東南大學計算力學習題及答案匯總

1、第三章1如圖所示一三角形鋼板，兩個結點固定，對第三個結點施以單位水平位移，測出所施加的力，從而得出相應的剛度系數(shù)。其他點依此類推，這樣測得的剛度系數(shù)所組成的剛度矩陣，是否與按照常規(guī)三角形單元剛度矩陣計算公式所得結果一樣？用這樣實測所得的剛度矩陣能否進行有限元分析？為什么？解：不一樣。單元剛度矩陣中每個元素的物理意義：氏表示單元第j個自由度產(chǎn)生單位位移，其它自由度固定時, 第i個自由度產(chǎn)生的節(jié)點力。單元剛度矩陣是在單元處于平衡狀態(tài)的前提下得出的，單元作為分離體看待，作用在 它上面的外力（單元力）必是平衡力系，然而研究單元平衡時沒有引入約束承受平衡力系作用的無約束單元，其變 形是確定，但位移是不能

2、確定的，即單元可發(fā)生任意的剛體位移。不能。因為與有限元中單元與單元之間的約束情況不一樣，不能進行有限元分析。2以位移為基本未知量的有限元法其解具有下限性質，試證明之。解：系統(tǒng)總位能的離散形式n 1 a T K a a T Pp將求解的方程K a P帶入可得1 TTp a K a a p 2在平衡情況下，系統(tǒng)總位能等于負的應變能。在有限元解中,1 T K a -a Ka U2由于假定的近似位移模式一般來說總與精確解有差別的。設近似解為 一p、U、K、 a、 K a p ,真實解為p、u、K、 a、 k a p且根據(jù)最小勢能原理，得到的系統(tǒng)的總位能總會比真正的總位能要大，故 一口 D則U U p

3、p-T T T Ta K a a K a a P a P則近似解的位移總體上小于精確解的位移 解釋如下：單元原是連續(xù)體的一部分，具有無限多個自由度，在假定了單元的位移函數(shù)后，自由度限制為只有以結點位移表示的有限自由度，引入了更多的約束和限制，使得單元剛度較實際連續(xù)體加強了，連續(xù)體的整體剛度隨之增加，所以有限元解整體上較真實解偏小。3請分別闡述單元剛度矩陣和整體剛度矩陣中任一元素的物理意義。e解：在單剛 K 中，kj表示單元第j個位移產(chǎn)生一單位位移，其它位移為零時，第i個位移方向上引起的節(jié)點力。在整體剛度中，Kj表示第j個自由度產(chǎn)生一單位位移，其它自由度為零時，第i個自由度上引起的節(jié)點力。4簡述

4、虛功原理，且使用虛功原理導出外荷載與節(jié)點荷載的等效關系式。解：虛功原理：變形體中任意滿足平衡的力系在任意滿足協(xié)調(diào)條件的變形狀態(tài)上作的虛功等于零，即體系外力的虛 功與內(nèi)力的虛功之和等于零。、. eeee設q為外荷載（此處為體力），p為節(jié)點荷載，w為單元內(nèi)位移場，為結點位移場e T ee T e根據(jù)虛功原理p w q dVV.e_ee Tee Ttee TTe由于 w N故 wq dVN q dVN q dVVVVe Tee TTeeTe則pNT q dVpNT q dVVV5試述彈性力學中按位移求解與有限單元法中按位移求解之間的異同點。解：彈性力學有限單元法物理模型連續(xù)體離散化結構基本方程幾何方

5、程物理方程平衡微分方程幾何方程物理方程結點平衡方程解法解微分方程解代數(shù)方程解答形式用函數(shù)表示用數(shù)值表示解答精度精確解近似解6如果二節(jié)點三角形單兀繞其中某一個節(jié)點作小的剛體轉動，其轉角為，證明單兀內(nèi)所有的應力均為零。解：在三角形單元中D Bbi 0 bj 0 bm 0yj ym0ym yi0y Yj011B0 q 0 5 0cm0 xj xm0 xm xi0 xi xj2Aj2AjjCibiCjbjCmbmxjxmyjymxmxi ym yxi xj yyj由于三角形單元繞其中某一個節(jié)點作小的剛體轉動，各節(jié)點的位移可表示為：0 Yv v0 x TT則可知節(jié)點位移向量0,0, yj, xj, ym

