2022新高考總復習《數(shù)學》(人教)第五章　平面向量、復數(shù)5.2　平面向量基本定理及坐標表示

1、高考總復習優(yōu)化設計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI5.2平面向量基本定理及坐標表示第五章2022內(nèi)容索引0102必備知識 預案自診關鍵能力 學案突破03素養(yǎng)提升微專題5共線定理的推廣及應用必備知識 預案自診【知識梳理】 1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)1,2,使a=.若e1,e2不共線,我們把e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個.把一個向量分解為兩個的向量,叫做把向量作正交分解.2.平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底,a為坐

2、標平面內(nèi)的任意向量,以坐標原點O為起點作 =a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù)x,y,使得 =xi+yj,因此a=xi+yj,我們把實數(shù)對叫做向量a的坐標,記作a=.不共線1e1+2e2 基底互相垂直(x,y)(x,y)3.平面向量的坐標運算 運算坐標表示(設a=(x1,y1),b=(x2,y2)和a+b=(x1+x2,y1+y2)差a-b=(x1-x2,y1-y2)數(shù)乘a=(x1,y1),其中R設A(x1,y1),B(x2,y2),則 =(x2-x1,y2-y1)4.平面向量共線的坐標表示設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab .x1y2-x2y1=0 常用結論【考點自診

3、】 1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底.()(2)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換其坐標不變.()(3)已知a,b是一組基底,若實數(shù)1,1,2,2滿足1a+1b=2a+2b,則1=2,1=2.()2.(2019全國2,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=() 答案 A 答案 A 4.已知向量a=(1,-2),同時滿足條件ab,|a+b|a|的一個向量b的坐標為.答案(-1,2)(答案不唯一) 解析ab,b=a (R),|a+b|a|a+a|a|a(1+)|a|1+|1.-20,不妨取=-1,向量b的坐標為(-

4、1,2).關鍵能力 學案突破考點1平面向量基本定理及其應用答案 (1)C(2)C 解題心得平面向量基本定理的實質及應用思路(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式,再通過向量的運算來解決.(2)在下列向量組中,可以把向量a=(2,3)表示成e1+e2(,R)的是()A.e1=(0,0),e2=(2,1)B.e1=(3,4),e2=(6,8)C.e1=(-1,2),e2=(3,-2)D.e1=(1,-3),e2=(-1,3)(3)設e1

5、,e2是平面內(nèi)一組基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一組基底a,b的線性組合,即e1+e2=.(2)根據(jù)平面向量基本定理可知,e1,e2不共線,驗證各選項,只有選項C中的兩個向量不共線,故選C.(3)由題意,設e1+e2=ma+nb.因為a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得考點2平面向量的坐標化及運算答案 (1)B(2)B 解題心得求解平面向量坐標運算問題的一般思路(1)向量問題坐標化向量的坐標運算,使得向量的線性運算都可用坐標來進行,實現(xiàn)了向量

6、運算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結合起來,通過建立平面直角坐標系,使幾何問題轉化為數(shù)量運算.(2)巧借方程思想求坐標平面向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行,若已知有向線段兩端點的坐標,則應先求出向量的坐標,求解過程中要注意方程思想的運用.(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)利用平面向量坐標運算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐標,再用待定系數(shù)法求出系數(shù).答案 (1)(4,7)(2)A (2)如圖,以A為原點,AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標系,則B點的坐標為(1,0),C點的坐標為(0,2),因為DAB=60,所以設D點的坐標為考點3平面向量共線的坐標表

7、示(多考向探究)考向1利用向量共線求向量或點的坐標【例3】 已知O為坐標原點,點A(4,0),B(4,4),C(2,6),則AC與OB的交點P的坐標為.答案 (3,3) 考向2利用向量共線求參數(shù)【例4】 已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb與a-3b共線,則 =.解題心得平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線,求某些參數(shù)的取值時,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件是x1y2=x2y1”解題比較方便.(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標.一般地,在求與一個已知向量a共線的向量時,可設所求向量為a

8、(R),然后結合其他條件列出關于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量.對點訓練3(1)設向量 =(-2n,0),m,nR,O為坐標原點,若A,B,C三點共線,則m+n的最大值為()A.-3B.-2C.2D.3(2)(2018全國3,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),則=.(3)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,則角C的大小為.素養(yǎng)提升微專題5共線定理的推廣及應用素養(yǎng)解讀最近幾年的高考試題中,很多題目都是以向量知識為背景,以共線向量為載體的向量分解與合成問題.以向量共線定理為“數(shù)”和“形”的紐帶,旨在考查學生分析問題的能力,考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).常用結論常用結論類型一感受平面內(nèi)三點共線的結論在解題中的簡明快捷 解題心得共起點的三個向量如果它們的終點在同一條直線上,那么用其中兩個向量表示另一個向量時,等式左邊系數(shù)之和等于右邊系數(shù)之和.答案 B解析 如圖,CD為ACB的角平分線,類型二感受共線向量數(shù)、形二重性在平面幾何探究中的獨特魅力 解題心得將平面幾何中的有向線段轉化