時(shí)間序列模型講義1課件

1、主要內(nèi)容9.1 序列相關(guān)理論9.2 平穩(wěn)時(shí)間序列建模9.3 非平穩(wěn)時(shí)間序列建模9.4 協(xié)整和誤差修正模型2020/2/2819.1 序列相關(guān)理論 第6章在對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)ut的一系列假設(shè)下，討論了古典線(xiàn)性回歸模型的估計(jì)、檢驗(yàn)及預(yù)測(cè)問(wèn)題。如果線(xiàn)性回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)ut 滿(mǎn)足古典回歸假設(shè)，使用OLS所得到的估計(jì)量是線(xiàn)性無(wú)偏最優(yōu)的。 但是如果擾動(dòng)項(xiàng)ut不滿(mǎn)足古典回歸假設(shè)，回歸方程的估計(jì)結(jié)果會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？理論與實(shí)踐均證明，擾動(dòng)項(xiàng)ut關(guān)于任何一條古典回歸假設(shè)的違背，都將導(dǎo)致回歸方程的估計(jì)結(jié)果不再具有上述的良好性質(zhì)。因此，必須建立相關(guān)的理論，解決擾動(dòng)項(xiàng)不滿(mǎn)足古典回歸假設(shè)所帶來(lái)的模型估計(jì)問(wèn)題。 2020/2/2

2、829.1.1 序列相關(guān)及其產(chǎn)生的后果 對(duì)于線(xiàn)性回歸模型 (9.1.1) 隨機(jī)誤差項(xiàng)之間不相關(guān)，即無(wú)序列相關(guān)的基本假設(shè)為 (9.1.2) 如果擾動(dòng)項(xiàng)序列ut表現(xiàn)為： (9.1.3) 2020/2/283 即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間不再是完全相互獨(dú)立的，而是存在某種相關(guān)性，則認(rèn)為出現(xiàn)了序列相關(guān)性（serial correlation）。由于通常假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)都服從均值為0，同方差的正態(tài)分布，則序列相關(guān)性也可以表示為： (9.1.4)特別的，如果僅存在 (9.1.5)稱(chēng)為一階序列相關(guān)，這是一種最為常見(jiàn)的序列相關(guān)問(wèn)題。 2020/2/284 如果回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)，那么應(yīng)用最小二乘

3、法得到的參數(shù)估計(jì)量的方差將被高估或者低估。因此，檢驗(yàn)參數(shù)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量將不再可信?？梢詫⑿蛄邢嚓P(guān)可能引起的后果歸納為： 使用OLS公式計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)差不正確，相應(yīng)的顯著性水平的檢驗(yàn)不再可信 ； 如果在方程右邊有滯后因變量，OLS估計(jì)是有偏的且不一致。 在線(xiàn)性估計(jì)中OLS估計(jì)量不再是有效的； 2020/2/285 EViews提供了檢測(cè)序列相關(guān)和估計(jì)方法的工具。但首先必須排除虛假序列相關(guān)。虛假序列相關(guān)是指模型的序列相關(guān)是由于省略了顯著的解釋變量而引起的。例如，在生產(chǎn)函數(shù)模型中，如果省略了資本這個(gè)重要的解釋變量，資本對(duì)產(chǎn)出的影響就被歸入隨機(jī)誤差項(xiàng)。由于資本在時(shí)間上的連續(xù)性，以及對(duì)產(chǎn)出影響的連續(xù)

4、性，必然導(dǎo)致隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)。所以在這種情況下，要把顯著的變量引入到解釋變量中。9.1.2 序列相關(guān)的檢驗(yàn)方法 2020/2/286 EViews提供了以下幾種檢測(cè)序列相關(guān)的方法。1D.W.統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn) Durbin-Watson 統(tǒng)計(jì)量（簡(jiǎn)稱(chēng)D.W.統(tǒng)計(jì)量）用于檢驗(yàn)一階序列相關(guān)，還可估算回歸模型鄰近殘差的線(xiàn)性聯(lián)系。對(duì)于擾動(dòng)項(xiàng)ut建立一階自回歸方程： (9.1.6)D.W.統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)的原假設(shè)： = 0，備選假設(shè)是 0。 2020/2/287 如果序列不相關(guān)，D.W.值在2附近。 如果存在正序列相關(guān)，D.W.值將小于2。 如果存在負(fù)序列相關(guān)，D.W.值將在24之間。 正序列相關(guān)最為普遍。根據(jù)經(jīng)

5、驗(yàn)，對(duì)于有大于50個(gè)觀測(cè)值和較少解釋變量的方程，D.W.值小于1.5的情況，說(shuō)明殘差序列存在強(qiáng)的正一階序列相關(guān)。 2020/2/288 Dubin-Waston統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)序列相關(guān)有三個(gè)主要不足： 1D-W統(tǒng)計(jì)量的擾動(dòng)項(xiàng)在原假設(shè)下依賴(lài)于數(shù)據(jù)矩陣X。 2回歸方程右邊如果存在滯后因變量，D-W檢驗(yàn)不再有效。 3僅僅檢驗(yàn)是否存在一階序列相關(guān)。 其他兩種檢驗(yàn)序列相關(guān)方法：Q-統(tǒng)計(jì)量和Breush-Godfrey LM檢驗(yàn)克服了上述不足，應(yīng)用于大多數(shù)場(chǎng)合。 2020/2/289 2 . 相關(guān)圖和Q -統(tǒng)計(jì)量 我們還可以應(yīng)用所估計(jì)回歸方程殘差序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)（在本章9.2.4節(jié)給出相應(yīng)的公式），以

6、及Ljung-Box Q - 統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)序列相關(guān)。Q - 統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式為： 其中：rj是殘差序列的 j 階自相關(guān)系數(shù)，T是觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，p是設(shè)定的滯后階數(shù) 。(9.1.7)2020/2/2810 p階滯后的Q - 統(tǒng)計(jì)量的原假設(shè)是：序列不存在p階自相關(guān)；備選假設(shè)為：序列存在p階自相關(guān)。 如果Q - 統(tǒng)計(jì)量在某一滯后階數(shù)顯著不為零，則說(shuō)明序列存在某種程度上的序列相關(guān)。在實(shí)際的檢驗(yàn)中，通常會(huì)計(jì)算出不同滯后階數(shù)的Q - 統(tǒng)計(jì)量、自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。如果各階Q - 統(tǒng)計(jì)量都沒(méi)有超過(guò)由設(shè)定的顯著性水平?jīng)Q定的臨界值，則不拒絕原假設(shè)，即不存在序列相關(guān)，并且此時(shí)，各階的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)都接近于0