6、, xm00Yi Ym0Ym Yi0Yi Yj00_1_Yi1_故應變B0 xj xm0 xm x0 xi xj02Ajjxj2AxjxmYiYmxmXjYmYi為Xjy Yj0ymxm由于彈性矩陣 D為常量矩陣，應變向量為零向量，故為零向量，即單元內(nèi)所有的應力為零。7二維單元在x,y坐標內(nèi)平面平移到不同位置，單元剛度矩陣相同嗎？在平面內(nèi)旋轉時又怎樣？試證明之。解：二維單元在 x,y坐標內(nèi)平面移到不同位置時，剛度矩陣相同。在平面內(nèi)旋轉時，剛度矩陣也相同。剛度矩陣krsBr T D Bs hA 曰34(12)brbsCrCsbrCsCrbsbrcsCrCsbrbs單元平移或旋轉時，b,C不變，故

7、單元剛度矩陣不變。8判斷有限元網(wǎng)格離散合理性a）對圖1（a）所示的有限元網(wǎng)格，評論網(wǎng)格的優(yōu)劣性，指出模型中的錯誤，并加以改正。b）評論圖1（b）的網(wǎng)格劃分合理嗎？為什么？請加以改正。（口）(b)圖1解：（a）網(wǎng)格劃分不合理。1 ）無過渡單元2 ）無邊界條件3）夾角區(qū)應力集中，應適當加密風格4）對稱結構網(wǎng)格應對稱劃分（b）不合理。1）左部網(wǎng)格應適當加密2）由于三角形單元會造成局部精度不夠，過渡區(qū)可采用其它單元劃分3）右部單元的長寬比較大，就進行適當調(diào)整。9如圖2所示，平面三角形構件以 x-y坐標系表示的剛度矩陣方程如下102.51.832.5ux1Px14 1.832.55.02.5vy1Py1

8、1042.54.52.52.5Ux2Px22.52.52.52.5Vy2Py2試建立以u , 1Uy1 , ux2：（與圖中px2同向的位移）及叱來表示的剛度矩陣方程。Ux1Ux1解：用坐標變換Tvy1則Vy1Ux2ux2 cosvy2.ux2 sin TOC o 1-5 h z 10000 1000 0 cos00 0 sin 0由K PKTP102.51.832.51.832.55.02.5KT2.54.52.52.52.52.52.52.5102.52.964Ux1Px11041.832.52.5Vy1Py1020Ux2Px210000100102.5 2.964 041.832.52.

9、50000-502.5 4.50.503c2.52.50.5000053所示。試求結點2的等效荷載列陣R2O荷載作用于解：單元,N21 2邊上，故等效節(jié)點力只與 1、2號節(jié)點有關形函數(shù)N1(11邊上，機1其1N1N202l,ld10某平面結構采用四節(jié)點矩形單元和三節(jié)點三角形單元建立有限元計算模型，其如圖線性分布面力則RyMqydsl1ql2d0ql 3單元,形函數(shù)N1rN在1-2邊上,TN0qs dss dsq7qi2故節(jié)點2的等效荷載列陣0R2ql 2311試求如圖4所示的有限元網(wǎng)格的整體剛度矩陣，假設每個節(jié)點的自由度數(shù)為1 ,且設K e表木第e個單元的單元剛度矩陣（注意：結果應該用kj表示

10、）。解：單元剛度矩陣整體剛度矩陣：Kk2)kf?k(5)卜.2)卜 女(2)22232625町k22)k24)k25)/ 卜卜 卜 卜32333635KK K Kk42)k44)k4?kkkk(2)k52k63k66k65k51)k52)k54)k55)(AJ2)/)/)22)k62k53k56k55(A(A(3)k55(3)k57)(3)k58),(3)k55.(4), (4)(4) (4)k56k58,(4), (4)Kk媛k?k!3)k7； 燎，Kk65Y)k66k68kkrRRrRRkS0k*媲)000蜴k22)k22)蝎蜴k2?蜷蜷000舄2)k33)0k32k36)00k41)k4

