75， BG2 GC2 BC2 ，3 BG2 (BG)2 BC2 ，4 BG2 9 BG2 BC2 ，16 2516 2516BG2 202 ，BG2 400 ， BG2 400 16 ，25 BG2 256 ， BG 16 ， CG 3 BG 12 4BGC 中在DE26，坡度為 i1：2.

12、4， DF 2 EF 2 DE 2 ，12 (EF)2 EF 2 DE2 ，5 14425EF 2 EF 2 DE2 ， 16925EF 2 262 ， EF 2 67625 ，169 EF2 100 ， EF 10 ， DF 12 EF 24 ，5AGAH在 AGB 中滿足 GD tan 42，在AEH 中滿足 HE tan 24 ,即 AB BG 0.9 ,AB BH 0.45GC CDGC CD DF其中 BG=16、BG=12、BH=BG-EF=6、DF=24， AB 16 0.9(12 CD)代入化簡得 AB 6 0.45(36 CD) ，令 2 - 有2 AB AB 2 6 16

13、2 0.45 36 0.9 12 2 0.45 CD 0.9CD AB 4 21.6 ，AB=25.6故選：D【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，利用三角形的坡度和斜邊長通過勾股定理可以求得三角形各邊長度，再根據角度列含兩個未知數的二元一次方程組，正確的列方程求解是解題的關鍵4、B【分析】首先根據坡角的概念得到C 20 ，然后由C 的余弦值可得cos C 【詳解】解：滑道坡角為 20， C 20 ，AC 為 100 米， B 90 ， cos C BC ，ACBC，代入AC 的值求解即可ACcosC BC AC100cos20 故選：B【點睛】此題考查了解三角形的實際應用，解題的關鍵是熟練掌

14、握銳角三角函數的表示方法 5、D【分析】過點 A 作AGED 交 ED 延長線于點G，過點A 作 AFCB，交 CB 的延長線于點F，延長BC 交ED 的延3長線于點H，可知四邊形AFHG 為矩形，解直角三角形ABF 得 AF=5，BF= 5，解直角三角形CDH 得DH=9，CH=12，從而得到AG，再通過解直角三角形AGE 求得EG 的長，進一步得出結論【詳解】解：過點A 作 AGED 交ED 延長線于點G，過點A 作 AFCB，交 CB 的延長線于點F，延長 BC 交 ED 的延長線于點H，如圖，則四邊形AFHG 為矩形，AG=FH，GH=AF在 RtABF 中， AB 10，ABF 30

15、 AF 1 AB 1 10 5m=GH 22AB2 AF2102 52 BF 5 3 8.65mDH在 RtCHD 中，3 ， CD 15mCH4可設DH =3xm， CH 4xm由勾股定理得， CH 2 DH 2 CD2 (3x)2 (4 x)2 152解得， x 3 DH 9m，CH 12m DG DH GH 9 5 4m AG FH 8.65 20 12 40.65mEG在 RtAGE 中， tan15 AGtan15 EG AG40.65 0.27 10.98m ED EG DG 10.98 4 6.98 7.0m故選：D【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據題意作

16、出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵6、A【分析】根據正方形的性質以及折疊的性質依次對各個選項進行判斷即可【詳解】解：正方形ABCD 中，AB=6，E 為AB 的中點AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，A=C=ABC=90ADE 沿 DE 翻折得到FDEAED=FED，AD=FD=6，AE=EF=3，A=DFE=90，BE=EF=3，DFG=C=90，EBF=EFB，AED+FED=EBF+EFB，DEF=EFB，BFED，故結論正確；AD=DF=DC=6，DFG=C=90，DG=DG，RtDFGRtDCG，結論正確；FHBC，ABC=90ABFH，FHB=A=90EBF=BFH

17、=AED，FHBEAD，結論正確；RtDFGRtDCG，FG=CG，設 FG=CG=x，則 BG=6-x，EG=3+x，在 RtBEG 中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2，解得：x=2，BG=4，tanGEB= BG 4 ，BE3故結論正確 故選：A【點睛】本題考查了正方形的性質、折疊的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、平行線的判定、勾股定理、三角函數，綜合性較強7、C【分析】根據特殊角的余弦值即可得【詳解】解： cos60 1 ，2故選：C【點睛】本題考查了特殊角的余弦，熟記特殊角（如30,45 ,60 ）的余弦值是解題關鍵 8、D【分析】過點 A 作AD

18、BC 于點 D，分別在RtACD 和RtABD 中，利用銳角三角函數，即可求解【詳解】解：過點A 作 ADBC 于點D，2根據題意得： AC 40海里，ADC=ADB=90，CAD=45，BAD=60，在 RtACD 中，2AD CD AC sin 45 402 2 40海里，在RtABD中，3BD AD tan 60 40海里， BC CD BD 40 403 海里，即該船行駛的路程為(40 403) 海里故選：D【點睛】本題主要考查了解直角三角形，熟練掌握特殊角的銳角三角函數值是解題的關鍵 9、B【分析】利用勾股定理逆定理得出CDB 是直角三角形，以及銳角三角函數關系進而得出結論【詳解】解