7、。2020/2/2811 反之，如果在某一滯后階數(shù)p，Q - 統(tǒng)計(jì)量超過(guò)設(shè)定的顯著性水平的臨界值，則拒絕原假設(shè)，說(shuō)明殘差序列存在p階自相關(guān)。由于Q-統(tǒng)計(jì)量的P值要根據(jù)自由度p來(lái)估算，因此，一個(gè)較大的樣本容量是保證Q- 統(tǒng)計(jì)量有效的重要因素。 在EViews軟件中的操作方法： 在方程工具欄選擇View/Residual Tests/correlogram-Q-statistics 。EViews將顯示殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)以及對(duì)應(yīng)于高階序列相關(guān)的Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量。如果殘差不存在序列相關(guān)，在各階滯后的自相關(guān)和偏自相關(guān)值都接近于零。所有的Q-統(tǒng)計(jì)量不顯著，并且有大的P值。2020/2

8、/2812例9.1:利用相關(guān)圖檢驗(yàn)殘差序列的相關(guān)性 下面是這些檢驗(yàn)程序應(yīng)用的例子，考慮用普通最小二乘估計(jì)的簡(jiǎn)單消費(fèi)函數(shù)的結(jié)果： 2020/2/2813 瀏覽這些結(jié)果：系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上是很顯著的，并且擬合得很好。但是，如果誤差項(xiàng)是序列相關(guān)的，那么估計(jì)OLS標(biāo)準(zhǔn)誤差將是無(wú)效的，并且估計(jì)系數(shù)由于在方程右端有滯后因變量會(huì)發(fā)生偏倚和不一致。在這種情況下D-W統(tǒng)計(jì)量作為序列相關(guān)的檢驗(yàn)是不合適的，因?yàn)樵诜匠逃叶舜嬖谥粋€(gè)滯后因變量。選擇View/Residual test/Correlogram-Q-statistice會(huì)產(chǎn)生如下情況： 2020/2/28142020/2/2815 虛線(xiàn)之間的區(qū)域是自相關(guān)中正負(fù)

9、兩倍于估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差所夾成的。如果自相關(guān)值在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，則在顯著水平為5%的情形下與零沒(méi)有顯著區(qū)別。 本例13階的自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線(xiàn)，說(shuō)明存在3階序列相關(guān)。各階滯后的Q-統(tǒng)計(jì)量的P值都小于5%，說(shuō)明在5%的顯著性水平下，拒絕原假設(shè)，殘差序列存在序列相關(guān)。 2020/2/28163 . 序列相關(guān)LM檢驗(yàn) 與D.W.統(tǒng)計(jì)量?jī)H檢驗(yàn)擾動(dòng)項(xiàng)是否存在一階自相關(guān)不同，Breush-Godfrey LM檢驗(yàn)（Lagrange multiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)）也可應(yīng)用于檢驗(yàn)回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關(guān)，而且在方程中存在滯后因變量的情況下，LM檢驗(yàn)仍然有效。 LM檢驗(yàn)原假設(shè)為：直到p階滯后不存在

10、序列相關(guān)，p為預(yù)先定義好的整數(shù)；備選假設(shè)是：存在p階自相關(guān)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由如下輔助回歸計(jì)算。 2020/2/2817 1）估計(jì)回歸方程，并求出殘差et (9.1.8) 2) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以基于如下回歸得到 (9.1.9) 這是對(duì)原始回歸因子X(jué)t 和直到p階的滯后殘差的回歸。LM檢驗(yàn)通常給出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量和TR2統(tǒng)計(jì)量。F統(tǒng)計(jì)量是對(duì)式（9.1.9）所有滯后殘差聯(lián)合顯著性的一種檢驗(yàn)。TR2統(tǒng)計(jì)量是LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，是觀測(cè)值個(gè)數(shù)T乘以回歸方程（9.1.9）的R2。一般情況下，TR2統(tǒng)計(jì)量服從漸進(jìn)的 分布。 2020/2/2818 在給定的顯著性水平下，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量小于設(shè)定顯著性水平下的臨界值，

11、說(shuō)明序列在設(shè)定的顯著性水平下不存在序列相關(guān)；反之，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量大于設(shè)定顯著性水平下的臨界值，則說(shuō)明序列存在序列相關(guān)性。 在軟件中的操作方法： 選擇View/Residual Tests/Serial correlation LM Test，一般地對(duì)高階的，含有ARMA誤差項(xiàng)的情況執(zhí)行Breush-Godfrey LM。在滯后定義對(duì)話(huà)框，輸入要檢驗(yàn)序列的最高階數(shù)。2020/2/2819 上一例子中相關(guān)圖在滯后值3時(shí)出現(xiàn)峰值。Q統(tǒng)計(jì)量在各階滯后值中都具有顯著性，它顯示的是殘差中的顯著序列相關(guān)。 進(jìn)行序列相關(guān)的LM檢驗(yàn)，選擇View/Residual Tests/Serial Correlati

12、on LM Test，輸入p =2產(chǎn)生如下結(jié)果： 例9.2: 關(guān)于殘差序列相關(guān)的LM檢驗(yàn)(1)2020/2/2820 此檢驗(yàn)拒絕直至2階的無(wú)序列相關(guān)的假設(shè)。Q-統(tǒng)計(jì)和LM檢驗(yàn)都表明：殘差是序列相關(guān)的，因此方程在被用于假設(shè)檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)之前應(yīng)該重新定義。 2020/2/2821例9.3: 關(guān)于殘差序列相關(guān)的LM檢驗(yàn)(2) 考慮美國(guó)的一個(gè)投資方程。美國(guó)的GNP和國(guó)內(nèi)私人總投資INV是單位為10億美元的名義值，價(jià)格指數(shù)P為GNP的平減指數(shù)（1972=100），利息率R為半年期商業(yè)票據(jù)利息?；貧w方程所采用的變量都是實(shí)際GNP和實(shí)際投資；它們是通過(guò)將名義變量除以?xún)r(jià)格指數(shù)得到的，分別用小寫(xiě)字母gnp，inv表

13、示。實(shí)際利息率的近似值r則是通過(guò)貼現(xiàn)率R減去價(jià)格指數(shù)變化率p得到的。樣本區(qū)間：1963年1984年，應(yīng)用最小二乘法得到的估計(jì)方程如下： 2020/2/2822 t =（-1.32） （154.25） R2=0.80 D.W.=0.94 從D.W.值來(lái)看，這個(gè)模型存在正的序列相關(guān)，但是，看起來(lái)還不是強(qiáng)的正序列相關(guān)。 2020/2/2823圖5.1 回歸方程殘差圖圖5.1 回歸方程殘差圖圖9.1 回歸方程殘差圖 從殘差圖9.1可以看到殘差序列的變化有相似的波動(dòng)。所以，再采取上面介紹的其他檢驗(yàn)序列相關(guān)的方法檢驗(yàn)殘差序列的自相關(guān)性。 2020/2/2824下面采用 LM 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)(p=2)，得到