11、1)0k44)k42000k51)k52)M）k53)k(1) k(1)女 545555* k(4) i k(4)*X3)女555556565758580履2)噌0k65)kk k0k656666680000k7(30k77)k78)0000戚）k(4)k(4)*小3).(4)858687888812圖5中兩個三角形單元組成平行四邊形，已知單元按局部編碼i,j,m的單元剛度矩陣K和應力矩陣S是K（1）1661213.59對13.500-3030040-30-1201.5-1.5-0.51.5解：由圖可知mi，i(2) mKHKijKimKjjKjmKij則由KjjKjmKmmKmi得至1J K

12、KmmKii9.53267.535.56431.58066對1661213.59稱13.5-3-1-313如圖-0.51.5-1.5-1.56所示8結點矩形單元（每邊中點為結點）,3點為坐標原點,a=b=2,元厚為t。求該單元的位移函數(shù)和形函數(shù)和并檢驗其是否滿足收斂性條件。求在2-6-3邊作用均布水平荷載解：（1）位移函數(shù)：q時的等效結點荷載。u 12X 3yv 910X 11y24X2 12X5xy13xy26y2 14y27X y215X y28xy216xyy單 TOC o 1-5 h z 806626647.5331.59.535.5按圖5示單元的局部編碼寫出K?, S。 TOC o

13、1-5 h z 引入無量綱的局部坐標x,yabx1 x3y1y3則 n3,x2-一3,y2- HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 22w _1-1故10,22, 3 1, 10,22, 3 114 (1),P3 2 (-)1111i 2(12)(1),l24 (1),l3 2 (3), p12(萬)(1)巾2則 n 2時，1 0, 2 1, 1 0, 2 1l1 1 ,l2, P11, P2則角節(jié)點的形函數(shù)為1111Ni 4 (12)(0N2 4 (-)(-)(1)1111N3 4()(1)(/1),N4 4 (-)(-)(1)邊中節(jié)點的形函數(shù)為N

14、s 4(1),N64 (證明收斂性：位移函數(shù)中2U 12X 3y4X2v 910X11 y12X1)(1),N74 ( HYPERLINK l bookmark189 o Current Document 22sxy 6 y7X y2213Xy14y15X y1)(1), N84 (1)28Xy216Xy2, 3和9, 10表示常應變，故位移函數(shù)具有完備性設相鄰單元公共邊界上的直線方程是y b (或 xa）,代入位移函數(shù)中3b 6b2 (11b (105b13b)8b2)X ( 416b X ( 127b)x2 1sb)X2為X （或y）的2次函數(shù)，而邊界上三點確定的位移函數(shù)為也為二次曲線，故

15、單元在公共邊界連續(xù),故位移函數(shù)收斂 （2）荷載作用在2，1、N23邊上,2乂故等效節(jié)點力只與2,6,3號節(jié)點有關1)(1 ), M 4(1萬)(1)(；）（1)0邊上計算NiN2N61,6 4(1N32 ),3 40,N6b-Nds J(一)2 ()2d2dP3x1t Mqxds 2qt N3d3 P6X1N6q*ds 2qt N6ds04qtFLt3N2q*ds12qt N2d0qt3第四章1經(jīng)典梁理論和Timoshenko梁理論有哪些相同點和哪些不同點？基于以上兩種理論的梁單元各有何特性?解：經(jīng)典梁理論Timoshenko 梁理論相同點Kirchhoff 假設不同點G型單元甯曲梁單兀截面轉

16、動是撓度w的一階導數(shù)，只有撓度w是獨立的采用Hermite插值C。型單元考慮男切變形影響撓度w和截面轉動各自獨立插值采用拉格朗日插值特性梁的高度遠小于跨度梁很薄時，會造成剪切鎖死現(xiàn)象2寫出桿件的應變能計算公式，并給出推導過程。優(yōu)點缺點凝聚自由度法3在桿系系統(tǒng)中，除了采用凝聚自由度的方法實現(xiàn)較接端條件, 法的優(yōu)缺點。解：解：將只考慮軸向變形的桿件劃分成n個單元，節(jié)點坐標為x0,x1,L,xi,x 1,L , xn單元的位移函數(shù)u(x)12x ( xi 1用形函數(shù)近似位移函數(shù)得u(x)eNi i(x)ueNiUi ,其中ANi i(x)x xie-,Ni(x)xixi 1單元的應變dudx-xi

