緒論及數(shù)學(xué)準(zhǔn)備 課件

1、緒論及數(shù)學(xué)準(zhǔn)備第零章 第零章第一節(jié)矢量代數(shù)與張量初步1 矢量代數(shù)與張量初步直角坐標(biāo)系中 矢量定義 矢量的基本運(yùn)算 矢量代數(shù)中的兩個(gè)重要公式 混合積矢量微分雙重矢量積注意順序不能顛倒 并矢與張量 （一般 ） 為單位并矢，張量的基（9個(gè)分量） 矢量與張量的矩陣表示 張量的運(yùn)算兩并矢的一次點(diǎn)乘 兩并矢的二次點(diǎn)乘 單位張量與矢量、張量的點(diǎn)乘 補(bǔ)充練習(xí)題（ 0， ， 1， 1 ）計(jì)算與矢量 垂直,即證明計(jì)算下列各式證明下列各式 第零章第二節(jié)矢量場(chǎng)論復(fù)習(xí)一、場(chǎng)的概念2 矢量場(chǎng)論復(fù)習(xí) 描述一定空間中連續(xù)分布的物質(zhì)對(duì)象的物理量?；蛘f(shuō)：若在一定空間中的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的確定值，就說(shuō)在這空間中確定了該物

2、理的場(chǎng)。 如：強(qiáng)度場(chǎng)、速度場(chǎng)、引力場(chǎng)、電磁場(chǎng)。場(chǎng)用一個(gè)空間和時(shí)間 坐標(biāo)的函數(shù)來(lái)描述：穩(wěn)恒場(chǎng)（穩(wěn)定場(chǎng)、靜場(chǎng)）：場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)變化場(chǎng)（時(shí)變場(chǎng)）：場(chǎng)函數(shù)與時(shí)間有關(guān)已知場(chǎng)函數(shù)可以了解場(chǎng)的各種性質(zhì)：隨時(shí)空的變化關(guān)系（梯、散、旋度）。已知場(chǎng)函數(shù)的梯度、散度、旋度可以確定場(chǎng)函數(shù)， 這是電動(dòng)力學(xué)求解電磁場(chǎng)的主要方法。二、標(biāo)量場(chǎng)的梯度 在空間任意靠近兩點(diǎn)函數(shù) 的全微分在空間某點(diǎn)的任意方向上，導(dǎo)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，其中有一個(gè)值最大，這個(gè)方向?qū)?shù)的最大值定義為梯度： 梯度的意義：空間某點(diǎn)標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)的最大變化率 ，刻畫了標(biāo)量場(chǎng)的空間分布特征 等值面： 常數(shù)的曲面稱為等值面。 梯度與等值面的關(guān)系：梯度與等值面垂直。 已知梯度即

3、可求出沿任一方向的方向?qū)?shù)。三、矢量微分算子 既具有矢量性質(zhì)，又具有微分性質(zhì) 注意：它可以作用在矢量上，可以作點(diǎn)乘、叉乘。 解：=？例1：解：例2：=？四、高斯定理與矢量場(chǎng)的散度 矢量族 在矢量場(chǎng)中對(duì)于給定的一點(diǎn)，有一個(gè)方向，它沿某一曲線的切線方向，這條曲線形成一條矢量線，又叫場(chǎng)線（對(duì)靜電場(chǎng)稱為電力線），無(wú)窮多條這樣的曲線構(gòu)成一個(gè)矢量族。 矢量場(chǎng)的通量 面元 的通量： 有限面積 的通量 意義：用來(lái)描述空間某一范圍內(nèi)場(chǎng)的發(fā)散或會(huì)聚，它只具 有局域性質(zhì)，不能反映空間一點(diǎn)的情況。 有源 無(wú)源 負(fù)源 閉合曲面的通量 高斯公式 矢量場(chǎng)的散度 縮小到一點(diǎn) 若空間各點(diǎn)處處 則稱 為無(wú)源場(chǎng)。 該點(diǎn)有源 該點(diǎn)無(wú)

