自動控制原理第二章課件可編輯版(PPT 24頁)

1、第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 通過前面的學習我們知道，自動控制理論是研究自動控制系統(tǒng)三方面性能的基本理論。 設(shè)控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)輸入輸出加上輸入信號tr(t)0tc(t)0求出輸出響應根據(jù)輸出響應即可分析系統(tǒng)的性能。 怎樣根據(jù)輸入信號求系統(tǒng)的輸出響應？ 如果知道控制系統(tǒng)的數(shù)學模型就可求出系統(tǒng)的輸出響應。 分析系統(tǒng)性能的第一步就是建立系統(tǒng)的數(shù)學模型，這是第二章的主要內(nèi)容。數(shù)學模型：描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學表達式。數(shù)學模型反映了系統(tǒng)各變量之間的關(guān)系。常用的數(shù)學模型：(2) 微分方程(3) 傳遞函數(shù)(4) 頻率特性(1) 代數(shù)方程(5) 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 其中微分方程是最基本的，其

2、它可以通過微分方程求得。 建立微分方程的方法：(1) 解析法(2) 實驗法這一章介紹解析法。第1頁，共24頁。第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程第三節(jié) 傳遞函數(shù)第四節(jié) 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖第五節(jié) 反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第六節(jié) 數(shù)學模型的建立與化簡舉例 第七節(jié) 用MATLAB處理系統(tǒng)數(shù)學模型 第二節(jié) 數(shù)學模型的線性化第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第2頁，共24頁。第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程一、建立微分方程的一般步驟二、常見環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的微分 方程的建立 三、 線性微分方程式的求解上一目錄第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第3頁，共24頁。第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程（1）確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量一、建立系統(tǒng)微分方程的一般步

3、驟 系統(tǒng)通常由一些環(huán)節(jié)連接而成，將系統(tǒng)中的每個環(huán)節(jié)的微分方程求出來，便可求出整個系統(tǒng)的微分方程。列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟： 根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的基本物理規(guī)律，分別列寫出相應的微分方程組。（2）建立初始微分方程組 將與輸入量有關(guān)的項寫在方程式等號右邊，與輸出量有關(guān)的項寫在等號的左邊。（3）消除中間變量，將式子標準化 下面舉例說明常用環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的微分方程的建立第4頁，共24頁。ucur二、常見環(huán)節(jié)和系統(tǒng)微分方程的建立1 RC電路+-ucur+-CiR輸入量：輸出量：第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程(1) 確定輸入量和輸出量(2) 建立初始微分方程組(3) 消除中間變量，使式子標準化ur= Ri + uc

4、i = Cducdt根據(jù)基爾霍夫定律得： 微分方程中只能留下輸入、輸出變量，及系統(tǒng)的一些常數(shù)。RCducdt+ uc= urRC電路是一階常系數(shù)線性微分方程。第5頁，共24頁。2機械位移系統(tǒng)系統(tǒng)組成：質(zhì)量彈簧阻尼器輸入量彈簧系數(shù)km阻尼系數(shù)fF(t) 輸出量y(t) (2) 初始微分方程組F = ma根據(jù)牛頓第二定律第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)工作過程：(1) 確定輸入和輸出F(t) FB(t) FK(t) = ma中間變量關(guān)系式:FB(t) = fdy(t)dtFK(t) = k y(t)a =d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ ky(t) = F(t)+消除中間 變

5、量得:第6頁，共24頁。3他激直流電動機Ud系統(tǒng)組成：直流電機負載輸入:電樞電壓勵磁電流If電磁轉(zhuǎn)矩Te負載轉(zhuǎn)矩TL摩擦轉(zhuǎn)矩Tf工作原理： 電樞電壓作用下產(chǎn)生電樞電流，從而產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩使電動機轉(zhuǎn)動.輸出:電動機速度n第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程第7頁，共24頁。根據(jù)基爾霍夫定律有 電動機的電路等效圖:eb+-udLaidRadiddt ud = Rd id+Ld+ebeb =CenCe 反電勢系數(shù)反電勢根據(jù)機械運動方程式 dndt Te -TL Tf =GD2375Te =Cm id Cm 轉(zhuǎn)矩系數(shù)GD2 飛輪慣量為了簡化方程，設(shè)TL = Tf = 0id =GD2375Cmdndt.+ n =

