修改后第三次電梯分組作業(yè)

1、在電梯分組設(shè)置中應(yīng)該考慮哪些主要行的最優(yōu)化模型。？試根據(jù)數(shù)學(xué)管理樓建立電梯分組運(yùn)一，分析問(wèn)題一般上，對(duì)電梯實(shí)施分組可以提高電梯的運(yùn)行效率。本題的研究對(duì)象是數(shù)學(xué)管理樓。經(jīng)實(shí)地以后得知，此大樓頂樓為 16 樓且含有一樓。從 11 樓以下部分均屬于管理學(xué)院，12 到 16 樓為數(shù)學(xué)系所有。此樓共設(shè)有 3 個(gè)電梯，每個(gè)電梯限載 13 人。在實(shí)際生活中，一種供電梯使用的分組管理系統(tǒng)其特征是包括樓層重迭情況。在本篇中，衡量最優(yōu)解的指標(biāo)是總的等待時(shí)間，這也是比較符合實(shí)際生活情況的。以下我主要使用兩大類不同的模型來(lái)分別求解，一個(gè)是問(wèn)題模型，一個(gè)是排隊(duì)論模型。另外，由于一層，乃至地上三層，樓層數(shù)很低，爬樓梯非常

2、方便，且如果可以安排坐電梯顯然會(huì)大大降低運(yùn)行效率。因此，可以認(rèn)為電梯不允許或允幾乎不在這些樓層?？?。而且以下稱相等。只是基于電梯上行，下行近似看成對(duì)第一大類模型：?jiǎn)栴}的數(shù)學(xué)模型此模型是根據(jù)問(wèn)題，把各個(gè)樓層看成是銷地，來(lái)這里上班的人看成是貨品，在一樓三個(gè)電梯前面等待的人們是三個(gè)產(chǎn)地。到達(dá)各個(gè)樓層的電梯運(yùn)行時(shí)間不同，則代表運(yùn)費(fèi)不同。因此，主要求解總的運(yùn)費(fèi)最少，即電梯的運(yùn)行時(shí)間最少即可?？纯辞蠼獬鰜?lái)的 Xij 的情況，根據(jù)這個(gè)進(jìn)行分組。模型簡(jiǎn)要介紹：Z 為總的運(yùn)行時(shí)間，Cij 為到達(dá)各個(gè)樓層的運(yùn)費(fèi)（即時(shí)間），Xij 為到達(dá)每層樓的人數(shù) Cij Xijmin z= Xij = bjj = 1,2, .

3、 n Xij = aii = 1,2, . mXij 0其中 bj 為銷量（到達(dá)各層的乘客數(shù)）， ai 為產(chǎn)量（每個(gè)電梯前等待乘坐的人數(shù)）（i）簡(jiǎn)化了的模型：先假設(shè)三個(gè)電梯均可到達(dá)各個(gè)樓層（416 樓）為了方便直觀，可以假設(shè)：（1）管理樓有兩層，分別是管 1 樓和管 2 樓；數(shù)學(xué)系的層有數(shù) 1 樓，數(shù) 2 樓。（2）假設(shè)到達(dá)每個(gè)電梯前面的等待人數(shù)都是 40。（3）假設(shè)到達(dá)每層的總?cè)藬?shù)都是 30。（4）假設(shè)到管 1 樓的時(shí)間是 3，到管 2 樓的時(shí)間是 6，到數(shù) 1 樓的時(shí)間是 9，到數(shù) 2 樓的時(shí)間是 12使用WINQSB進(jìn)行問(wèn)題的求解：初始表如下：進(jìn)行求解的過(guò)程示意：求解的結(jié)果：由此一來(lái)可以

4、看出，此時(shí)，電梯一只負(fù)責(zé)管理樓部分，電梯二負(fù)責(zé)管 2 樓及數(shù) 1樓部分，電梯三負(fù)責(zé)數(shù)學(xué)系部分可以求得最優(yōu)解。此時(shí)的總花費(fèi)為 900這個(gè)簡(jiǎn)化的模型給了出先對(duì)較優(yōu)的解來(lái)。很大的啟示，由問(wèn)題這個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)求解有可能解(i)稍微復(fù)雜些的模型，根據(jù)真實(shí)的樓層情況來(lái)設(shè)計(jì)即一共是電梯可以從 416 層運(yùn)行的。初始表：求解結(jié)果是：因此，由結(jié)果 電梯一：48 層電梯二：912 層可以明顯看出，一種比較合理的分組方式是：電梯三：1316 層問(wèn)題模型的分析：此模型簡(jiǎn)單直觀的反應(yīng)了管理樓電梯分組模型，并且依據(jù)條件給出了一個(gè)分組的最優(yōu)解。但仍有需要改進(jìn)的地方：（1）（2）到達(dá)每層的人數(shù)不一定都相同。 跨組交流的不便沒(méi)有

