全國名校高考專題訓(xùn)練09立體幾何三、解答題

1、全國名校高考專題訓(xùn)練09立體幾何三、解答題(第一部分)1、(廣東省廣州執(zhí)信中學(xué)、中山紀(jì)念中學(xué)、深圳外國語學(xué)校三校期末聯(lián)考)（本小題滿分12分）如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高為3，底面是邊長為4且DAB=60的菱形，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，E是O1A的中點(diǎn). （1）求二面角O1BCD的大小； （2）求點(diǎn)E到平面O1BC的距離. 解法一:（1）過O作OFBC于F，連接O1F，OO1面AC，BCO1F，O1FO是二面角O1BCD的平面角，3分OB=2，OBF=60，OF=.在RtO1OF在，tanO1FO=O1FO=60 即二面角O1BCD為606分（2）在O1AC中，OE

2、是O1AC的中位線，OEO1COEO1BC，BC面O1OF，面O1BC面O1OF，交線O1F.過O作OHO1F于H，則OH是點(diǎn)O到面O1BC的距離，10分OH=點(diǎn)E到面O1BC的距離等于12分解法二：（1）OO1平面AC，OO1OA，OO1OB，又OAOB，2分建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（如圖）底面ABCD是邊長為4，DAB=60的菱形，OA=2，OB=2，則A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），O1（0，0，3）3分設(shè)平面O1BC的法向量為=（x，y，z），則，則z=2，則x=，y=3，=（，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）5分cos=，設(shè)O1BCD的平面角為，

3、 cos=60.故二面角O1BCD為60. 6分（2）設(shè)點(diǎn)E到平面O1BC的距離為d， E是O1A的中點(diǎn)，=（，0，），9分則d=點(diǎn)E到面O1BC的距離等于。12分SABC2、(江蘇省啟東中學(xué)2008年高三綜合測試一)如圖在三棱錐S中，。（1）證明。（2）求側(cè)面與底面所成二面角的大小。（3）求異面直線SC與AB所成角的大小。解：（1）SAB=SCA=900 （2）（3）3、(江蘇省啟東中學(xué)高三綜合測試二)在RtABC中，ACB=30，B=90，D為AC中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F，將ABD沿BD折起，二面角A-BD-C大小記為. （）求證：面AEF面BCD； （）為何值時(shí)，AB

4、CD. 解：（）證明：在RtABC中，C=30，D為AC的中點(diǎn)，則ABD是等邊三角形又E是BD的中點(diǎn)，BDAE，BDEF，折起后，AEEF=E，BD面AEFBD面BCD，面AEF面BCD（）解：過A作AP面BCD于P，則P在FE的延長線上，設(shè)BP與CD相交于Q，令A(yù)B=1，則ABD是邊長為1的等邊三角形，若ABCD，則BQCD由于AEF=就是二面角A-BD-C的平面角，ABCGEA1C1B14、(江蘇省啟東中學(xué)高三綜合測試三)如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1B1B底面ABC，側(cè)棱AA1與底面ABC成60的角，AA1=2，底面ABC是邊長為2的正三角形，其重心為G點(diǎn)，E是線段BC

5、1上一點(diǎn)，且BE=BC1。(1)求證：GE側(cè)面AA1B1B；(2)求平面B1GE與底面民ABC所成銳二面角的大小。答案：（1）略；（2）arctan (arccos)5、(江蘇省啟東中學(xué)高三綜合測試四)如圖， 正方形ABCD和ABEF的邊長均為1，且它們所在的平面互相垂直，G為BC的中點(diǎn)（）求點(diǎn)G到平面ADE的距離；（）求二面角的正切值解：（）BCAD， AD面ADE,點(diǎn)G到平面ADE的距離即點(diǎn)B到平面ADE的距離連BF交AE于H，則BFAE，又BFADBH即點(diǎn)B到平面ADE的距離 在RtABE中，點(diǎn)G到平面ADE的距離為 （）過點(diǎn)B作BNDG于點(diǎn)N，連EN，由三垂線定理知ENDN 為二面角的