6、+GD2 Ra375CmCedndtGD2375d2ndt2Cm CeRaLaRaudCe定義機電時間常數(shù)：GD2 Ra375Cm CeTm =電磁時間常數(shù)：LaRaTa = 電動機的微分方程式為：+ n =d2ndt2Tm Ta+ TmdndtudCe第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程第8頁，共24頁。4液位系統(tǒng)第一章里已經(jīng)介紹了工作原理：其中:qi0流入箱體 的流量qo0流出箱體 的流量qi0qo0h0液面高度h0qi流入箱體 流量增量+qiqo流出箱體 流量增量+qoh液面高度 增量+hA箱體面積根據(jù)物料平衡關(guān)系dtAdh0+h(t)=qi0+qi(t)-qo0+qo(t)平衡時：qi0=qo0

7、故dtAdh(t)=qi(t)-qo(t)qo(t)的流量公式qo(t)=ah(t)得:dtAdh(t)=qi(t)+ah(t)第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程第9頁，共24頁。 根據(jù)實例可知：系統(tǒng)微分方程由輸出量各階導數(shù)和輸入量各階導數(shù)以及系統(tǒng)的一些參數(shù)構(gòu)成。第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)微分方程的一般表達式為：dtm+bmr(t) = b0dm-1r(t)dtm-1+b1+dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+dnc(t)dtna0dn-1c(t)dt n-1+a1dc(t)dt +an-1 將已知輸入信號代入微分方程中，求解微分方程即可求得系統(tǒng)輸?shù)某鲰憫?。微分方程r(t)c(t)

8、第10頁，共24頁。三、線性微分方程式的求解第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程 工程實踐中常采用拉氏變換法求解線性常微分方程。拉氏變換法求解微分方程的基本思路：線性微分方程時域t拉氏變換代數(shù)方程復數(shù)域s代數(shù)方程的解求解拉氏反變換微分方程的解第11頁，共24頁。第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程1拉氏變換的定義如果有一函數(shù)滿足下列條件：(1) t 0 時 f(t)=0 (2) t0 時 f(t)是分段連續(xù)的 0(3) f(t)e dt -stf(t)的拉氏變換為：0F(s)= f(t)e dt -st記作 F(s)=Lf(t)拉氏反變換為： f(t)=L-1 F(s)第12頁，共24頁。2常用函數(shù)的拉氏變換第一

9、節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程(1) 單位階躍函數(shù)I(t)f(t)t010F(s)= I(t)e dt -st=S1(2) 單位脈沖函數(shù)(t)f(t)t00F(s)=(t)e dt -st=1(3) 單位斜坡函數(shù)tf(t)t00F(s)= t e dt -st=S21(4) 正弦函數(shù)Sintt0f(t)=s2 +20F(s)= Sint e dt -st(5) 余弦函數(shù)Cost0F(s)= Cost e dt -st=s2 +2s(6) 指數(shù)函數(shù)-atef(t)t010F(s)= e e dt -at-st=1s+a(7) 拋物函數(shù)t212t2e120F(s)= -st dt f(t)t0=S31第1

10、3頁，共24頁。3拉氏變換的定理(1) 線性定理 Laf1(t)+bf2(t)= aF1(s)+bF2(s)例 求正弦函數(shù)f(t)=Sint的拉氏變換 解：2je -eSint =jt-jt LSint= 2j1s-j1-s+j1=s2 +2(2) 微分定理 L df(t)dt= sF(s)-f(0)例 求階躍函數(shù)f(t)=I(t)的拉氏變換 解：已知 dtdt=I(t) Lt= s21 LI(t)= L( dtdt)=ss21-0=1s第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程 L d2f(t)dt2= s2F(s)-sf(0)-f(0)第14頁，共24頁。(3) 積分定理 Lf(t)dt=1sF(s)+f

11、-1(0)s(4) 延遲定理 Lf(t-)-s=eF(s)例 求f(t)=t-的拉氏變換 解：f(t)t0tt-sF(s)=Lte=s2-s1e(5) 位移定理-atLe f(t)=F(s+a)解：例 求f(t)=e Sint的拉氏變換 -atF(s)=(s+a)2+2(6) 初值定理Lim f(t )=lim sF(s)st0(7) 終值定理Lim f(t )=lim sF(s)ts0第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程第15頁，共24頁。4拉氏反變換象函數(shù)的一般表達式：F(s) =b0 sm + b1 sm-1 + + bm-1 s + bma0 sn + a1 sn-1 + + an-1 s +

