高等數(shù)學(xué)_同濟(jì)大學(xué)第六版--高等數(shù)學(xué)課件第一章函數(shù)與極限-

1、7/21/20221函數(shù)與極限一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集7/21/20222函數(shù)與極限數(shù)集分類:N-自然數(shù)集Z-整數(shù)集Q-有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.7/21/20223函數(shù)與極限2.區(qū)間:是指介于某兩個實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,7/21/20224函數(shù)與極限稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.7/21/20225函數(shù)與極限3.鄰域:7/21/

2、20226函數(shù)與極限4.常量與變量: 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a, b, c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x, y, t等表示變量.7/21/20227函數(shù)與極限5.絕對值:運(yùn)算性質(zhì):絕對值不等式:7/21/20228函數(shù)與極限因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域二、函數(shù)概念7/21/20229函數(shù)與極限自變量因變量對應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.7/21/202210函數(shù)與極限定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是

3、只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)7/21/202211函數(shù)與極限 (1) 符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo7/21/202212函數(shù)與極限(2) 取整函數(shù) y=xx表示不超過 的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線7/21/202213函數(shù)與極限有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)7/21/202214函數(shù)與極限(4) 取最值函數(shù)yxoyxo7/21/202215函數(shù)與極限在自變量的不同變化范圍中, 對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).7/21/202216函數(shù)與極限例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個

4、單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間 的函數(shù)關(guān)系式.解單三角脈沖信號的電壓7/21/202217函數(shù)與極限7/21/202218函數(shù)與極限例2解故7/21/202219函數(shù)與極限三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1函數(shù)的有界性:7/21/202220函數(shù)與極限2函數(shù)的單調(diào)性:xyo7/21/202221函數(shù)與極限xyo7/21/202222函數(shù)與極限3函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x7/21/202223函數(shù)與極限奇函數(shù)yxox-x7/21/202224函數(shù)與極限4函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.7/21/202225函數(shù)與極限 直接

5、函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱.四、反函數(shù)7/21/202226函數(shù)與極限五、小結(jié)基本概念集合, 區(qū)間, 鄰域, 常量與變量, 絕對值.函數(shù)的概念函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù)7/21/202227函數(shù)與極限思考題7/21/202228函數(shù)與極限思考題解答設(shè)則故7/21/202229函數(shù)與極限練 習(xí) 題7/21/202230函數(shù)與極限7/21/202231函數(shù)與極限練習(xí)題答案7/21/202232函數(shù)與極限7/21/202233函數(shù)與極限一、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)7/21/202234函數(shù)與極限2.指數(shù)函數(shù)7/21/202235函數(shù)與極限3.對數(shù)函數(shù)7/21/202236函

6、數(shù)與極限4.三角函數(shù)正弦函數(shù)7/21/202237函數(shù)與極限余弦函數(shù)7/21/202238函數(shù)與極限正切函數(shù)7/21/202239函數(shù)與極限余切函數(shù)7/21/202240函數(shù)與極限正割函數(shù)7/21/202241函數(shù)與極限余割函數(shù)7/21/202242函數(shù)與極限5.反三角函數(shù)7/21/202243函數(shù)與極限7/21/202244函數(shù)與極限7/21/202245函數(shù)與極限 冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).7/21/202246函數(shù)與極限二、復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)定義:7/21/202247函數(shù)與極限注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;2

7、.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.2.初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).7/21/202248函數(shù)與極限例1解7/21/202249函數(shù)與極限綜上所述7/21/202250函數(shù)與極限三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)7/21/202251函數(shù)與極限奇函數(shù),有界函數(shù),7/21/202252函數(shù)與極限雙曲函數(shù)常用公式7/21/202253函數(shù)與極限2.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),7/21/202254函數(shù)與極限7/21/202255函數(shù)與極限奇函數(shù),7/21/202256函數(shù)與極限四、小結(jié)函數(shù)的分類

8、:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))7/21/202257函數(shù)與極限思考題7/21/202258函數(shù)與極限思考題解答不能7/21/202259函數(shù)與極限一、填空題:練 習(xí) 題7/21/202260函數(shù)與極限7/21/202261函數(shù)與極限練習(xí)題答案7/21/202262函數(shù)與極限7/21/202263函數(shù)與極限7/21/202264函數(shù)與極限“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：播放劉徽一、概念的引入7/21/202265函數(shù)與極限正六邊形的面積正十二邊形

9、的面積正 形的面積7/21/202266函數(shù)與極限2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”7/21/202267函數(shù)與極限二、數(shù)列的定義例如7/21/202268函數(shù)與極限注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列.可看作一動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)7/21/202269函數(shù)與極限播放三、數(shù)列的極限7/21/202270函數(shù)與極限問題:當(dāng) 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:7/21/202271函數(shù)與極限7/21/202272函數(shù)與極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：7/2