17、xi 11eUi! r r eB Ui單元的應力EB ue單元應變能其中Kiexi 1AdxeUi(BT EABdx)xieUie TUiKieeUi不1BT EABdxxiEA還有什么方法可以實現(xiàn)以上條件，并比較這幾種方4利用最小勢能原理，推導圖1所示彈性基礎上梁單元方程，其中該梁的勢能為: TOC o 1-5 h z ,2 HYPERLINK l bookmark55 o Current Document L12 L kfvLEI (v) dxdx wvdx HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 0 2020圖1解：根據(jù)最小勢能原理可知p 0p

18、lll故有(EIv) vdxkfv vdx w vdx 0lll對第一項分部積分(EIv)vdx (EIv) v；(EIv) v (EIv) v|； (EIv)山 (EIv) v000l則(EIv) kfv w vdx (EIv) v 0l _0 (EIv) v引入強制邊界條件和臼然邊界條件使（EIv）vl _l0 (EIv) v由于 v的任意性故控制微分方程為（EIv） kfv w 0此梁的位移函數(shù)vh(x) N：(x)Vi N；(x) 1 N；(x)V3 N：(x) 4 N由于物理關系可知v(x)B d 貝U vB dl由(EIv)vdx0lkfv0vdxvdx 0 得T xi 1e_ T

19、 _d ( BTEIBdx) dx1(BTEIBdxx1NTkfNdx)不T xi 1Te(NTkfNdx) dxix 1N T wdxT xi 1etd ( NT wdx)xixi則梁單元剛度方程為EI BTBdxxix 1kf NTNdx為x 1N T wdxxi5 圖2所示剛架1)2)如何進行節(jié)點編號使整體剛度矩陣K的帶寬最?。縿偧艿恼w剛度矩陣中a節(jié)點的總剛度矩陣 Kaa和的總剛度矩陣 小各由哪些單元的哪些分塊矩陣疊加組成3)（自行確定單元局部坐標方向）試按照二維等帶寬存儲和一維變帶寬存儲方式確定Kaa中對角元素的在相應存儲數(shù)組中的位置。圖2有錢點的剛架解：1）考慮每個節(jié)點有兩個自由度

20、由于半帶寬d=（相鄰結點碼的最大差值+1)故節(jié)點編號如圖所示可使單元內(nèi)節(jié)點編碼相差*23,使得帶寬d=8aKK K K K(5)KK(6)2KaaK22K22K11K11KbcK123)考慮單元節(jié)點1自由度的凝聚可知Kaa中對角線元素在原整體剛度矩陣中第6行第7列和第7行第8列則用二維等帶寬存儲后在矩陣中的第6行第2列和第7行第2列用一維變帶寬存儲后在K aa中對角線兀素在數(shù)組中的位置為9和10K(1)K01112(1)(1)KKK0212211(3)00K110k(2)k 21210000000000000000000000K00012K00012K K(3)2222k(4)0k(5)(5)

21、1212KK1111(4)(6)KKK0021221100KK(7)1112KK(5)(7)2222K0K2121*KK11110k(6)0k(8)21210000(9)000K ()000000000000K(6)0012000(8)K0012(6)(8)(10)KKK00222211(11)(11)0KK1112(11)(9)(11)(12)0KKKK0001根據(jù)以下形函數(shù)表達式210000第五章21222211(10)(12)K0K21210000000K(10)120k(12)12(10)(12)K K22221_3_2313_223N/ L 1 -3(2x 3x L L ) N2 -