6、平面角 在RtBNG中，則RtEBN中，所以二面角的正切值為6、(安徽省皖南八校2008屆高三第一次聯(lián)考)如圖，已知面，；(1)在面上找一點(diǎn)，使面。(2)求由面與面所成角的二面角的正切解：（1）M為PC的中點(diǎn)，設(shè)PD中點(diǎn)為N，則MN=CD，且MN/CD，MN=AB，MN/ABABMN為平行四邊形，/，又，又，面，面，（2）延長交于，CD。/CD，又，面，為二面角的平面角；，；tan7、已知斜三棱柱，在底面上的射影恰為的中點(diǎn)，又知。（I）求證：平面；（II）求到平面的距離；（III）求二面角的大小。解：（I）因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，又，所以平面，得，又所以平面?分（II）因?yàn)?，所以四邊形為菱?/p>

7、，故，又為中點(diǎn)，知。取中點(diǎn)，則平面，從而面面， 過作于，則面，在中，故，即到平面的距離為。（III）過作于，連，則，從而為二面角的平面角，在中，所以，在中，故二面角的大小為。12分解法2：（I）如圖，取的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，又平面，以為軸建立空間坐標(biāo)系，則，由，知，又，從而平面；4分（II）由，得。設(shè)平面的法向量為，所以，設(shè)，則所以點(diǎn)到平面的距離。8分（III）再設(shè)平面的法向量為，所以，設(shè)，則，故，根據(jù)法向量的方向，可知二面角的大小為。8、(四川省成都市新都一中高2008級一診適應(yīng)性測試)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=a,且CAB=90,三棱錐P-ABC中，P平面B

8、B1C1C,且PB=PC= eq f( eq r(3),2) a （1）求直線PA 與平面ABC所成角的正切值（2）求證：PB/平面AB1C（3）求二面角A-PB-C的大小解：（1）取的中點(diǎn)，連， ，面面，面，是直線與面所成的角， 在中，中，（2）由（1）知，又，面，面，面 (3)由（1）知AM面CPB,由三垂線定理可知AHPB,在面PBC中過M作MHPB, 垂足為H,連接AH,則AHM為二面角A-PB-C的平面角10分在RtAHM中，tanAHM=,AHM=9、(四川省成都市一診)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，PAABBC2，E為PA的中點(diǎn)，過E作平行于底面的平面EFGH，分

9、別與另外三條側(cè)棱相交于點(diǎn)F、G、H. 已知底面ABCD為直角梯形，ADBC，ABAD，BCD=135.求異面直線AF與BG所成的角的大??；求平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小.解：由題意可知：AP、AD、AB兩兩垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz由平面幾何知識知：AD4,D(0,4,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(1,0,1),G(1,1,1)2分(1) EQ o(AF,sup5()(1,0,1), EQ o(BG,sup5()(1,1,1) EQ o(AF,sup5() EQ o(BG,sup5()0AF與BG所成角為 EQ f(

10、,2) 4分(2)可證明AD平面APB平面APB的法向量為n(0,1,0)設(shè)平面CPD的法向量為m(1，y，z)由 EQ blc(aal(y1,z2)故m(1,1,2)cos EQ f(mn,|m|n|)f(r(6),6)平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小為arccos EQ f(r(6),6)10、(四川省成都市新都一中高2008級12月月考)如圖，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，CABOPDEABBCPBPC2CD2，側(cè)面PBC底面ABCD，O是BC中點(diǎn)，AO交BD于E. (1)求證：PABD； (2)求二面角PDCB的大小； (3)求證：平面PAD平面PA

11、B.本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，二面角，空間想想能力，以及綜合解題能力方法一：(1)證明： 又平面平面ABCD 平面平面ABCDBC，平面ABCD2分 在梯形ABCD中，可得 ，即 在平面ABCD內(nèi)的射影為AO，4分(2)解：，且平面平面ABCD DC平面PBC 平面PBC， PCB為二面角PDCB的平面角6分 PBC是等邊三角形，PCB60，即二面角PDCB的大小為608分 (3)證明：取PB的中點(diǎn)N，連結(jié)CN PCBC，CNPB ，且平面平面ABCD 平面PBC10分 平面PAB 平面平面PAB 由、知CN平面PAB 連結(jié)DM、MN，則由MNABCD MN EQ f(1,

12、2)ABCD，得四邊形MNCD為平行四邊形CNDM DM平面PABDM平面PAD 平面PAD平面PAB 12分方法二：取BC的中點(diǎn)O，因?yàn)镻BC是等邊三角形， 由側(cè)面PBC底面ABCD 得PO底面ABCD 1分以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz2分(1)證明：CD1，則在直角梯形中， 在等邊三角形PBC中， ，即4分 (2)解：取PC中點(diǎn)N，則 平面PDC，顯然，且平面ABCD 所夾角等于所求二面角的平面角6分 二面角的大小為8分(3)證明：取PA的中點(diǎn)M，連結(jié)DM，則M的坐標(biāo)為 又10分 即平面PAB，平面平面PAB.