10、1/202273函數(shù)與極限幾何解釋:其中7/21/202274函數(shù)與極限數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：7/21/202275函數(shù)與極限例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N.7/21/202276函數(shù)與極限例3證7/21/202277函數(shù)與極限例4證7/21/202278函數(shù)與極限四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性例如,有界無界7/21/202279函數(shù)與極限定理1 收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論 無界數(shù)列必定發(fā)散.7/21/202280函數(shù)與極限2.唯一性定理2

11、 每個收斂的數(shù)列只有一個極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.7/21/202281函數(shù)與極限例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).7/21/202282函數(shù)與極限3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a7/21/202283函數(shù)與極限五.小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.7/21/202284函數(shù)與極限思考題證明要使只要使從而由得取當(dāng) 時，必有 成立7/21/202285函數(shù)與極限思考題解答（等價）證明中所采用的實(shí)際上就是不等式即證明中沒有采用“適當(dāng)放大” 的

12、值7/21/202286函數(shù)與極限從而 時，僅有 成立，但不是 的充分條件反而縮小為7/21/202287函數(shù)與極限練 習(xí) 題7/21/202288函數(shù)與極限“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入7/21/202289函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限7/21/202290函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限7/21/202291函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限7/21/202292函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限7/21/202293函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限7/21/202294函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限7/21/202295函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限7/21/20229

13、6函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限7/21/202297函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限7/21/202298函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限7/21/202299函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限7/21/2022100函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限7/21/2022101函數(shù)與極限三、數(shù)列的極限7/21/2022102函數(shù)與極限7/21/2022103函數(shù)與極限播放一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限7/21/2022104函數(shù)與極限通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.7/21/2022105函數(shù)與極限7/21/2022106函數(shù)與極限2.另兩種情形:7/21/2022107函數(shù)與極限3.幾何解釋:7/

14、21/2022108函數(shù)與極限例1證7/21/2022109函數(shù)與極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限7/21/2022110函數(shù)與極限7/21/2022111函數(shù)與極限2.幾何解釋:注意：7/21/2022112函數(shù)與極限例2證例3證7/21/2022113函數(shù)與極限例4證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義.7/21/2022114函數(shù)與極限例5證7/21/2022115函數(shù)與極限3.單側(cè)極限:例如,7/21/2022116函數(shù)與極限左極限右極限7/21/2022117函數(shù)與極限左右極限存在但不相等,例6證7/21/2022118函數(shù)與極限三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性2.唯一性7/21/2022119

15、函數(shù)與極限推論3.不等式性質(zhì)定理(保序性)7/21/2022120函數(shù)與極限定理(保號性)推論7/21/2022121函數(shù)與極限4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理7/21/2022122函數(shù)與極限證7/21/2022123函數(shù)與極限例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.7/21/2022124函數(shù)與極限例7證7/21/2022125函數(shù)與極限二者不相等,7/21/2022126函數(shù)與極限四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見下表)7/21/2022127函數(shù)與極限過 程時 刻從此時刻以后 過 程時 刻從此時刻以后 7/21/202212

16、8函數(shù)與極限思考題7/21/2022129函數(shù)與極限思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.7/21/2022130函數(shù)與極限一、填空題:練 習(xí) 題7/21/2022131函數(shù)與極限7/21/2022132函數(shù)與極限練習(xí)題答案7/21/2022133函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限7/21/2022134函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限7/21/2022135函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限7/21/2022136函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限7/21/2022137函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限7/21/2022138函數(shù)與極限一、自變

17、量趨向無窮大時函數(shù)的極限7/21/2022139函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限7/21/2022140函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限7/21/2022141函數(shù)與極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限7/21/2022142函數(shù)與極限7/21/2022143函數(shù)與極限一、無窮小1.定義:極限為零的變量稱為無窮小.7/21/2022144函數(shù)與極限例如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).7/21/2022145函數(shù)與極限2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性7/21/2022146函數(shù)與極限意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問

18、題(無窮小);3.無窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理2 在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證7/21/2022147函數(shù)與極限注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.7/21/2022148函數(shù)與極限定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證7/21/2022149函數(shù)與極限推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小7/21/2022150函數(shù)與極限二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.7/21/2022151函數(shù)與極限特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3

19、. 無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.7/21/2022152函數(shù)與極限不是無窮大無界，7/21/2022153函數(shù)與極限證7/21/2022154函數(shù)與極限三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理4 在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證7/21/2022155函數(shù)與極限意義 關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.7/21/2022156函數(shù)與極限四、小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點(diǎn)注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1） 無窮?。?大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的

20、代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3） 無界變量未必是無窮大.7/21/2022157函數(shù)與極限思考題7/21/2022158函數(shù)與極限思考題解答不能保證.例有7/21/2022159函數(shù)與極限一、填空題:練 習(xí) 題7/21/2022160函數(shù)與極限7/21/2022161函數(shù)與極限練習(xí)題答案7/21/2022162函數(shù)與極限7/21/2022163函數(shù)與極限一、極限運(yùn)算法則定理證由無窮小運(yùn)算法則,得7/21/2022164函數(shù)與極限7/21/2022165函數(shù)與極限推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2有界，7/21/2022166函數(shù)與極限二、求極限方法舉例例1解7/21/2022167函