14、結(jié)果如下： LM統(tǒng)計(jì)量顯示，在5%的顯著性水平拒絕原假設(shè)，回歸方程的殘差序列存在序列相關(guān)性。因此，回歸方程的估計(jì)結(jié)果不再有效，必須采取相應(yīng)的方式修正殘差的自相關(guān)性。當(dāng)然，對(duì)于這個(gè)例子，我們也可以用Q-統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，而且效果更為直觀，更有利于實(shí)際建模，但是這涉及到序列自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的理論。2020/2/28259.1.3 擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)的線(xiàn)性回歸方程的估計(jì)與修正 線(xiàn)性回歸模型擾動(dòng)項(xiàng)序列相關(guān)的存在，會(huì)導(dǎo)致模型估計(jì)結(jié)果的失真。因此，必須對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)序列的結(jié)構(gòu)給予正確的描述，以期消除序列相關(guān)對(duì)模型估計(jì)結(jié)果帶來(lái)的不利影響。 通?？梢杂肁R(p) 模型來(lái)描述一個(gè)平穩(wěn)序列的自相關(guān)的結(jié)構(gòu)，定義如下：

15、(9.1.10) (9.1.11)2020/2/2826其中：ut 是無(wú)條件誤差項(xiàng)，它是回歸方程（9.1.10）的誤差項(xiàng)，參數(shù)0，1, 2 , , k是回歸模型的系數(shù)。式（9.1.11）是誤差項(xiàng)ut的 p階自回歸模型，參數(shù) 1, 2 , , p是p階自回歸模型的系數(shù)， t是相應(yīng)的擾動(dòng)項(xiàng)，并且是均值為0，方差為常數(shù)的白噪聲序列，它是因變量真實(shí)值和以解釋變量及以前預(yù)測(cè)誤差為基礎(chǔ)的預(yù)測(cè)值之差。 下面將討論如何利用AR(p) 模型修正擾動(dòng)項(xiàng)的序列相關(guān)，以及用什么方法來(lái)估計(jì)消除擾動(dòng)項(xiàng)后方程的未知參數(shù)。 2020/2/28271修正一階序列相關(guān) 最簡(jiǎn)單且最常用的序列相關(guān)模型是一階自回歸AR(1)模型。為了

16、便于理解，先討論一元線(xiàn)性回歸模型，并且具有一階序列相關(guān)的情形，即p = 1的情形： (9.1.12) (9.1.13)把式（9.1.13）帶入式（9.1.12）中得到 (9.1.14)2020/2/2828然而，由式（9.1.12）可得 (9.1.15)再把式（9.1.15）代入式（9.1.14）中，并整理 (9.1.16)令 ，代入式（9.1.16）中有 (9.1.17) 如果已知 的具體值，可以直接使用OLS方法進(jìn)行估計(jì)。如果 的值未知，通常可以采用GaussNewton迭代法求解，同時(shí)得到 ， 0， 1的估計(jì)量。 2020/2/2829 2修正高階序列相關(guān) 通常如果殘差序列存在p階序列相

17、關(guān)，誤差形式可以由AR(p)過(guò)程給出。對(duì)于高階自回歸過(guò)程，可以采取與一階序列相關(guān)類(lèi)似的方法，把滯后誤差逐項(xiàng)代入，最終得到一個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)為白噪聲序列，參數(shù)為非線(xiàn)性的回歸方程，并且采用Gauss-Newton迭代法求得非線(xiàn)性回歸方程的參數(shù)。 例如：仍討論一元線(xiàn)性回歸模型，并且殘差序列具有3階序列相關(guān)的情形，即p = 3的情形：2020/2/2830(9.1.18)(9.1.19) 按照上面處理AR(1) 的方法，把擾動(dòng)項(xiàng)的滯后項(xiàng)代入原方程中去，得到如下表達(dá)式： (9.1.20) 通過(guò)一系列的化簡(jiǎn)后，仍然可以得到參數(shù)為非線(xiàn)性，擾動(dòng)項(xiàng) t為白噪聲序列的回歸方程。運(yùn)用非線(xiàn)性最小二乘法，可以估計(jì)出回歸方程的未

18、知參數(shù) 0 , 1 , 1 , 2 , 3。 2020/2/2831 我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對(duì)于非線(xiàn)性形式為f (xt , ) 的非線(xiàn)性模型， ， ， 若殘差序列存在p階序列相關(guān)， (9.1.21) (9.1.22)也可用類(lèi)似方法轉(zhuǎn)換成誤差項(xiàng) t為白噪聲序列的非線(xiàn)性回歸方程，以p = 1為例， (9.1.23)使用Gauss-Newton算法來(lái)估計(jì)參數(shù)。 2020/2/2832 3. 在Eviews中的操作過(guò)程： 選擇Quick/Estimate Equation或Object / New Object/Equation打開(kāi)一個(gè)方程，輸入方程變量，最后輸入ar(1) ar(2)

19、 ar(3)。針對(duì)例5.1定義方程為： 2020/2/2833 需要注意的是，輸入的ar(1) ar(2) ar(3) 分別代表3個(gè)滯后項(xiàng)的系數(shù)，因此，如果我們認(rèn)為殘差僅僅在滯后2階和滯后4階存在自相關(guān)，其他滯后項(xiàng)不存在自相關(guān)，即則估計(jì)時(shí)應(yīng)輸入：cs c gdp cs(-1) ar(2) ar(4) EViews在消除序列相關(guān)時(shí)給予很大靈活性，可以輸入模型中想包括的各個(gè)自回歸項(xiàng)。例如，如果有季度數(shù)據(jù)而且想用一個(gè)單項(xiàng)來(lái)消除季節(jié)自回歸，可以輸入：cs c gdp cs(-1) ar(4)。 2020/2/2834ARMA估計(jì)選擇 如前所述，帶有AR或MA的模型用非線(xiàn)性最小二乘法估計(jì)。非線(xiàn)性估計(jì)方法

20、對(duì)所有系數(shù)估計(jì)都要求初值。 有時(shí)當(dāng)?shù)螖?shù)最大值達(dá)到時(shí)，方程終止迭代，盡管還未達(dá)到收斂。從前一步初值重新開(kāi)始方程，使方程從中止處開(kāi)始而不是從開(kāi)始處開(kāi)始。也可以試試不同的初值來(lái)保證估計(jì)是全部而不是局部平方誤差最小，可以通過(guò)提供初值加速估計(jì)過(guò)程。 2020/2/2835 為控制ARMA估計(jì)初值，在方程定義對(duì)話(huà)框單擊options。在EViews提供的選項(xiàng)中，有幾項(xiàng)設(shè)置初值的選擇。 EViews缺省方法是OLS/TSLS，這種方法先進(jìn)行沒(méi)有ARMA項(xiàng)的預(yù)備估計(jì)，再?gòu)倪@些值開(kāi)始非線(xiàn)性估計(jì)。另一選擇是使用OLS或TSLS系數(shù)的一部分作為初值?？梢赃x擇0.3，0.5，0.8或者可以將所有初值設(shè)為零。 用戶(hù)