4、源 該點(diǎn)為負(fù)源 例子：求求 證明證：五、斯托克斯公式與矢量場(chǎng)的旋度 矢量場(chǎng)的環(huán)量（環(huán)流） 表明在區(qū)域內(nèi)無(wú)渦旋狀態(tài)，場(chǎng)線不閉合 表明在區(qū)域內(nèi)存在渦旋狀態(tài)，場(chǎng)線閉合 斯托克斯公式（定理） 矢量 沿任一閉合曲線 的積分稱為環(huán)量 定義 為矢量場(chǎng)的旋度，它在 法線方向上的分量為單位面積上的環(huán)量?？坍嬍噶繄?chǎng)場(chǎng)線在空間某點(diǎn)上的環(huán)流特征。若空間各點(diǎn) ，則稱 為無(wú)旋場(chǎng)。 矢量場(chǎng)的旋度 當(dāng)L無(wú)限?。?例子： 證明同理證= 0 證明 證：六、有關(guān)場(chǎng)的四個(gè)定理關(guān)于散度旋度的兩個(gè)定理 正定理：標(biāo)量場(chǎng)的梯度必為無(wú)旋場(chǎng)， 即 逆定理：無(wú)旋場(chǎng)必可以表示為某一標(biāo)量場(chǎng)的梯度。 即若 ，則 ， 稱為無(wú)旋場(chǎng) 的標(biāo)量 勢(shì)函數(shù)。 2.

5、正定理: 矢量場(chǎng)的旋度必為無(wú)散場(chǎng)，即 逆定理: 無(wú)源場(chǎng)必可表示為某個(gè)矢量場(chǎng)的旋度。 即若 ，則 ， 稱為無(wú)源場(chǎng) 的矢量勢(shì)函數(shù)。 亥姆霍茲定理 任意矢量場(chǎng) 均可分 解為無(wú)旋場(chǎng) 和無(wú)源場(chǎng) 之和。 即 可分解為 。 又稱為 的橫場(chǎng)部分，可引入標(biāo)勢(shì) ， 又稱為 的縱場(chǎng)部分，可引入矢勢(shì) ， 唯一性定理 定理： 在空間某一區(qū)域內(nèi)給定場(chǎng)的散度和旋度以及 矢量場(chǎng)在區(qū)域邊界上的法線分量， 則該矢量場(chǎng)在區(qū)域內(nèi)是唯一確定的。 V 17951799年在哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)，1799年獲博士學(xué)位。1870年任哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)教授和哥廷根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，一直到逝世。1855年2月23日在哥廷根逝世。他一生中共發(fā)表323篇（種）著作，

6、提出404項(xiàng)科學(xué)創(chuàng)見(jiàn)（發(fā)表178項(xiàng)），在各領(lǐng)域的主要成就有： （1）關(guān)于靜電學(xué)溫差電和摩擦電的研究、利用絕對(duì)單位（長(zhǎng)度質(zhì)量和時(shí)間）法則量度非力學(xué)量以及地磁分布的理論研究；（2）利用幾何學(xué)知識(shí)研究光學(xué)系統(tǒng)近軸光線行為和成像，建立高斯定理光學(xué)；（3）天文學(xué)和大地測(cè)量學(xué)中，如小行星軌道的計(jì)算，地球大小和形狀的理論研究等；（4）結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)算，發(fā)展了概率統(tǒng)計(jì)理論和誤差理論，發(fā)明了最小二乘法，引入高斯定理誤差曲線。此外，在純數(shù)學(xué)方面，對(duì)數(shù)論、代數(shù)、幾何學(xué)的若干基本定理作出嚴(yán)格證明。 德國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。1777年4月30日生于德國(guó)布倫瑞克，幼時(shí)家境貧困，聰敏異常，受一貴族資助才進(jìn)學(xué)校受教育。高斯 第零章第三節(jié)三度在坐標(biāo)系中的表示及一些重要公式 3 三度在坐標(biāo)系中的表示及一些重要公式 一、矢量微分算子（哈密頓算子） 二、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系 柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系 球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系 三、“三度”在坐標(biāo)系中的具體表示形式 四、關(guān)于“三度”的一些常用公式復(fù)合函數(shù)的 三度公式 積分變換公式 高斯公式 斯托克斯公式 利用混合積公式格林公式 第一公式 第二公式 積分變換的一般規(guī)則 一般變換規(guī)則證明 證： 任取常矢