21、數(shù)與極限小結(jié):7/21/2022168函數(shù)與極限解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例27/21/2022169函數(shù)與極限解例3(消去零因子法)7/21/2022170函數(shù)與極限例4解(無窮小因子分出法)7/21/2022171函數(shù)與極限小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.7/21/2022172函數(shù)與極限例5解先變形再求極限.7/21/2022173函數(shù)與極限例6解7/21/2022174函數(shù)與極限例7解左右極限存在且相等,7/21/2022175函數(shù)與極限三、小結(jié)1.極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2.極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法

22、求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.7/21/2022176函數(shù)與極限思考題 在某個過程中，若 有極限， 無極限，那么 是否有極限？為什么？7/21/2022177函數(shù)與極限思考題解答沒有極限假設(shè) 有極限，有極限，由極限運(yùn)算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤7/21/2022178函數(shù)與極限一、填空題:練 習(xí) 題7/21/2022179函數(shù)與極限二、求下列各極限:7/21/2022180函數(shù)與極限7/21/2022181函數(shù)與極限練習(xí)題答案7/21/2022182函數(shù)與極限7/21/2022183函數(shù)

23、與極限一、無窮小的比較例如,極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限7/21/2022184函數(shù)與極限定義:7/21/2022185函數(shù)與極限例1解例2解7/21/2022186函數(shù)與極限常用等價無窮小:用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:例如,7/21/2022187函數(shù)與極限二、等價無窮小替換定理(等價無窮小替換定理)證7/21/2022188函數(shù)與極限例3解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意7/21/2022189函數(shù)與極限例4解解錯7/21/2022190函數(shù)與極限例5解7/21/2022191函數(shù)與極限三、小結(jié)1.無窮小的比較:反映

24、了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.2.等價無窮小的替換: 求極限的又一種方法, 注意適用條件.高(低)階無窮小; 等價無窮小; 無窮小的階.7/21/2022192函數(shù)與極限思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？7/21/2022193函數(shù)與極限思考題解答不能例當(dāng) 時都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當(dāng) 時7/21/2022194函數(shù)與極限練 習(xí) 題7/21/2022195函數(shù)與極限7/21/2022196函數(shù)與極限7/21/2022197函數(shù)與極限練習(xí)題答案7/21/2022198函數(shù)與極限7/21/2022199函數(shù)與極限7/21/2022200函

25、數(shù)與極限一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量7/21/2022201函數(shù)與極限2.連續(xù)的定義7/21/2022202函數(shù)與極限7/21/2022203函數(shù)與極限例1證由定義2知7/21/2022204函數(shù)與極限3.單側(cè)連續(xù)定理7/21/2022205函數(shù)與極限例2解右連續(xù)但不左連續(xù) ,7/21/2022206函數(shù)與極限4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,7/21/2022207函數(shù)與極限例3證7/21/2022208函數(shù)與極限二、函數(shù)的間斷點(diǎn)7/21/2022209函數(shù)與極限1.跳躍間斷點(diǎn)

26、例4解7/21/2022210函數(shù)與極限2.可去間斷點(diǎn)例57/21/2022211函數(shù)與極限解注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).7/21/2022212函數(shù)與極限如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)7/21/2022213函數(shù)與極限3.第二類間斷點(diǎn)例6解7/21/2022214函數(shù)與極限例7解注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個別的幾個點(diǎn).7/21/2022215函數(shù)與極限狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù), 其余各點(diǎn)處處間斷.7/21/2022216函數(shù)與極限在定義域 R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, 但其絕

27、對值處處連續(xù).判斷下列間斷點(diǎn)類型:7/21/2022217函數(shù)與極限例8解7/21/2022218函數(shù)與極限三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)(見下圖)7/21/2022219函數(shù)與極限可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx7/21/2022220函數(shù)與極限思考題7/21/2022221函數(shù)與極限思考題解答且7/21/2022222函數(shù)與極限但反之不成立.例但7/21/2022223函數(shù)與極限練 習(xí) 題7/21/2022224函數(shù)與極限7

28、/21/2022225函數(shù)與極限練習(xí)題答案7/21/2022226函數(shù)與極限7/21/2022227函數(shù)與極限7/21/2022228函數(shù)與極限一、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理1例如,7/21/2022229函數(shù)與極限二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).7/21/2022230函數(shù)與極限定理3證7/21/2022231函數(shù)與極限將上兩步合起來:7/21/2022232函數(shù)與極限意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;例1解7/21/2022233函數(shù)與極限例2解同理可得7/21/2022234函數(shù)與極限定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,7/21/2022235函數(shù)與極限三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.7/21/2022236函數(shù)與極限定理5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.(均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理6 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是