13、11、(安徽省淮南市2008屆高三第一次模擬考試)如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長是2，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面BB1C1C所成的角為45.(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長；(2)求二面角A-BD-C的大?。?3)求點(diǎn)C到平面ABD的距離.解：（）設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為取中點(diǎn)，連是正三角形，又底面?zhèn)让?，且交線為側(cè)面連，則直線與側(cè)面所成的角為 在中，解得 此正三棱柱的側(cè)棱長為 5分 注：也可用向量法求側(cè)棱長（）解法1：過作于，連，側(cè)面為二面角的平面角 在中，又， 又在中， 故二面角的大小為 10分解法2：（向量法，見后）（）解法1：由（）可知，平面,平面平面，且交線為，過作于，則平

14、面 在中， 為中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為 14分解法2：（思路）取中點(diǎn)，連和，由，易得平面平面，且交線為過點(diǎn)作于，則的長為點(diǎn)到平面的距離解法3：（思路）等體積變換:由可求解法4：（向量法，見后）題（）、（）的向量解法：（）解法2：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系則設(shè)為平面的法向量由 得取 又平面的一個(gè)法向量 結(jié)合圖形可知，二面角的大小為 10分（）解法4：由（）解法2，點(diǎn)到平面的距離12、(安徽省巢湖市2008屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測)如圖，、分別是正四棱柱上、下底面的中心，是的中點(diǎn)，. （）求證：平面；DA1D1C1B1E1BACPO（）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的大?。?() 當(dāng)取何值時(shí)，在平面內(nèi)的射影

15、恰好為的重心? 解法一：（）過P作MNB1C1，分別交A1B1、D1C1于M、N，則M、N分別為 A1B1、D1C1的中點(diǎn)，連MB、NC，則四邊形BCNM是平行四邊形 2分DA1D1C1B1E1BACPOMNFE、M分別為AB、A1B1中點(diǎn)，A1EMB 又MB平面PBC，A1E平面PBC。 4分（） 過A作AFMB，垂足為F，連PF，BC平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，AFBC， BCMB=B，AF平面PBC，APF就是直線AP與平面PBC所成的角， 7分設(shè)AA1=a，則AB=a，AF=，AP=，sinAPF=。所以，直線AP與平面PBC所成的角是。 9分（）連OP、OB、OC，則OP

16、BC，由三垂線定理易得OBPC，OCPB，所以O(shè)在平面PBC中的射影是PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是PBC的重心，則PBC為正三角形。即PB=PC=BC，所以。反之，當(dāng)k=時(shí)，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心 13分zxyDA1D1C1B1E1BACPO解法二：以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則得、 2分()由上得、，設(shè)得解得， ， 平面 4分_（）當(dāng)時(shí)，由、得、設(shè)平面的法向量為，則由，得，7分，直線與平面所成角的大小為. 9分() 由()知的重心為，則，若在平面內(nèi)的射影恰好為的重心，則有，解得

17、當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心. 13、(北京市朝陽區(qū)2008年高三數(shù)學(xué)一模)直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=120，AC=CB=A1A=1，D1是A1B1上一動點(diǎn)(可ABCDA1B1C1D1以與A1或B1重合），過D1和C1C的平面與AB交于D.（）證明BC平面AB1C1；（）若D1為A1B1的中點(diǎn)，求三棱錐B1-C1AD1的體積；（）求二面角D1-AC1-C的取值范圍.方法1：ABCDA1B1C1D1（）證明：依條件有CBC1B1， 又C1B1平面A B1C1，CB平面A B1C1， 所以CB平面A B1C1.3分（）解： 因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)， 依條件可知C1DA1B1.所以=C