22、3(x L 2x L xL )N3 ( 2x3 3x2L)N4 (x3L x2L2)畫出形函數(shù) N和N以及導數(shù)(dN2/dx)和(dNJdx),它們代表梁單元整個長度上形狀變化2、對于圖1中給出的四節(jié)點二次應變一維等參單元，試確定：a)形函數(shù) N, N2,Ns, N;b)單元剛度矩陣k。 TOC o 1-5 h z .11-I1T117-1圖1解：(a)由拉格朗日插值函數(shù)可知11(5) (2)(1)N311洌 1 2)( 111)(2)(1)1)N2(b)一維問題中，單元剛度矩陣N16(812k4E1N26(86(8kF* 3(3N3N4121)12X2X3X41)1)1)11)(萬)，N41

23、(1)(萬)(1)T1 _111)()( HYPERLINK l bookmark263 o Current Document 22 22 HYPERLINK l bookmark145 o Current Document 111)(?(2)1r(11)(1=)(11) HYPERLINK l bookmark149 o Current Document 221)1(BTDB Jd11E BTB Jd11)，N31)，N44)(1)i(8122 1)6(8121)31)3(3211)臚122 1) d3試利用變節(jié)點數(shù)法構造插值函數(shù)的，構造出圖2所示的三次三角形單元的形函數(shù)及相應的位移函數(shù)。3

24、22解：位移函數(shù):u 12Xv 1112X23y 4X213y 14Xsxy15xy6y2 16y7X317X28X y218X y9Xy19Xy310y320 y(1)構造不考慮邊節(jié)點和內(nèi)部節(jié)點的角節(jié)點的插值函數(shù):N?1L1N2L2NL3構造不考慮內(nèi)部節(jié)點的邊節(jié)點的插值函數(shù):N?427N?7272O 272-7L1L2(- L2)，N?5 L1L2(-232327272萬 L2L3(3? 272L2), N8T L1L3 (23L1), N?9L2 L3(232727LiL3(3L3)L3)(3)內(nèi)部節(jié)點插值函數(shù)：N1Li L2 L3111(0)( 0)(33327L1L2L3(4)修正邊中

25、點的插值函數(shù):0)N4N?42n1027227萬乩(3 L2)萬 LJ2L3|4231 1)19同理得N5N?5-N10-L1L2 (3L21),N619N7N?7”10L2L3(3L31),N819N9N?9/10產(chǎn)311)(4)修正角節(jié)點的插值函數(shù)：19N?6 2 N102 L2L3(3L2 1)19N?8 -N10 -L1L3(3L3 1)N1N?13(N4L1293 /LmL11)193 ”2(丸213 27L1L2L3N2N?2Ns11N6)3(N4 N7)3N10299L2 3 產(chǎn)(丸2“尸回2191)3 產(chǎn)(九113 27L1L2L312(3L2 1)(3L22)L2c 21N3

26、 N?3 -(N7 5)(N633N9)1029L3 - L2L3(3L33291) -L1L3(3L3 1)21991-L2L3(3L2 1) -L1L3(3L1 1) - 27L1L2L3322311(3L31)(3L32)L34試構造如圖3所示的15結點三棱柱體單元的插值函數(shù)，并判斷其構造的位移函數(shù)是否收斂。解：（1）不考慮邊中點構造三角形角節(jié)點的插值函數(shù):1 11 1N?1L1 - L1(1), N2L2 2(1)1121121111N?3L3 7T-L3(1), N?4L1-“(1)1 121 1 2?11?11N5 L2L2(1), N16L3L3(1)112112(2)構造三角形

27、邊中點的插值函數(shù)：N10N11L1L2_1(10)(J0)11L2L311111(；。)(；o)112LL2(2L2L3(1)1)135N12N14L1L31(I 0)(1 0)1 1L2L311r7(2 0)(2 0)12乩(2L2L3。1)，N13)，N15L1L21C 0)(2 0) 1 12口(12L1L3(1(3)構造四邊形邊中點的插值函數(shù):N7(1)(1)(0 1)(0 1)L2)，N8L21)(1)(0 1)(0 1)2L2(1)，N9L3(01)(1)1)(0 1)L3(12)(4)修正角節(jié)點的插值函數(shù):N1N?111”0 N12)-N712L1(1)1產(chǎn) 1L2(1)2L1L