19、：如圖，連接BD， BB，2,2由網格利用勾股定理得： BC 10, CD BD 2CD2 BD2 BC 2 CDB 是直角三角形， BD BC2105cosBCB CD CB5故選：B【點睛】本題考查旋轉的性質、等腰三角形的性質、余弦等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵 10、B【分析】先構造直角三角形，由cos 鄰邊求解即可得出答案斜邊【詳解】A.cos 2222 32132 1313，故此選項不符合題意；B.cos 3332 22133 1313，故此選項符合題意；C.cos 2222 125255，故此選項不符合題意；D.cos 3332 12103 1010，故此選項不符合題意

20、；故選：B【點睛】本題考查銳角三角函數，掌握在直角三角形中，cos 鄰邊是解題的關鍵斜邊二、填空題11、 3【分析】先根據勾股定理求出AC，再根據等積關系求出 BD，再根據勾股定理求出 AD 以及 CD，最后再求出角的正切值即可【詳解】解：過點B 作 BDAC 于點D，如圖，22 425由勾股定理得， AC 2根據等積關系得， 1 AB CE 1 AC BD22AB CE2 2AC2525 BD 5AB2 BD222 ( 255 )2455由勾股定理得， AD 4556555 CD AC AD 2 tan ACB BD156525CD 35故答案為： 13【點睛】本題考查解直角三角形，三角形的

21、面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題2、5【分析】2作 CDBB于 D，先利用旋轉的性質得CBCB4，BCB90，則可判定BCB為等腰直角三角形，可由CDBCsinB 求出 CD4，然后在 RtACD 中利用正弦的定義求AC 即可【詳解】解：作 CDBB于 D，如圖，ABC 繞點 C 按順時針方向旋轉 90，點B 對應點B落在BA 的延長線上，2BCBC4，BCB90，BCB為等腰直角三角形，B=45，2在 RtBCD 中，CDBCsinB=2 44，2CD在 RtACD 中，sinDAC AC0.8，CDAC 0.8 5故答案為：5【點睛】本題考查旋轉的性質、等

22、腰直角三角形的判定與性質、銳角三角函數，熟練掌握旋轉的性質，會利用銳角三角函數解直角三角形是解答的關鍵33、3【分析】過 B 作 BC桌面于 C，由題意得AB=10cm，BC=5cm，再由勾股定理求出 AC 的長度，然后由坡度的定義即可得出答案【詳解】由題意得：AB=10cm，BC=5cm， AC AB2 BC 2 53 ，如圖，過B 作 BC桌面于 C，BC這個斜坡的坡度i AC 55 333 ，3故答案為：3【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題以及勾股定理；熟練掌握坡度的定義和勾股定理是解題的關鍵4、【分析】由“ASA”可證ANODFO，可得 ON=OF，由等腰三角形的性質可

23、求AFO=45；由外角的性質可求NAO=AQO由“AAS”可證OKGDFG，可得 GO=DG；通過證明AHNOHA，可得，進而可得結論 DP2=NHOH【詳解】四邊形ABCD 是正方形，AO=DO=CO=BO，ACBD，AOD=NOF=90，AON=DOF，OAD+ADO=90=OAF+DAF+ADO，DFAE，DAF+ADF=90=DAF+ADO+ODF，OAF=ODF，ANODFO （ASA），ON=OF，AFO=45，故正確； 如圖，過點O 作OKAE 于 K，CE=2DE，AD=3DE，tanDAE= DE = DF 1 ，ADAF3AF=3DF，ANODFO，AN=DF，NF=2DF

24、，ON=OF，NOF=90，OK=KN=KF= 12FN，DF=OK，又OGK=DGF，OKG=DFG=90，OKGDFG （AAS），GO=DG，故正確；DAO=ODC=45，OA=OD，AOH=DOP，AOHODOP （ASA），AH=DP，ANH=FNO=45=HAO，AHN=AHO，AHNOHA， AH = HN ，HOAHAH2=HOHN，DP2=NHOH，故正確；NAO+AON=ANQ=45，AQO+AON=BAO=45，NAO=AQO， 即Q OAG故錯誤綜上，正確的是 故答案為：【點睛】本題是四邊形綜合題，查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數，等腰三角形的性質

25、，相似三角形的判定和性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵5、 12【分析】直接利用特殊角的三角函數值代入進而得出答案【詳解】解： cos2 45+tan30sin60 sin2 45= (2)2 + ()2 .332123222故答案為 1 2【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶相關數據是解題關鍵 三、解答題1、（1）證明見解析13（2）BE=【分析】由平行四邊形的性質有AB/CD，AD/BC，可得DFE=A，DFC=B，故DCFCEB過點E 作 EHCB 交 CB 延長線于點H，由題意可設EH=x，CH=2x，由勾股定理即可得 EH=3，13CH=6，再由勾股定理即可求得