18、1D1(A1AD1B1)= (1)=.7分（）解：因?yàn)镈1是A1B1上一動點(diǎn)， 所以當(dāng)D1與A1重合時(shí)，二面角D1-AB(D)CA1B1(D1)C1EFAC1-C的大小為； 9分當(dāng)D1與B1重合時(shí)，如圖，分別延長A1C1和AC1，過B1作B1EA1C1延長于E，依條件可知平面A1B1C1平面ACC1A1，所以B1E平面ACC1A1. 過點(diǎn)E作EFA1C1，垂直為F. 連結(jié)FB1， 所以FB1A1C1. 所以B1FE是所求二面角的平面角. 11分 容易求出B1E=，F(xiàn)E=. 所以tanB1FE=.所以B1FE= arctan. （或arccos）所以二面角D1-AC1-C的取值范圍是arctan

19、，（或arccos，）.13分AB(D)CA1B1(D1)C1xyz方法2：（），（）略（）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則有A(1，0，0)，B1(-，1)，C1(0，0，1). 因?yàn)镈1是A1B1上一動點(diǎn)， 所以當(dāng)D1與A1重合時(shí)，二面角D1-AC1-C的大小為；9分當(dāng)D1與B1重合時(shí)， 顯然向量n1=(0，1，0)是平面ACC1A1的一個(gè)法向量. 因?yàn)?(1，0，-1)， =(-，1)，設(shè)平面C1AB1的法向量是n2=(x，y，z)，由n2=0，n2=0，解得平面C1AB1的一個(gè)法向量n2=(1，1).因?yàn)閚1n2=，| n1|=1，| n2|=，設(shè)二面角B1-AC1-C的大小為，所以co

20、s=.即=arccos.所以二面角D1-AC1-C的取值范圍是arccos，（或arctan，）.14、(北京市崇文區(qū)2008年高三統(tǒng)一練習(xí)一)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=90，AB=BC=AA1=2，D是AB的中點(diǎn). （I）求AC1與平面B1BCC1所成角的正切值； （II）求證：AC1平面B1DC； （III）已知E是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)P為一動點(diǎn)，記PB1=x. 點(diǎn)P從E出發(fā)，沿著三棱柱的棱，按照EA1A的路線運(yùn)動到點(diǎn)A，求這一過程中三棱錐PBCC1的體積表達(dá)式V（x）.解：（I）直三棱柱ABCA1B1C1，B1B面ABC，B1BAB. 又ABBC，AB面BCC1B1.2

21、分連結(jié)BC1，則AC1B為AC1與平面B1BCC1所成角.3分依題設(shè)知，BC1=2，在RtABC1中，5分 （II）如圖，連結(jié)DF，在ABC1中，D、F分別為AB、BC1，的中點(diǎn)，DFAC1，又DF平面B1DC，AC1平面B1DC，AC1平面B1DC.10分 （III）PB1=x，當(dāng)點(diǎn)P從E點(diǎn)出發(fā)到A1點(diǎn)，即時(shí)，由（1）同理可證PB1面BB1C1C，當(dāng)點(diǎn)P從A1點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)，即時(shí)，.三棱錐PBCC1的體積表達(dá)式15、(北京市東城區(qū)2008年高三綜合練習(xí)一）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=BB1，直線B1C與平面ABC成30角. （I）求證：平面B1AC平面ABB1A1

22、； （II）求直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值； （III）求二面角BB1CA的大小.解法一： （I）證明：由直三棱柱性質(zhì)，B1B平面ABC，B1BAC，又BAAC，B1BBA=B，AC平面 ABB1A1，又AC平面B1AC，平面B1AC平面ABB1A1.4分 （II）解：過A1做A1MB1A1，垂足為M，連結(jié)CM，平面B1AC平面ABB1A，且平面B1AC平面ABB1A1=B1A，A1M平面B1AC.A1CM為直線A1C與平面B1AC所成的角，直線B1C與平面ABC成30角，B1CB=30.設(shè)AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值為9分 （I