21、確定初值選項(xiàng)是User Supplied。在這個(gè)選項(xiàng)下，EViews使用C系數(shù)向量中的值。為設(shè)置初值，雙擊圖標(biāo)，為C系數(shù)向量開(kāi)一窗口，進(jìn)行編輯。 2020/2/2836 為適當(dāng)?shù)卦O(shè)置初值，需對(duì)EViews如何為ARMA設(shè)置系數(shù)多些了解。EViews使用C系數(shù)向量。它按下列規(guī)則為變量安排系數(shù)： 1. 變量系數(shù)，以輸入為序。 2. 定義的AR項(xiàng)，以輸入為序。 3SAR，MA，SMA系數(shù)（按階數(shù)由高到底） 2020/2/2837 例如：下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù) Y c X ma(2) ma(1) sma(4) ar(1) Y sma(4 ) c ar(1) ma(2) X ma(1) 也可使用

22、程序指令安排C向量值 param c(1) 50 c(2 ) 0.8 c(3) 0.2 c(4) 0.6 c(5) 0.1 c(6) 0.5 初值：常數(shù)是50， X系數(shù)的初值是0.8， ar(1)、ma(2)、ma(1)、sma(4) 系數(shù)的初值分別是0.2 ， 0.6，0.1，0.5。 估計(jì)后，可在方程表達(dá)式Representation選項(xiàng)見(jiàn)到系數(shù)安排。也可以從估計(jì)方程中填寫(xiě)C向量，選擇pros/update/ coefs from equations。 2020/2/2838例9.4: 用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(guān) 例9.1中檢驗(yàn)到帶有滯后因變量的回歸方程的殘差序列存在明顯

23、的序列自相關(guān)。而且從相關(guān)圖看到，可以采用AR(3) 模型來(lái)修正回歸方程的殘差序列的自相關(guān)性。 回歸估計(jì)的結(jié)果如下： 2020/2/2839 再對(duì)新的殘差序列 進(jìn)行LM檢驗(yàn)，最終得到的檢驗(yàn)結(jié)果如下： 2020/2/2840含有AR項(xiàng)模型的估計(jì)輸出 當(dāng)估計(jì)某個(gè)含有AR項(xiàng)的模型時(shí)，在解釋結(jié)果時(shí)一定要小心。在用通常的方法解釋估計(jì)系數(shù)、系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差和t-統(tǒng)計(jì)量時(shí)，涉及殘差的結(jié)果會(huì)不同于OLS的估計(jì)結(jié)果。 要理解這些差別，記住一個(gè)含有AR項(xiàng)的模型有兩種殘差： 第一種是無(wú)條件殘差 通過(guò)原始變量以及估計(jì)參數(shù) 算出。在用同期信息對(duì)y t值進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，這些殘差是可以觀測(cè)出的誤差，但要忽略滯后殘差中包含的信息。 2

24、020/2/2841 第二種殘差是估計(jì)的一期向前預(yù)測(cè)誤差 。由其名可知，這種殘差代表預(yù)測(cè)誤差。 對(duì)于含有AR項(xiàng)的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計(jì)量，如R2 、回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差和D-W值都是以一期向前預(yù)測(cè)誤差為基礎(chǔ)的。含有AR項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計(jì)量是估計(jì)的AR系數(shù) 。2020/2/2842 對(duì)于簡(jiǎn)單AR(1)模型， 是無(wú)條件殘差的序列相關(guān)系數(shù)。對(duì)于平穩(wěn)AR(1)模型， 在-1（極端負(fù)序列相關(guān)）和+1（極端正序列相關(guān)）之間。一般AR(p)平穩(wěn)條件是：滯后算子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi)。 EViews在回歸輸出的底部給出這些根：Inverted AR Roots。如果存在虛根，根的模應(yīng)該小于1。 2020/2/2

25、843 另外：EViews可以估計(jì)帶有AR誤差項(xiàng)的非線(xiàn)性回歸模型。例如：將例5.4中的模型變?yōu)槿缦碌姆蔷€(xiàn)性模型，估計(jì)如下帶有附加修正項(xiàng)AR(3)的非線(xiàn)性方程 單擊Quick/Estimate Equation，打開(kāi)一個(gè)方程，用公式法輸入 cs=c(1)+gdpc(2)+c(3)*cs(-1)+ar(1)=c(4),ar(2)=c(5), ar(3)=c(6)2020/2/2844 輸出結(jié)果顯示為：2020/2/2845 9.2 平穩(wěn)時(shí)間序列建模 本節(jié)將不再僅僅以一個(gè)回歸方程的殘差序列為研究對(duì)象，而是直接討論一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列的建模問(wèn)題。在現(xiàn)實(shí)中很多問(wèn)題，如利率波動(dòng)、收益率變化及匯率變化等通常是一

26、個(gè)平穩(wěn)序列，或者通過(guò)差分等變換可以化成一個(gè)平穩(wěn)序列。 本節(jié)中介紹的ARMA模型（autoregressive moving average models）可以用來(lái)研究這些經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律，這樣的一種建模方式屬于時(shí)間序列分析的研究范疇。 2020/2/2846 如果隨機(jī)過(guò)程 的均值和方差、自協(xié)方差都不取決于 t，則稱(chēng) u t 是協(xié)方差平穩(wěn)的或弱平穩(wěn)的： 注意，如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是弱平穩(wěn)的，則u t與u t- s之間的協(xié)方差僅取決于s ，即僅與觀測(cè)值之間的間隔長(zhǎng)度s有關(guān)，而與時(shí)期t 無(wú)關(guān)。一般所說(shuō)的“平穩(wěn)性”含義就是上述的弱平穩(wěn)定義。 9.2.1 平穩(wěn)時(shí)間序列的概念 對(duì)所有的 t 對(duì)所有的 t 對(duì)

27、所有的 t 和 s (9.2.1)(9.2.2)(9.2.3)2020/2/2847 9.2.2 ARMA模型 1. 自回歸模型AR(p) p階自回歸模型記作AR(p)，滿(mǎn)足下面的方程： (9.2.4)其中：參數(shù)c 為常數(shù)；1 , 2 , p 是自回歸模型系數(shù)；p為自回歸模型階數(shù)； t是均值為0，方差為 2的白噪聲序列。 2020/2/2848 2. 移動(dòng)平均模型MA(q) q階移動(dòng)平均模型記作MA(q) ，滿(mǎn)足下面的方程： (9.2.5)其中：參數(shù) 為常數(shù)；參數(shù)1 , 2 , q是q階移動(dòng)平均模型的系數(shù)； t是均值為0，方差為 2的白噪聲序列。 2020/2/2849 3. ARMA(p,q

28、)模型 (9.2.6) 顯然此模型是模型（9.2.4）與（9.2.5）的組合形式，稱(chēng)為混合模型，常記作ARMA(p，q)。當(dāng)p = 0時(shí)，ARMA(0, q) = MA(q)；當(dāng)q = 0時(shí)，ARMA(p, 0) = AR(p)。2020/2/2850 9.2.3 ARMA模型的平穩(wěn)性 1. AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 為了理解AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)模型的理論結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)單的算子理論是必不可少的。對(duì)于AR(p)模型 (9.2.7) 設(shè)L為滯后算子，則有 ，特別地， 。則式（9.2.7）可以改寫(xiě)為： (9.2.8)2020/2/2851若設(shè) ，令 (9.2.9)則 (z) 是一個(gè)