26、 BE=（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB/CD，AD/BCDCE=BEC，A+B=180DFE+DFC=180又DFE=ADFC=B（2）DCFCEBDCFCEBCDF=ECBtanCDF= tanECB=12過點 E 作EHCB 交 CB 延長線于點H在 RtCEH 中EH1CH tan ECB 2設 EH=x，CH=2xEH 2 CH 2CE=5x5CE= 5x 3x=3，則有EH=3，CH=6BC=4BH=6-4=2EH 2 EH 2在 RtEBH 中有BE=32 229 413則 BE=【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定及性質解直角三角形以及勾股定理，第二問作

27、輔助線將三角函數值轉化到直角三角形中是解題的關鍵2、（1）見解析；（2） 2+1【分析】作BC 的垂直平分線，交 AC 于點D ，則點D 即為所求；根據（1）的結論可得BC CD ，設BC a ，則CD a, BD 2a ，進而根據正切的定義即可求得答案【詳解】解：（1）如圖，作BC 的垂直平分線，交 AC 于點 D ，則點D 即為所求，連接BDDB DADAB DBABDC A ABD 2A（2） A 22.5BDC 2A 45ACB 90BC CD設 BC a ，則CD a, BD 2a AC AD CD BD CD 2 1a211 AC 1BCBCtan AAC【點睛】本題考查了等腰三角

28、形的性質，三角形的外角性質，垂直平分線的性質，正切的定義，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵33、 1，.a 13【分析】由題意根據分式的運算規(guī)則進行化簡后，進而代入特殊銳角三角函數值進行計算即可.【詳解】解：(a1) (a 1)a2 1a 1a (a 1) (a 1)a2 1a2 11 (a 1) (a 1)(a 1)1a 1a tan 60 2sin 30 2 1 3321 ，31 代入 1a 133把a1.3【點睛】本題考查分式的化簡求值以及特殊銳角三角函數值，熟練掌握分式的運算規(guī)則以及特殊銳角三角函數值是解題的關鍵.4、（1）k=-2；（2）d=6- 5 t ， 0 t 12 ，（3）

29、點 E（ 21， 15 ）2588【分析】先求出直線ykx3k 交 x 軸于點B（3，0），OB=3，根據三角函數求出 tanABO2=OAOAOB ，點 A（0，6）利用待定系數法求即可；362 +325GL2 + LB 26 2t 2 + 3 t 25過 G 作 GLx 軸于L，根據點G 的橫坐標為t，得出 OL=t，BL=3-t，利用三角函數求出 GL=6-OA2 + OB252t，根據勾股定理AB= 3，GB= 3 t ，利用線段差求出GA=AB-GB= 3 3 t 5t ，再求出cosOAB= OA 6，得出AC= 5 t 即3 525AB525可；作OBC 的平分線交y 軸于T，過

30、O 作 OQBT 交 BC 與 Q，交BT 于V，過 B 作BSAE 于 S，過E1作 EJx 軸于點J，根據角平分線可得OBT=CBT= CBO ，根據CBO2FHB，得出21OBT=CBT= CBO132FHB FHB ，先證OCQHBF（ASA），得出 CQ BF22315= = 4 ，再證OBVQBV（ASA），得出 OB=QB=3，可求BC=CQ+BQ= 3 ，利用勾股定理在RtCOB 中，OC=44BC2 OB2 4 152 32 9d 99 15AC=OA-OC=6- =BC，再證 CG 為 AB 的垂直平分，求出3 104= 4 ，可證442線，可證ASB 為等腰直角三角形，求

31、出SB=ABcos45 3 5 2 2，再證EBSCBO，可求3 10 159 99BE 24 153810 ，可求 OD=2OC= 2 4 ， 設 OJ=m，JD=OD-OJ= m ，BJ=3+m，根據勾股定2215 22 92 15 10 22115理 JE2= DE2 DJ 2 BE2 BJ 2 即 m 28 3 m2 解得m ,88JE 8 即可【詳解】解：（1）直線 ykx3k 交 x 軸于點B，當 y=0 時，x=3，點 B（3，0），OB=3，OAOAtanABO2= OB 3 ，OA=6，點 A（0，6），點 A 在直線ykx3k 上，3k=6，k=-2；過 G 作 GLx 軸

32、于L，點 G 的橫坐標為t，OL=t，BL=3-t，GLGLtanABO2= LB 3 t ，62 +32GL=6-2t，OA2 + OB25在 RtAOB 中 AB= 3 5 ，GL2 + LB 26 2t 2 + 3 t 255在 RtGLB 中 GB= 3 t ，GA=AB-GB= 3 3 t 5t ，3 525cosOAB= OA 6，25AB55tcosOAB=cosGAC= AG ACAC 5，5AC= 2 t ，5CO=OA-AC=6- 2 t ，5d=6- 2 t ， 0 5 t 6 ，2 0 t 12 ，55d=6- 2 t ，（ 0 t 125 ）；作OBC 的平分線交y 軸于T，過O 作 OQBT 交 BC 與 Q，交BT 于V，過 B 作BSAE 于 S，過E 作 EJx 軸于點J，1OBT=CBT=