23、II）解：過A做ANBC，垂足為N，過N做NOB1C，垂足為O，連結(jié)AO，由ANBC，可得AN平面BCC1B1，由三垂線定理，可知AOB1C，AON為二面角BB1CA的平面角，二面角BB1CA的大小為14分解法二： （I）證明：同解法一. 4分 （II）解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，直線B1C與平面ABC成30角，B1CB=30.設(shè)AB=B1B=1，直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值為9分 （III）解：設(shè)為平面BCC1B1的一個(gè)法向量，二面角BB1CA的大小為16、(北京市東城區(qū)2008年高三綜合練習(xí)二)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAB平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的

24、正方形，PAB為等邊三角形. （1）求PC與平面ABCD所成角的大??； （2）求二面角BACP的大小； （3）求點(diǎn)A到平面PCD的距離.解法二： （1）解：同解法一5分 （2）解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A（1，0，0），B（1，0，0），則P（0，0，），C（1，2，0）設(shè)為平面PAC的一個(gè)法向量，則又令z=1，得得又是平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)二面角BACP的大小為，則10分 （3）解：設(shè)為平面PCD的一個(gè)法向量.則 由D（1，2，0），可知），可得a=0，令，則c=2.得，設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為d，則點(diǎn)A到平面PCD的距離為17、(北京市豐臺區(qū)2008年4月高三統(tǒng)一練習(xí)一

25、)已知如圖(1)，正三角形ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊上的點(diǎn)，且滿足，現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖（2）. () 試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；() 求二面角B-AC-D的大??； 圖（1）() 若異面直線AB與DE所成角的余弦值為，求k的值.解：() AB平面DEF. 在ABC中， E、F分別是AC、BC上的點(diǎn)，且滿足， ABEF. 圖（2） AB平面DEF，EF平面DEF， AB平面DEF. 3分 ()過D點(diǎn)作DGAC于G，連結(jié)BG， ADCD, BDCD, ADB是二面角A-CD-B的平面角. ADB=, 即

26、BDAD. BD平面ADC. BDAC. AC平面BGD. BGAC . BGD是二面角B-AC-D的平面角. 5分在ADC中，AD=a, DC=, AC=2a, .在RtBDG中，. .即二面角B-AC-D的大小為. 8分 () ABEF, DEF(或其補(bǔ)角)是異面直線AB與DE所成的角. 9分 ， .又DC=, ， 11分 . . 解得 k EQ f(1,2).18、(北京市海淀區(qū)2008年高三統(tǒng)一練習(xí)一)如圖，四棱錐中，底面， 底面為梯形，.，點(diǎn)在棱上，且（）求證：平面平面；（）求證：平面；（）求二面角的大小證明：（）PA底面ABCD，又ABBC，平面 2分又平面，平面平面 4分（）PA

27、底面ABCD，AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影又PCAD，ACAD在梯形中，由ABBC，AB=BC，得，又ACAD，故為等腰直角三角形連接，交于點(diǎn)，則 7分在中，又PD平面EAC，EM平面EAC，PD平面EAC 9分（）在等腰直角中，取中點(diǎn)，連結(jié)，則平面平面，且平面平面=，在平面內(nèi)，過作直線于，連結(jié)，由于是在平面內(nèi)的射影，故就是二面角ACEP的平面角 12分在中，設(shè)，則，由，可知：，代入解得：在中， 13分即二面角ACEP的大小為 14分解法二：（）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、 軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，.5分設(shè)，則，解得：連結(jié)，交于點(diǎn)，則.7分在中，又PD平面EAC，EM平面EAC，

28、PD平面EAC 9分（）設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，解得：， 11分設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，又，解得：， 12分 13分二面角ACEP的大小為19、(北京市十一學(xué)校2008屆高三數(shù)學(xué)練習(xí)題)如圖，在正四棱錐中，,點(diǎn)在棱上 ()問點(diǎn)在何處時(shí)，并加以證明；()當(dāng)時(shí),求點(diǎn)到平面的距離；()求二面角的大小.解法一: ()當(dāng)E為PC中點(diǎn)時(shí)，2分連接AC，且，由于四邊形ABCD為正方形，O為AC的中點(diǎn)，又E為中點(diǎn)，OE為ACP的中位線，又，5分() 點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面在正DPC和正BPC中，由于E為PC中點(diǎn)，PCDE，PCBE ，又，PE即為所求，點(diǎn)到平面的距離為9分()連接PO，則，又BOAC，