29、關(guān)于z的p次多項(xiàng)式，AR(p) 模型平穩(wěn)的充要條件是(z) 的根全部落在單位圓之外。式（9.2.7）可以改寫(xiě)為滯后算子多項(xiàng)式的形式 可以證明如果AR(p)模型滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件，則式（9.2.10）可以表示為如下MA()的形式 (9.2.10)2020/2/2852(9.2.11)其中且 。假定平穩(wěn)性條件滿(mǎn)足，將式（9.2.7）兩端取期望可以求得均值或 (9.2.13)(9.2.12)(9.2.14)2020/2/2853 式（9.2.11）表示ut可以由一個(gè)白噪聲序列的線(xiàn)性組合表示出來(lái)?，F(xiàn)在可以看到，任何一個(gè)AR(p)模型均可以表示為白噪聲序列的線(xiàn)性組合。事實(shí)上，式（9.2.11）是沃爾德分解定

30、理（Wold定理）的特例。 沃爾德分解定理（Wold定理） 任何零均值協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程ut可表示成如下形式其中： 。 t是白噪聲序列，對(duì)于任意的j，t的值與 t-j無(wú)關(guān)。t稱(chēng)為ut的確定性分量，而 稱(chēng)為線(xiàn)性非確定性分量。 (9.2.15)2020/2/2854 2MA(q) 模型的可逆性 考察MA(q) 模型 若 的根全部落在單位圓之外，則式（9.2.16）的MA算子稱(chēng)為可逆的。(9.2.16)2020/2/2855(9.2.17)比較式（9.2.16）和式（9.2.17），可知 (9.2.18) 運(yùn)用MA算子的逆運(yùn)算，式（9.2.16）可寫(xiě)成AR()的形式 盡管不可逆時(shí)也可以表征任何給定的數(shù)據(jù)

31、，但是一些參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)算法只有模型可逆時(shí)才有效。 2020/2/2856 3ARMA(p,q) 模型的平穩(wěn)性條件 ARMA(p,q) 模型包括了一個(gè)自回歸模型AR(p)和一個(gè)移動(dòng)平均模型MA(q) 或者以滯后算子多項(xiàng)式的形式表示 (9.2.19)(9.2.20)2020/2/2857若令則ARMA(p，q)模型（9.2.19）平穩(wěn)的充要條件是(z) 的根全部落在單位圓之外。在式（9.2.20）的兩邊除以 ，可以得到 其中 (9.2.21)(9.2.22)(9.2.23)2020/2/2858(9.2.24)(9.2.25) ARMA模型構(gòu)造了一種更為復(fù)雜的白噪聲序列的線(xiàn)性組合，近似逼近一個(gè)平

32、穩(wěn)序列。可以看出ARMA模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù)，而與移動(dòng)平均模型參數(shù)無(wú)關(guān)。 2020/2/2859在Eviews中確定ARMA形式 1、ARMA項(xiàng) 模型中AR和MA部分應(yīng)使用關(guān)鍵詞ar和ma定義。在上面AR定義中，我們已見(jiàn)過(guò)這種方法的例子。這對(duì)MA也同樣適用。 例如，估計(jì)一個(gè)2階自回歸和1階動(dòng)平均過(guò)程ARMA(2,1)，應(yīng)將AR(1), MA(1), AR(2)和其它解釋變量一起包含在回歸因子列表中： y c gov ar(1) ar(2) ma(1) 2020/2/2860 如果采用公式法輸入方程，則要將AR和MA項(xiàng)系數(shù)明確列出，形式為： LS = c(1)+ar(1)=c(

33、2),ar(2)=c(3),ma(1)=c(4)。 下面說(shuō)明EViews是如何估計(jì)一個(gè)ARMA(p，q)模型的。單擊Quick/Estimate Equation打開(kāi)一個(gè)方程，輸入 LS c ar(1) ma(1)即可。 2020/2/2861 2. 季節(jié)ARMA項(xiàng) 對(duì)于帶有季節(jié)因素的季度數(shù)據(jù)，Box and Jenkins(1976) 建議使用季節(jié)自回歸SAR和季節(jié)動(dòng)平均SMA。SAR(p)定義為帶有p階滯后的季節(jié)自回歸項(xiàng)。估計(jì)中使用的滯后多項(xiàng)式是AR項(xiàng)和SAR項(xiàng)定義的結(jié)合。 與此類(lèi)似，SMA(q)定義為帶有q階滯后的季節(jié)動(dòng)平均。估計(jì)中使用的滯后多項(xiàng)式是MA項(xiàng)和SMA項(xiàng)定義的結(jié)合。存在SAR

34、項(xiàng)則允許建立一個(gè)滯后多項(xiàng)式。 例如：沒(méi)有季節(jié)項(xiàng)的2階AR過(guò)程 2020/2/2862 例如：沒(méi)有季節(jié)項(xiàng)的2階AR過(guò)程 用滯后算子 ，則上式可表示為： 可以通過(guò)回歸自變量的ar(1)，ar(2)項(xiàng)來(lái)估計(jì)這個(gè)過(guò)程。 對(duì)于季度數(shù)據(jù)，可以加入sar(4)來(lái)表示季節(jié)因素，定義方程： y c x ar(1) ar(2) sar(4)估計(jì)誤差結(jié)構(gòu)為： 2020/2/2863等價(jià)于 參數(shù) 和季節(jié)因素相聯(lián)系。注意：這是對(duì)系數(shù)有非線(xiàn)性約束的AR(6)模型。 在另一個(gè)例子中，無(wú)季節(jié)性的二階MA過(guò)程如下 可以通過(guò)包含ma(1)和ma(2)來(lái)估計(jì)二階MA過(guò)程。 2020/2/2864 對(duì)季度數(shù)據(jù)，可以添加sma(4)考

35、慮季節(jié)性。例如定義方程： y c x ma(1 ) ma(2) sma(4) 估計(jì)模型為：等價(jià)于： 參數(shù) 和季節(jié)因素相聯(lián)系。這是對(duì)系數(shù)有非線(xiàn)性約束的MA(6)模型。還可以在方程說(shuō)明中同時(shí)包括SAR，SMA項(xiàng)。 2020/2/2865例9.5: 利用 AR(1) 模型描述上證指數(shù)的變化規(guī)律 本例取我國(guó)上證收盤(pán)指數(shù)（時(shí)間期間：1991年1月2003年3月）的月度時(shí)間序列S作為研究對(duì)象，用AR(1)模型描述其變化規(guī)律。首先對(duì)其做變化率，srt = 100(St-St-1)/S t-1（t = 1, 2, , T），這樣便得到了變化率序列。一般來(lái)講，股價(jià)指數(shù)序列并不是一個(gè)平穩(wěn)的序列，而通過(guò)變換后的變化