12、an分解為K(s z1 )(s z2 )(s zm )(s p1 )(s p2 )(s pn )=零點極點轉(zhuǎn)換為=s-p1A1+s-p2A2+s-pnAn則p1tf(t)=A1ep2t+A2epntAne+部分分式法求拉氏反變換 , 實際上是求待定系數(shù)A1 ,A2 ,An .極點的形式不同,待定系數(shù)的求解不同,下面舉例說明. 待定系數(shù)第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程第16頁，共24頁。(1) 不相等實數(shù)極點Ai= F(s)(s-pi ) s=pi解：例 求拉氏變換 s2+4s+3 F(s)= s2+5s+5 (s+1)(s+3) F(s)=1+ s+2=1+s+1A1s+3A2A1=F(s)(s-p

13、1 ) s=p1(s+1)(s+3) = s2+5s+5 s=-1=(s+1)(s+3) (s+2)(s+1)21=A2=F(s)(s-p2 ) s=p2s=-3=(s+1)(s+3) (s+2)(s+3)21=21+f(t)=(t)+e-t21e-3t第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程第17頁，共24頁。(2) 復數(shù)極點A(s)(s p1 )(s p2 )(s pn )F(s)=p1 ,p2 共軛復數(shù)極點分解為=(s-p1 )(s-p2 )A1 s+A2+s-p3A3+s-pnAn F(s)(s-p1 )(s-p2 ) s=p1=A1s+A2 s=p1根據(jù)求待定系數(shù)A1 ,A2 . 例 求拉氏變換

14、s(s2+9) F(s)= s+1解：A1s+A2 +s (s2+9) F(s)=A3 =A1s+A2 s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1 19A1= - 19A3= -s/9+1 +s(s2+9) =1/9 s/9 -s(s2+9) F(s)=1/9 1 +(s2+9) 1391-f(t)=Sin3t91Cos3t +第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程第18頁，共24頁。(3) 重極點第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程A(s)(s p1 )r(s pr+1 )(s pn )F(s)=有r個重極點分解為=(s-p1 )rA1 +s-pr+1Ar+1+s-pnAn+(s-p1 )r-1A2 +s-p1

15、Ar dr-1F(s)(s-p1 )rAr= s=p11 ( (r-1)! dsr-1)下面舉例說明第19頁，共24頁。例 求拉氏變換 第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程(s+2)F(s)= s(s+1)2(s+3) 解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解為按不相等實數(shù)極點確定A1 ,A3 ,A4 得：-12A1= 23A3= 112A4= d2-1F(s)(s-p1 )2A2= s=p11 ( (2-1)! ds2-1)d= s=-1 ds(s+2) s(s+3) -34= -34A2= +-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121將各待定系數(shù)代入上式得：第2

16、0頁，共24頁。5用拉氏變換解微分方程 下面舉例說明求解線性微分方程的方法。第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程例 求拉氏反變換 r(t) =20I(t)+2c (t) = r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dt c(0)=5c(0)=15解：(1) 將微分方程拉氏變換s2C(s)-sc(0)-c(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s) = 20s20s+5s+30= C(s)(s2+3s+2) (2) 解代數(shù)方程 s(s2+3s+2) C(s)= 5s2+30s+20(3) 求拉氏反變換 s(s+1)(s+2)= 5s2+30s+20s+C(s)=+s+1A1s+2A2A3s+=+s+110s+25-10-10ec(t)=10+5e-t-2t第21頁，共24頁。例 已知系統(tǒng)的微分方程式，求系統(tǒng)的 輸出響應。r(t) =(t) + 2c (t) = r(t) +2d2c(t)dt2dc(t)dt c(0) = c(0) = 0解：將方程兩邊求拉氏變換得：s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s)R(s) = 1 C (s) = s2 + 2s +21=(s+1)2 + 11求拉氏反變換得：c(t) = e t sin t 輸出響應曲線 c(t)r(t)r(t)t0