29、過點(diǎn)作，垂足為，連接.由三垂線定理得.為二面角的平面角. 12分在中，.又， 故二面角的正弦值為.故. 14分解法二: ()作,依題意是正方形的中心,如圖建立空間坐標(biāo)系.則, , ， ， ，設(shè)面的法向量為 , 7分點(diǎn)到平面的距離為. 9分 ()設(shè)二面角的平面角為，平面的法向量為. 設(shè)平面的法向量為, .12分. 20、(北京市西城區(qū)2008年4月高三抽樣測試)如圖，在三棱錐中，平面平面. （）求證：； （）求二面角的大?。唬ǎ┣螽惷嬷本€和所成角的大小. 解法一：（）證明： 平面平面，平面平面，且， . . 2分平面 ， .又 . . 4分（）解：作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié). 平面平面， ， 根據(jù)三垂線

30、定理得 ，是二面角的平面角. . 6分設(shè)， .， ， . 8分即二面角的大小是. . 9分（）解：在底面內(nèi)分別過作的平行線，交于點(diǎn)，連結(jié).則是異面直線和所成的角或其補(bǔ)角. . 11分， ，.易知底面為矩形，從而，在中， . 13分 異面直線和所成角的大小為. . 14分解法二：作于點(diǎn)， 平面平面，平面.過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn).如圖，以為原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系 . . 2分. .，. 4分（）證明： . 又 . . 7分（）解：作于點(diǎn)，連結(jié).平面， 根據(jù)三垂線定理得 ，是二面角的平面角. . 8分在中， ， 從而， . 10分即二面角的大小是. . 11分（）解：， 異面

31、直線和所成角的大小為.21、(北京市西城區(qū)2008年5月高三抽樣測試)如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=，AB=1，E是DD1的中點(diǎn)。（）求直線B1D和平面A1ADD1所成角的大?。唬ǎ┣笞C：B1DAE；（）求二面角CAED的大小。22、(北京市宣武區(qū)2008年高三綜合練習(xí)一)如圖，三棱錐P-ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD平面PAB(1)求證：AB平面PCB；(2)求異面直線AP與BC所成角的大小；(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。解法一：（1） PC平面ABC，AB平面ABC，PCAB，CD平面PAB，AB平面PAB，

32、CD AB。又，AB 平面PCB（2）過點(diǎn)A作AF/BC，且AF=BC，連結(jié)PF、FC，則為異面直線PA與BC所成的角。由（1）可得AB BC，CF AF，有三垂線定理，得PF AF，則AF=CF=，PF=。在Rt中，異面直線PA與BC所成的角為 8分（3）取AP的中點(diǎn)E，連結(jié)CE、DEPC=AC=2，CEPA，CE=CD平面PAB，由三垂線定理的逆定理，得DEPA，為二面角C-PA-B的平面角由（1）AB 平面PCB ，又AB=BC，可得BC= 在Rt中，PB=，CD=在Rt中，二面角C-PA-B大小的余弦值為 .13分解法二：（1）同解法一 4分（2）由（1）AB 平面PCB ，PC=AC

33、=2，又AB=BC， 可求得BC= 以B為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（0，0，0）， C（，0，0）P（，0，2）=（，-，2），=（，0，0）則=+0+0=2異面直線AP與BC所成的角為8分（3）設(shè)平面PAB的法向量為m=（x，y，z）=（0，-，0），=（，-，0）則，即，得m=（，0，-1）設(shè)平面PAC的法向量為n=（x，y，z）=（0，0，-2），=（，-，0），則，即得n=（1，1，0）Cos=二面角C-PA-B大小的余弦值為 EQ f(r(3),3)23、(北京市宣武區(qū)2008年高三綜合練習(xí)二)如圖所示，正三棱柱的底面邊長是2，側(cè)棱長是 EQ r(3)，D是A

34、C的中點(diǎn)。(1)求證：平面；(2)求二面角的大小；(3)求直線與平面所成的角的正弦值。解法一：（1）設(shè)與相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為中點(diǎn)，D為AC中點(diǎn)，PD/。又PD平面D，/平面D 4分（2）正三棱住， 底面ABC。又BDACBD就是二面角的平面角。=，AD=AC=1tan =, 即二面角的大小是 8分（3）由（2）作AM，M為垂足。BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=ACBD平面，AM平面，BDAMBD = DAM平面，連接MP，則就是直線與平面D所成的角。=，AD=1，在RtD中，=，。直線與平面D所成的角的正弦值為解法二：（1）同解法一（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，