28、3(1)12L1(12)2L1(1)( 2L2 2L3)N2N211”0N11)2N81I1)1)2L2L3(1)I(12)12L2(1)(2L1 2L3)N3N?31/111N12)”912L3(1)1產(chǎn)2L3(1)2LL(1)12L3(12)2L3(1)(2L1 2L2)N4N?41 (N1321N15) -N721 -L1(1 21-2 L1L2。22L1L3。)1 -L1(1 22)12L1(1)(2L2 2L3)N5&1一(N2113N14)- N 8212l2(11產(chǎn)1L2(12L2L30)12L2(12)12L2(1)(2L1 2L3)1 (N2114N15) N 921 L3(

29、121 -2L2L3(12L1L3(1)1 L3(122)12L3(1)(2L1 2L2)第六章1等參元的收斂性證明。證明:(1)協(xié)調(diào)性：考察單元之間的公共邊，為了保證協(xié)調(diào)性，相鄰單元在這些公共邊(或面)上應有完全相同的結點,同時每一單元沿這些邊的坐標和未知函數(shù)應采用相同的插值函數(shù)加以確定。(2)完備性: TOC o 1-5 h z nnn三維等參元中x Mx , y Ny, z NiZ i 1i 1i 1n有限元中，將場函數(shù)離散為各個單元局部場函數(shù)的集合體Nii 1單元內(nèi)場函數(shù)為 i a bxi cyi dziNi i i 1nnNi (a bxi cyi dzi) a Nii 1i 1nb

30、Nixii 1nc Niyii 1nd Nzi 1na N i bx cy dz i 1n當Ni 1時，表明單元能夠表示線性變化的場函數(shù)，滿足了完備性的要求。i 12等參元的優(yōu)點是什么？解：1)等參單元為協(xié)調(diào)元，滿足有限元解收斂的充要條件2)將不規(guī)則單元轉換為規(guī)則母單元后，容易構造位移函數(shù)和形函數(shù)3)當單元邊界呈二次以上的曲線時，容易用很少的單元去逼近曲線邊界3什么是位移的零能模式，在什么條件下會發(fā)生？如何檢驗它是否存在和如何防止它的出現(xiàn)。解：(1)由于采用減縮積分方案導致其應變能為零，而自身有別于剛體運動的位移模式稱為位移的零能模式。(2)通過檢查K的非奇異性條件是否得到滿足來驗證是否存在零

31、能模式。(3)高斯積分點提供應變分量的數(shù)目M ng d大于系統(tǒng)獨立自由度數(shù)目 N ,是保證系統(tǒng)剛度矩陣 K非奇異性的必要條件。系統(tǒng)不出現(xiàn)對應于除剛體運動以外位移模式的零特征值，是保證系統(tǒng)剛度矩陣 K非奇異性的充分條件。4請闡說減縮積分概念，并分析其優(yōu)缺點.解：在數(shù)值積分中，能夠保證不降低收斂速度的條件下求解各種條件有限元問題的最小階次，比精確積分低階的積分可稱為減縮積分。一維問題剛度矩陣的積分中，如果插值函數(shù)N中的多項式階數(shù)為 P,微分算子L中的導數(shù)的階次是 m ,則有限元得到的被積函數(shù)是 2( p m)次多項式。為了保證原積分的精度，選擇高斯積分的階次n p m 1 ,可精確積分n p m

32、1來確定積至2(p m) 1次多項式，可達到精確積分剛度矩陣的要求。在二維單元和三維單元中仍按分階次，即高斯積分階數(shù)低于被積函數(shù)所有項次精確積分所需要階數(shù)的積分方案，稱為減縮積分。優(yōu)缺點：(1)精確積分是由插值函數(shù)中非完全項的最高方次所要求，而決定有限元精度的通常是完全多項式的方次。這些 非完全的最高方次項往往不能提高精度，反而帶來不好影響。取較低階的高斯積分，使積分精度正好保證完全多項 式方次的要求，而不包括更高次的非完全多項式的要求，在一定情況下改善了單元的精度。(2)在最小位能原理基礎上建立的位移有限元，位移解具有下限性質。有限元的計算模型具有較實際結構偏大的 整體剛度。選取減縮積分方案