5、考慮進(jìn)去。比電梯，這個(gè)恐怕更加耗費(fèi)時(shí)間了。人要從 7 層到 16 層，他要轉(zhuǎn)（3）如果明知道電梯是這樣來(lái)分組的，初始表的值不一定對(duì)，不能籠統(tǒng)地認(rèn)為在每個(gè)電梯前面等待的人都是 40。比較大的缺陷就是一般上管理與管理交流較多，數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)交流較多，這樣割裂一個(gè)系的電梯分組，有可能會(huì)使得因跨電梯坐二浪費(fèi)的時(shí)間更不值得。所以基于這種更加人性化的考慮，考慮如下完全不同的模型：排隊(duì)論模型第二大類模型：基于排隊(duì)論的模型。一初步分析后，點(diǎn)。比如，一個(gè)系認(rèn)為實(shí)行電梯分組首先要根據(jù)乘坐電梯的類別特的老師及交流繁多，所以宜把同一個(gè)學(xué)科的老師所乘坐的電梯劃在一組，如果拆為兩部分，恐有不便。另外，雖然跨組交流比較少，但仍

6、不否定這種情況的發(fā)生。且兩個(gè)學(xué)科的往來(lái)乘客人數(shù)可以假定大致相同，而共有 3 個(gè)電梯。所以，初步認(rèn)為，一個(gè)電梯只負(fù)責(zé)管理學(xué)院部分，一個(gè)電梯只負(fù)責(zé)數(shù)學(xué)系部分，剩下的那個(gè)電梯可以同時(shí)負(fù)責(zé)管理學(xué)院與數(shù)學(xué)系部分,或者單獨(dú)只負(fù)責(zé)其中某一個(gè)。分析也基本上能夠滿足實(shí)際的使用與要求，因此，在所有分組的可能情況中，不妨假定以上所提出來(lái)的分組為相對(duì)最優(yōu)。二引進(jìn)合理假設(shè)根據(jù)上面的一些分析，可以簡(jiǎn)要提出以下假設(shè)：電梯幾乎不在-13 樓之間?？?，因?yàn)槟菢訒?huì)大大降低電梯運(yùn)行效率。直觀分析后，如下分組較好：三個(gè)電梯被分為管理學(xué)院一部分，到達(dá)數(shù)學(xué)系的一部分，整棟樓一部分。3來(lái)乘坐電梯的人的到達(dá)大致分布。電梯在上行和下行的時(shí)間幾

7、乎為 0，主要等待時(shí)間源于電梯?？俊ｋ娞莸南掭d人數(shù)為 13 人，但假設(shè)一般情況下不會(huì)同時(shí)有這么多人等待電梯。假設(shè)去管理學(xué)院的人與去數(shù)學(xué)系的人的情況對(duì)稱相似。假設(shè)上行和下行的情況完全對(duì)稱，本題只考慮電梯上行。以上對(duì)三個(gè)電梯的分配已經(jīng)是所有分組情況中相對(duì)合理的了，因此，本題的任務(wù)是證實(shí)此種情況比不分組的等待時(shí)間更短，并與另外兩種情況也進(jìn)行對(duì)比（第三個(gè)電梯只給管理或者數(shù)學(xué)）。如上圖所示，仍然是有乘客源，排隊(duì)結(jié)構(gòu)為最簡(jiǎn)單的先到先服務(wù)。與一般的排隊(duì)論模型有所區(qū)別的是，這里的服務(wù)機(jī)構(gòu)就是電梯，而且服務(wù)時(shí)間不再是普通的均等，需要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)調(diào)整。由于前面已經(jīng)假設(shè)了那種分組方式是所有分組中最合理的，只要比較

8、與不分組情況的優(yōu)劣即可。第三個(gè)電梯總是可以運(yùn)行到全樓的。所以，的目標(biāo)是看看其余的兩個(gè)電梯總等待時(shí)間的區(qū)別。即需要比較的是：電梯一停靠 411 樓（管理學(xué)院部分）電梯二?？?1216 樓（數(shù)學(xué)系部分）電梯三?？?416 樓（全部樓層）(i)（ii）電梯一?？?416 樓（全部樓層）電梯二?？?416 樓（全部樓層）電梯二?？?416 樓（全部樓層）這兩種情況的等待時(shí)間長(zhǎng)短的區(qū)別。模型一：主要考慮單（多）服務(wù)臺(tái)模型、（i）考慮成最簡(jiǎn)單的單服務(wù)臺(tái)情形，模型的到達(dá)呈泊松分布，這里把到達(dá)的一批要乘坐同一個(gè)電梯的人看成一個(gè)整體，即看成一人。并且電梯有很大概率在每層樓都要?？?。因此，每個(gè)乘客體可以看成要依次