36、率數(shù)據(jù)，是一個(gè)平穩(wěn)序列，可以作為我們研究、建模的對(duì)象。記上證股價(jià)指數(shù)變化率序列為sr，建立如下模型： 2020/2/2866回歸結(jié)果為： 2020/2/2867圖9.2 實(shí)線(xiàn)是上證股價(jià)指數(shù)變化率序列sr，虛線(xiàn)是AR(1)模型的擬合值 從圖9.2可以看出我國(guó)上證股價(jià)指數(shù)變化率序列在1991年1994年之間變化很大，而后逐漸變小，基本在3%上下波動(dòng)。近年來(lái)波動(dòng)平緩，并且大多在3%下面波動(dòng)。擬合曲線(xiàn)基本代表了這一時(shí)期的均值。 2020/2/2868 9.2.4 ARMA模型的識(shí)別 在實(shí)際研究中，所能獲得的只是經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，根據(jù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的樣本特征，來(lái)推斷其總體（真實(shí)）特征。這一節(jié)將引入自相關(guān)

37、系數(shù) (autocorrelations，簡(jiǎn)稱(chēng)AC) 和偏自相關(guān)系數(shù) (partial autocorrelations，簡(jiǎn)稱(chēng)PAC) 這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量去識(shí)別ARMA(p，q) 模型。1. 自相關(guān)系數(shù) 時(shí)間序列ut滯后k階的自相關(guān)系數(shù)由下式估計(jì) (9.2.26)2020/2/2869其中 是序列的樣本均值，這是相距k期值的相關(guān)系數(shù)，稱(chēng)rk為時(shí)間序列ut的自相關(guān)系數(shù)。 自相關(guān)系數(shù)可以部分的刻畫(huà)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)。它告訴我們?cè)谛蛄衭t的鄰近數(shù)據(jù)之間存在多大程度的相關(guān)性。通常的，AR(p) 模型的自相關(guān)系數(shù)是隨著k的增加而呈現(xiàn)指數(shù)衰減或者震蕩式的衰減，具體的衰減形式取決于AR(p) 模型滯后項(xiàng)的系數(shù)。2

38、020/2/28702偏自相關(guān)系數(shù) 偏自相關(guān)系數(shù)是指在給定ut-1，ut-2，ut-k的條件下，ut與ut-k之間的條件相關(guān)性。其相關(guān)程度用偏自相關(guān)系數(shù) k , k度量。在p階滯后下估計(jì)偏相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下 (9.2.27)2020/2/2871其中：rk 是在k階滯后時(shí)的自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值。這是偏相關(guān)系數(shù)的一致估計(jì)。要得到 k , k的更確切的估計(jì)，需要進(jìn)行回歸 (9.2.28)(9.2.29)因此，滯后k階的偏相關(guān)系數(shù)是當(dāng)ut 對(duì)ut-1，ut-k 作回歸時(shí)ut-k的系數(shù)。稱(chēng)之為偏相關(guān)是因?yàn)樗攘苛薻期間距的相關(guān)而不考慮k -1期的相關(guān)。2020/2/2872 如果這種自相關(guān)的形式可由滯

39、后小于k階的自相關(guān)表示，那么偏相關(guān)在k期滯后下的值趨于零。一個(gè)純的p 階自回歸過(guò)程AR(p) 的偏相關(guān)系數(shù)在p階截尾，而純的動(dòng)平均函數(shù)的偏相關(guān)過(guò)程漸進(jìn)趨于零。因此，如果我們能求出關(guān)于 k , k的估計(jì)值，用以檢驗(yàn)其顯著性水平，就能夠確定時(shí)間序列ut的自相關(guān)的階數(shù)。 3. MA模型的識(shí)別MA(q)模型 (9.2.30)2020/2/2873其中：t是均值為0，方差為 2的白噪聲序列，而自協(xié)方差 k計(jì)算可得(9.2.31)(9.2.32)2020/2/2874進(jìn)而得到 (9.2.33) 上式表明對(duì)MA(q)模型，當(dāng)k q時(shí)，rk = 0。ut與ut+k 不相關(guān)，這種性質(zhì)通常稱(chēng)為截尾。即MA(q)

40、模型的自相關(guān)函數(shù)在q步以后是截尾的。 2020/2/2875 MA(q) 的偏自相關(guān)系數(shù)的具體形式隨著q的增加變得越來(lái)越復(fù)雜，很難給出一個(gè)關(guān)于q的一般表達(dá)式，但是，一個(gè)MA(q) 模型對(duì)應(yīng)于一個(gè)AR() 模型。因此，MA(q) 模型的偏自相關(guān)系數(shù)一定呈現(xiàn)出某種衰減的形式是拖尾的。故可以通過(guò)識(shí)別一個(gè)序列的偏自相關(guān)系數(shù)的拖尾形式，大致確定它應(yīng)該服從一個(gè)MA(q) 過(guò)程。 2020/2/28764. AR模型的識(shí)別 可以不加證明的給出AR(p)過(guò)程的自相關(guān)系數(shù) (9.2.34)其中1 , 2 , , p 是AR(p) 模型的特征多項(xiàng)式 (9.2.35)的p個(gè)特征根，g1 , g2 , , gp為任意

41、給定的p個(gè)常數(shù)。2020/2/2877由此可知，AR(p) 模型的自相關(guān)系數(shù)會(huì)由于g1 , g2 , , gp及k取值的不同，呈現(xiàn)出不同的衰減形式，可能是指數(shù)式的衰減，也可能是符號(hào)交替的震蕩式的衰減。例如，對(duì)于AR(1) 模型，其自相關(guān)系數(shù)為，當(dāng)r1 0時(shí)，rk呈指數(shù)式的衰減；當(dāng)r1 d 則二序列的線(xiàn)性組合是e 階單整序列，即 zt =a xt +b yt I(max(d，e)2020/2/28103 9.3.2 非平穩(wěn)序列的單位根檢驗(yàn) 檢查序列平穩(wěn)性的標(biāo)準(zhǔn)方法是單位根檢驗(yàn)。本節(jié)將介紹5種單位根檢驗(yàn)方法： DF檢驗(yàn)、ADF檢驗(yàn)、PP檢驗(yàn)、KPSS 檢驗(yàn)、ERS檢驗(yàn)。 前三種方法出現(xiàn)的比較早，在

42、實(shí)際應(yīng)用中較為常見(jiàn)，但是，由于這3種方法均需要對(duì)被檢驗(yàn)序列作可能包含常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)變量項(xiàng)的假設(shè)，因此，應(yīng)用起來(lái)帶有一定的不便；后2種方法克服了前3種方法帶來(lái)的不便，在剔除原序列趨勢(shì)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)序列是否存在單位根，應(yīng)用起來(lái)較為方便。 2020/2/28104 其中a是常數(shù)， t 是線(xiàn)性趨勢(shì)函數(shù)，ut i.i.d. N (0, 2) 。(9.3.4)(9.3.5)(9.3.6) 1. DF檢驗(yàn) 為說(shuō)明DF檢驗(yàn)的使用，先考慮3種形式的回歸模型 2020/2/28105 1) 如果 -1 1，則yt平穩(wěn)（或趨勢(shì)平穩(wěn)）。 2) 如果 =1， yt 序列是非平穩(wěn)序列。(9.3.4)式可寫(xiě)成： 顯