35、0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，0），（0，）=（-1，-），=（-1，0，-）設(shè)平面的法向量為n=（x，y，z）則nn則有，得n=（，0，1）由題意，知=（0，0，）是平面ABD的一個(gè)法向量。設(shè)n與所成角為，則，二面角的大小是 8分（3）由已知，得=（-1，），n=（，0，1）則直線與平面D所成的角的正弦值為24、(四川省成都市高2008屆畢業(yè)班摸底測試)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB=BC=1，ABC=90，AA1=，D、E分別為BB1、AC的中點(diǎn)。 （）求二面角A1ADC1的大?。?（）若，求證：BE/平面AC1D。（）以BA所在的直線為x軸、BC所在直線為

36、y軸、BB1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。 則A（1，0，0），A1（1，0，3），C1（0，1，3）， D（0，0，2） 2分 設(shè)平面AC1D的法向量為n=（x，y，z），則由 平面AC1D的法向量為n=（2，1，1） 2分又平面A1AD的法向量為m=（0，1，0） 1分，又由圖形可知，所求二面角為銳角 二面角A1ADC1的大小為arccos. 2分（）作EF/CC1交AC1于點(diǎn)F，連結(jié)DF。又EF/BD， 四邊形EFDB為平行四邊形，DF/BE。而DF平面AC1D，BE平面AC1D，BE/平面AC1D。 5分）注：也可證25、(東北區(qū)三省四市2008年第一次聯(lián)合考試)如圖，三棱錐PA

37、BC中，PC平面ABC，PCAC2，ABBC，D是PB上一點(diǎn)，且CD平面PAB。（1）求證：AB平面PCB（2）求二面角CPAB的大小。解（1）（2）解法一：取AP的中點(diǎn)E，連續(xù)CE、DE（2）解法二：26、(東北三校2008年高三第一次聯(lián)考)ABDC如圖，正三棱柱的所有棱長都為4，D為CC1中點(diǎn) （）求證：； （）求二面角的大小解法一：（）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO為正三角形，分 連結(jié)，在正方形中，分別為 的中點(diǎn)， 由正方形性質(zhì)知，分又在正方形中，平面分（）設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)，在平面1BD中，作于，連結(jié)，由（）得為二面角的平面角分在中，由等面積法可求得，分又，所以二面角的大小為分解法二：（）

38、取中點(diǎn)，連結(jié)取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則3分 ，平面分（）設(shè)平面的法向量為令得為平面的一個(gè)法向量分由（）為平面的法向量分所以二面角的大小為27、(東北師大附中高2008屆第四次摸底考試)如圖，在長方體中，點(diǎn)在棱上移動 （1）求證：； （2）為中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面 的距離； （3）等于何值時(shí)，二面角的大小是解：（1）由于 ，根據(jù)三垂線定理，得 (4分)（2）設(shè)到平面的距離為在中，而，得 (8分)（3）過作于，連接，則為二面角的平面角設(shè)則在中，得由于, 即， 解得 因此，當(dāng)時(shí)，二面角的大小為28、(本小題滿分12分) 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，AA1=AB=

39、1.（I）求證：A1C/平面AB1D；（II）求二面角BAB1D的大??；（III）求點(diǎn)C到平面AB1D的距離.解法一（I）證明：連接A1B，設(shè)A1BAB1 = E，連接DE. ABCA1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，四邊形A1ABB1是正方形，E是A1B的中點(diǎn)，又D是BC的中點(diǎn)，DEA1C. 3分DE平面AB1D，A1C平面AB1D，A1C平面AB1D. 4分（II）解：在面ABC內(nèi)作DFAB于點(diǎn)F，在面A1ABB1內(nèi)作FGAB1于點(diǎn)G，連接DG.平面A1ABB1平面ABC， DF平面A1ABB1，F(xiàn)G是DG在平面A1ABB1上的射影， FGAB1， DGAB1FGD是二面角BAB1D的平面角 6分設(shè)A1A = AB = 1，在正ABC中，DF=在ABE