9、通過(guò) K 個(gè)服務(wù)臺(tái)，這種情況被簡(jiǎn)化為分布族模型。分布族的模型示意圖如下所示：，每個(gè)乘客經(jīng)過(guò) k 個(gè)服務(wù)站（k 層樓），在每個(gè)服務(wù)站的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，并服從相同的參數(shù)為k 的負(fù)指數(shù)分布，則 = 服從k 階分布。E =Var =ET = Var = = + = + ()隊(duì)長(zhǎng)期望值：()()= ()隊(duì)列長(zhǎng)期望值：()乘客在系統(tǒng)中逗留時(shí)間的期望值： = 本題中主要希望求出的是乘客體在系統(tǒng)中逗留時(shí)間的期望值Ws。公式中的=/表示了繁忙程度。和的選取要根據(jù)實(shí)際的數(shù)據(jù)來(lái)做。由于天的課程安排很滿，并且我有空的時(shí)間基本上管理樓的沒(méi)人來(lái)乘坐電梯（都下班或休息了），所以參數(shù)的選取有可能會(huì)與實(shí)際有區(qū)別，這也是本模型

10、檢驗(yàn)時(shí)可以著手修改的地方之一。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，其實(shí)只需要求解它們的相對(duì)比例即可。雖然管理學(xué)院的樓層數(shù)比數(shù)學(xué)系的多一些，這里為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，把 k 都設(shè)為 5，也即電梯一、二會(huì)停靠 5 層樓。計(jì)算結(jié)果：取=4.0=5。0=/=4.0/5.0=0.8則一個(gè)乘客體在系統(tǒng)中逗留時(shí)間的期望的值倍為 Ls=+（k+1）*2/2*k*(1-)= 0.68Ws=0.68/4=0.17（ii）?？咳繕菍訒r(shí)，來(lái)的乘客或?yàn)楣芾淼?，或?yàn)閿?shù)學(xué)的，這時(shí)，一、二電梯可以看成是多（兩）服務(wù)臺(tái)模型。示意圖如下：Nc 時(shí)：到達(dá)以及電梯的運(yùn)行仍然與上面相同。這就是一個(gè) M/M/C 型的系統(tǒng)，其中 c 為服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù) 2，再次強(qiáng)調(diào)把乘

11、坐一班電梯的一堆乘客看做一個(gè)乘客體。服務(wù)過(guò)程中的時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。=4.0=5.0 c=2 =/(c*)=4/(2*5.0)=0.4Ls=/+(cp)c*p*P0/(c! *(1-p)2) Ws=Ls/經(jīng)過(guò)計(jì)算：P0= 0.428571Ls=0.95238 Ws=0.238結(jié)論：0.170.238因此，第一個(gè)(i)即電梯分組設(shè)置會(huì)優(yōu)于第二個(gè)(ii)模型二：考慮多服務(wù)臺(tái)模型、模型電梯一?？?411 樓（管理學(xué)院部分）電梯二?？?1216 樓（數(shù)學(xué)系部分）電梯三?？?411 樓（管理學(xué)院部分）(i)（ii）電梯一?？?416 樓（全部樓層）電梯二?？?416 樓（全部樓層）電梯二?？?416 樓

12、（全部樓層）此時(shí)需要比較的地方與模型一的區(qū)別也主要在于對(duì)于第三個(gè)電梯用途的規(guī)劃。模型一中尚可認(rèn)為(i)與(ii)的電梯三的情形相似，故只考慮的前面兩個(gè)電梯的等待時(shí)間的差異?？紤]兩服務(wù)臺(tái)的強(qiáng)調(diào)視為乘客體情形，的到達(dá)呈泊松分布，這里仍然。并且電梯有很大概率在每層樓都要?？?。因此，每個(gè)乘客體之前第一步是多服務(wù)臺(tái)，后一步可以看成要依 次通過(guò)K 層樓。與模型一進(jìn)行幾乎相同的計(jì)算可以得到如下結(jié)果：(i)的結(jié)果約為 0.2223（ii）與模型一中的區(qū)別是把c 取為 3=5.0 c=3 =/(c*)=4/(3*5.0)=0.88889=4.0Ls=/+(cp)c*p*P0/(c! *(1-p)2) Ws=Ls/經(jīng)過(guò)計(jì)算：Ws= 1.98994結(jié)果是：0.22231.989940.170.2223所以還是模型一里面的(i)相比較而言比較好。四、模型的改進(jìn)假設(shè)中還是存在一些問(wèn)題之處，比如只考慮上行，其實(shí)下行的人可能服從另外一個(gè)分布，這樣結(jié)果會(huì)有變化。去管理學(xué)院的人與去數(shù)學(xué)系的人的情況相同，這也不一定與實(shí)際相符人的到來(lái)不一定符合泊松