43、然yt 的差分序列是平穩(wěn)的。 3) 如果 的絕對(duì)值大于1，序列發(fā)散，且其差分序列是非平穩(wěn)的。2020/2/28106 因此，判斷一個(gè)序列是否平穩(wěn)，可以通過(guò)檢驗(yàn) 是否嚴(yán)格小于1來(lái)實(shí)現(xiàn)。也就是說(shuō)： 原假設(shè)H0： =1，備選假設(shè)H1： 1(9.3.7)(9.3.8)(9.3.9) 從方程兩邊同時(shí)減去yt-1得， 2020/2/28107 其中： = -1，所以原假設(shè)和備選假設(shè)可以改寫(xiě)為 可以通過(guò)最小二乘法得到 的估計(jì)值，并對(duì)其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的方法，構(gòu)造檢驗(yàn)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量。2020/2/28108 但是，Dickey-Fuller研究了這個(gè)t 統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下已經(jīng)不再服從 t 分布，它依賴(lài)于回歸

44、的形式(是否引進(jìn)了常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)) 和樣本長(zhǎng)度T 。 Mackinnon進(jìn)行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，就可以根據(jù)需要，選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水平，通過(guò) t 統(tǒng)計(jì)量來(lái)決定是否接受或拒絕原假設(shè)。這一檢驗(yàn)被稱(chēng)為Dickey-Fuller檢驗(yàn)(DF檢驗(yàn))。 2020/2/28109 上面描述的單位根檢驗(yàn)只有當(dāng)序列為AR(1) 時(shí)才有效。如果序列存在高階滯后相關(guān)，這就違背了擾動(dòng)項(xiàng)是獨(dú)立同分布的假設(shè)。在這種情況下，可以使用增廣的DF檢驗(yàn)方法（augmented Dickey-Fuller test ）來(lái)檢驗(yàn)含有高階序列相關(guān)的序列的單位根。 2020/2/2

45、8110 2. ADF檢驗(yàn) ADF檢驗(yàn)方法通過(guò)在回歸方程右邊加入因變量yt 的滯后差分項(xiàng)來(lái)控制高階序列相關(guān) (9.3.11)(9.3.12)(9.3.13)2020/2/28111 擴(kuò)展定義將檢驗(yàn) (9.3.14) 也就是說(shuō)原假設(shè)為：原假設(shè)至少存在一個(gè)單位根；備選假設(shè)為：序列不存在單位根。序列yt可能還包含常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。判斷 的估計(jì)值是接受原假設(shè)或者接受備選假設(shè)，進(jìn)而判斷一個(gè)高階自相關(guān)序列AR(p) 過(guò)程是否存在單位根。2020/2/28112 類(lèi)似于DF檢驗(yàn)，Mackinnon通過(guò)模擬也得出在不同回歸模型及不同樣本容量下檢驗(yàn) 不同顯著性水平的 t 統(tǒng)計(jì)量的臨界值。這使我們能夠很方便的在

46、設(shè)定的顯著性水平下判斷高階自相關(guān)序列是否存在單位根。 2020/2/28113 但是，在進(jìn)行ADF檢驗(yàn)時(shí)，必須注意以下兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題： （1）必須為回歸定義合理的滯后階數(shù)。通常采用AIC準(zhǔn)則來(lái)確定給定時(shí)間序列模型的滯后階數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，還需要兼顧其他的因素，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、模型的擬合優(yōu)度等。 2020/2/28114 （2） 可以選擇常數(shù)和線(xiàn)性時(shí)間趨勢(shì)，選擇哪種形式很重要，因?yàn)闄z驗(yàn)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下的漸進(jìn)分布依賴(lài)于關(guān)于這些項(xiàng)的定義。 如果在檢驗(yàn)回歸中含有常數(shù)，意味著所檢驗(yàn)的序列的均值不為0，一個(gè)簡(jiǎn)單易行的辦法是畫(huà)出檢驗(yàn)序列的曲線(xiàn)圖，通過(guò)圖形觀察原序列是否在一個(gè)偏離 0 的位置隨機(jī)變

47、動(dòng)，進(jìn)而決定是否在檢驗(yàn)時(shí)添加常數(shù)項(xiàng)； 2020/2/28115 如果在檢驗(yàn)回歸中含線(xiàn)性趨勢(shì)項(xiàng)，意味著原序列具有時(shí)間趨勢(shì)。同樣，決定是否在檢驗(yàn)中添加時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)，也可以通過(guò)畫(huà)出原序列的曲線(xiàn)圖來(lái)觀察。如果圖形中大致顯示了被檢驗(yàn)序列的波動(dòng)趨勢(shì)隨時(shí)間變化而變化，那么便可以添加時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。 2020/2/28116 EViews軟件中的操作說(shuō)明： 雙擊序列名，打開(kāi)序列窗口，選擇View/unit Root Test，得到下圖： 單位根檢驗(yàn)窗口2020/2/28117進(jìn)行單位根檢驗(yàn)必須定義4項(xiàng)： 1選擇檢驗(yàn)類(lèi)型 在Test type的下拉列表中，選擇檢驗(yàn)方法。EViews5提供了6種單位根檢驗(yàn)的方法： Au

48、gmented Dickey-Fuller(ADF) Test Phillips-Perron(PP) Test Dickey-Fuller GLS Test Kwiatkowski , Phillips , Schmidt and Shin (KPSS) Test Elliot , Rothenberg , and Stock Point Optimal (ERS) Test Ng and Perron (NP) Test2020/2/28118 2選擇被檢驗(yàn)序列的形式 在Test for unit root in中確定序列在水平值、一階差分、二階差分下進(jìn)行單位根檢驗(yàn)?？梢允褂眠@個(gè)選項(xiàng)決定序

49、列中單位根的個(gè)數(shù)。如果檢驗(yàn)水平值未拒絕，而在一階差分拒絕原假設(shè)，序列中含有一個(gè)單位根，是一階單整I(1)；如果一階差分后的序列仍然拒絕了原假設(shè)，則需要選擇2階差分。一般而言，一個(gè)序列經(jīng)過(guò)兩次差分以后都可以變?yōu)橐粋€(gè)平穩(wěn)序列，也就是二階單整I(2)。 2020/2/28119 3定義檢驗(yàn)方程中需要包含的選項(xiàng) 在Include in test equation中定義在檢驗(yàn)回歸中是否含有常數(shù)項(xiàng)、常數(shù)和趨勢(shì)項(xiàng)、或二者都不包含。這一選擇很重要，因?yàn)闄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下的分布隨這3種情況不同而變化。在什么情況下包含常數(shù)項(xiàng)或者趨勢(shì)項(xiàng)，剛才已經(jīng)作了介紹。2020/2/28120 4定義序列相關(guān)階數(shù) 在Lag l