33、使有限元計算模型的剛度有所降低，有助于提高計算精度。(3)采用減縮積分可能使系統(tǒng)剛度矩陣K奇異，出現(xiàn)有別于剛體運動的位移零能模式。5如需要對二維三次 Serendipity單元進行精確積分，試討論所需的Gauss積分的階次(假定 J為常數(shù))。解：插值函數(shù) N中的多項式階數(shù)為 4,微分算子L中的導數(shù)的階次是被積函數(shù)是非完全次項的最高次為6次多項式，完全項的最高次為14次多項式若為精確積分，需要若為減縮積分，需要6 1局斯積分點n3.5故積分點數(shù)目為2高斯積分點n4 11 3故積分點數(shù)目為6求圖1所示單元的節(jié)點等效荷載;解:Ni (1)(1),M(11也Ni500(15dqxdsqyPyNqyds

34、s12500 (10)2d25003P4yMqydss12500 (10)d250067如圖2所示12節(jié)點正方形單元，求其Jacobi行列式J ;解：求形函數(shù):(1)(2)構造角節(jié)點形函數(shù)：ii7(2)(2),N?2- (244構造邊節(jié)點的形函數(shù)：N5(b)(2)(2)2a(a b)(a 2),N6(a)(2)(2)2b(b a)(b 2)，N9(b)(2)2a(a b)(a 2)(a)(2)2b(b a)(b 2)N7(A12),N82a(a b)(a 2)a)(2)2b(b a)(b 2)(b)(2)(22a(a b)(a,N122)a)(2)(2)2b(b a)(b 2)(3)修正角節(jié)點

35、形函數(shù):NiNi 4(2 a)2(N51Nio) b)2(N6Nii)(1i2)(i)4(2 a)(b)(2)(2(a)(2)8試構造如圖解:NiN42a(a b)(a 2)2b(b a)(b 2)3所示的6結點斜三棱柱體等參單元的插值函數(shù),并證明其合理性。對圖中6結點斜三棱柱體進行等參變換Liii iii ii2Li(i),N2i”1),N2L2彳L2J111 112L2(i),N3),N3L3i i彳*9i -L3(1i i 29空間八結點等參數(shù)單元各邊與坐標軸e 111 TRN p J d d di i ix,y,z的精確值,平行，在y方向作用有線性變化體力，若用高斯積分法分析結點荷載試

36、求所需要的最少積分點數(shù)。解：空間八結點等參單元中形函數(shù)的階次為 1,且y方向作用有階次為1的線性變化體力，由于單元各邊與坐標軸x,y,z平行，故J為常數(shù)，故被積函數(shù)的階次為一人一 ，一 P 1精確積分所需要高斯積分點n匚一121- 1.5,積分點數(shù)為2 2 2第七章1采用矩形薄板單元計算薄殼問題時，其單剛方程有何特點？解：采用矩形薄板單元計算薄殼時，為了簡單計算，平板的面內(nèi)變形與彎曲變形可認為是互不影響的，即板內(nèi)變形和受力可看成是平面應力和平板彎曲兩狀態(tài)的迭加，結點未知數(shù)為u,v,w, x, y, z單剛方程 FFpFb其中特點:(2)（克?；舴蚣僭O）Fp,Fb中面無伸縮假設，可知由于平行于中

37、面的各層相互不擠壓，不拉伸，沿u,v 與 w,x , y , z無關。z方向不會引起翹曲，故 U ,V與W,M x,M y,M z無關(3)(4)z和M z對應的剛度系數(shù)設定為零。2設薄板矩形單元，節(jié)點的位移未知數(shù)為:xiyixyiz對結點力不起作用，但為了計算不共面的相鄰單元的彎扭應力，必須考慮。若位移模式取w(x, y) 12 3。y2乂3 21sx y3y3 16x24乂3ysxy26y37乂28xy29x y10y311x y312xy試判斷該位移模式是否收斂?解：位移函數(shù):w(x,y)2 3。y2乂3 2。y3y3。y24x326y37x28xy29x y3 10y3nx y312xy13xxysx8xy9x210 y3 11x212 xy2 13x214xy2231sx y3 216x