第二章推理與證明2.3數(shù)學(xué)歸納法

1、2.3數(shù)學(xué)歸納法（）證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題,可用下列方法來(lái)證明它們的正確性:(1)驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1)時(shí)命題成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN* ，kn0 )時(shí)命題成立, 證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立完成這兩步，就可以斷定這個(gè)命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。注意 1.用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí),要分兩個(gè)步驟,兩個(gè)步驟缺一不可.2(1)(歸納奠基)是遞推的基礎(chǔ). 找準(zhǔn)n0(2)(歸納遞推)是遞推的依據(jù)nk時(shí)命題成立作為必用的條件，而nk+1時(shí)情況則有待利用假設(shè)及已知的定義、公式、定理等加以證明回顧例:已知數(shù)列 計(jì)算 ,根據(jù)計(jì)算的結(jié)果,猜想 的表達(dá)

2、式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.例:是否存在常數(shù)a、b,使得等式: 對(duì)一切正整數(shù)n都成立,并證明你的結(jié)論.點(diǎn)撥:對(duì)這種類(lèi)型的題目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系數(shù),然后用數(shù)學(xué)歸納法證明它對(duì)一切正整數(shù)n都成立.解:令n=1,2,并整理得以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論正確,即:則當(dāng)n=k+1時(shí),故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也正確.根據(jù)(1)、(2)知,對(duì)一切正整數(shù)n,結(jié)論正確.(1)當(dāng)n=1時(shí),由上面解法知結(jié)論正確.例:比較 2n 與 n2 (nN*)的大小注：先猜想，再證明解：當(dāng)n=1時(shí)，2n=2,n2=1, 2nn2 當(dāng)n=2時(shí)，2n=4,n2=4, 2n=n2 當(dāng)n=3時(shí)，2n=8

3、,n2=9, 2nn2 當(dāng)n=6時(shí)，2n=64,n2=36, 2nn2猜想當(dāng)n5時(shí)，2nn2(證明略)例:平面內(nèi)有n條直線(xiàn),其中任何兩條不平行,任何三條不過(guò)同一點(diǎn),證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)=n(n-1)/2.說(shuō)明:用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題,重難點(diǎn)是處理好當(dāng)n=k+1時(shí)利用假設(shè)結(jié)合幾何知識(shí)證明命題成立.注:在上例的題設(shè)條件下還可以有如下二個(gè)結(jié)論:(1)設(shè)這n條直線(xiàn)互相分割成f(n)條線(xiàn)段或射線(xiàn),-則: f(n)=n2.(2)這n條直線(xiàn)把平面分成(n2+n+2)/2個(gè)區(qū)域.:平面內(nèi)有n條直線(xiàn),其中任何兩條不平行,任何三條不過(guò)同一點(diǎn),證明這n條直線(xiàn)把平面分成f(n)(n2+n+2)/2個(gè)區(qū)域.作業(yè)1:n邊形有f(n)條對(duì)角線(xiàn),則凸n+1邊形的對(duì)角線(xiàn) -的條數(shù)f(n+1)=f(n)+_.2:設(shè)有通過(guò)一點(diǎn)的k個(gè)平面,其中任何三個(gè)平面或 三個(gè)以上的平面不共有一條直線(xiàn),這