50、enth這個(gè)選項(xiàng)中可以選擇一些確定消除序列相關(guān)所需的滯后階數(shù)的準(zhǔn)則。一般而言，EViews默認(rèn)Akaike info準(zhǔn)則和Scharz準(zhǔn)則。 定義上述選項(xiàng)后，單擊OK進(jìn)行檢驗(yàn)。EViews顯示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和估計(jì)檢驗(yàn)回歸。 單位根檢驗(yàn)后，應(yīng)檢查EViews顯示的估計(jì)檢驗(yàn)回歸，尤其是如果對(duì)滯后算子結(jié)構(gòu)或序列自相關(guān)階數(shù)不確定，可以選擇不同的右邊變量或滯后階數(shù)來(lái)重新檢驗(yàn)。 2020/2/28121 5關(guān)于核函數(shù)形式的選擇 如果選擇KPSS法、ERS法和NP法進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，還需要選擇適當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)。如下圖所示，在Spectral estimation method 中選擇具體的核函數(shù)形式。 2020/2/

51、28122例9.8 檢驗(yàn)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)序列的平穩(wěn)性 例9.7用AR(1) 模型模擬1990年1月2004年12月居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)一階差分CPI的變化規(guī)律。在用ADF進(jìn)行單位根檢驗(yàn)前，需要設(shè)定序列的是否含有常數(shù)項(xiàng)或者時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。我們可以通過(guò)畫(huà)出原序列的圖形來(lái)判斷是否要加入常數(shù)項(xiàng)或者時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。從圖9.7的CPI圖形可以看出含有常數(shù)項(xiàng)，但不含有時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。CPI序列的ADF檢驗(yàn)結(jié)果如下： 2020/2/281232020/2/28124 檢驗(yàn)結(jié)果顯示，CPI序列接受原假設(shè)，因此， CPI序列是一個(gè)非平穩(wěn)的序列。接著再對(duì)一階差分CPI序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，ADF檢驗(yàn)結(jié)果如下： 2020/2/2812

52、5 檢驗(yàn)結(jié)果顯示，一階差分CPI序列拒絕原假設(shè)，接受CPI序列是平穩(wěn)序列的結(jié)論。因此，CPI序列是1階單整序列，即CPII(1)。 例9.9 檢驗(yàn)中國(guó)GDP序列的平穩(wěn)性 2020/2/28126 3. PP檢驗(yàn) 類(lèi)似于DF檢驗(yàn)的作用，Phillips和Perron（1988）提出一種非參數(shù)方法來(lái)檢驗(yàn)一階自回歸過(guò)程AR(1)的平穩(wěn)性(附加一個(gè)修正因子)，對(duì)于方程 (9.3.15) 原假設(shè)和備選假設(shè)為： 2020/2/28127 接受原假設(shè)，意味著存在一個(gè)單位根；反之，接受備選假設(shè)，意味著不存在單位根。PP檢驗(yàn)(Phillips-Perron Test)也是通過(guò)構(gòu)造一個(gè)具有t分布的統(tǒng)計(jì)量tp,p來(lái)

53、檢驗(yàn)的取值情況，只是此時(shí)t統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造相對(duì)于DF檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量更為穩(wěn)健。 PP統(tǒng)計(jì)量tp,p的具體構(gòu)造形式如下： 2020/2/28128(9.3.17) 其中： 是式（9.3.15）回歸殘差方差的一致估計(jì)量，即 其中k是解釋變量的個(gè)數(shù)。 (9.3.18)2020/2/28129(9.3.19) 其中q 是截?cái)鄿笠蜃?，t 是t統(tǒng)計(jì)量， 是 的標(biāo)準(zhǔn)差， 是回歸標(biāo)準(zhǔn)差， 是殘差序列的j階自協(xié)方差的估計(jì)值， 殘差在零頻率處的譜密度估計(jì)量。 2020/2/28130 通過(guò)模擬可以給出PP統(tǒng)計(jì)量在不同顯著性水平下的臨界值，使得我們能夠很容易的實(shí)施檢驗(yàn)。使用PP檢驗(yàn)，還必須定義截?cái)鄿笠蜃觪 ，即要包括需

54、修正的序列相關(guān)階數(shù)，選擇的滯后階數(shù)可以通過(guò)原序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)圖大致確定，也可以通過(guò)AIC準(zhǔn)則來(lái)確定。2020/2/28131 4. KPSS檢驗(yàn) KPSS（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin，1992）檢驗(yàn)的原理是用從待檢驗(yàn)序列中剔出截距項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)的序列 構(gòu)造LM統(tǒng)計(jì)量。令yt是被檢驗(yàn)序列，xt是外生變量向量序列。xt包含原序列yt中可能含有的截距項(xiàng)，或者截距項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)。建立如下回歸方程： (9.3.20) 2020/2/28132 其中xt=1表示yt中只含有截距項(xiàng)，或xt=1,t表示yt中含有截距項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)。對(duì)方程（9.3.20）作最小二乘回歸得到

55、殘差序列的估計(jì)， 是剔除趨勢(shì)和截距項(xiàng)的序列，KPSS檢驗(yàn)就是基于此基礎(chǔ)上，通過(guò)檢驗(yàn)殘差的估計(jì)序列 是否存在單位根，從而來(lái)判斷原序列是否存在單位根。令(9.3.21)2020/2/28133則KPSS統(tǒng)計(jì)量LM構(gòu)造如下： (9.3.22) KPSS檢驗(yàn)的原假設(shè)是序列是（趨勢(shì)）平穩(wěn)的；備選假設(shè)是序列是不平穩(wěn)的。Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin（1992）給出了不同置信水平下的臨界值(小于臨界值接受原假設(shè))。 式（9.3.22）中的f0是頻率為零時(shí)的殘差譜密度 。在實(shí)際應(yīng)用中，主要有兩種f0的估計(jì)方法：（1） 協(xié)方差核估計(jì)；（2） 自回歸譜密度估計(jì)量。2020/2/

56、28134 5. ERS檢驗(yàn) ERS（Elliot-Rothenberg-Stock Point Optimal, 1996）檢驗(yàn)是在被檢驗(yàn)序列的擬差分序列回歸基礎(chǔ)上構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)的。首先定義序列的擬差分序列如下： (9.3.28) 2020/2/28135并且構(gòu)造如下回歸方程： (9.3.29) 其中，xt包含了常數(shù)項(xiàng)或者常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)。令 表示方程（9.3.29）參數(shù)的最小二乘估計(jì)量，在實(shí)際計(jì)算中通常如下定義參數(shù)a： (9.3.30)2020/2/28136定義ERS檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量PT 如下： (9.3.31)則方程（9.3.29）殘差的最小二乘估計(jì)為： (9.3.32)其中f0是頻率

57、為零時(shí)的殘差譜密度， ， ERS檢驗(yàn)的原假設(shè)是序列有一個(gè)單位根；備選假設(shè)是序列是平穩(wěn)的。2020/2/28137 9.3.3 ARIMA模型 1ARIMA模型的形式 我們已經(jīng)介紹了對(duì)于單整序列能夠通過(guò)d次差分將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列。設(shè)yt是d階單整序列，即yt I(d)，則 (9.3.40) wt為平穩(wěn)序列，即wt I(0)，于是可以對(duì)wt建立ARMA(p,q) 模型 2020/2/28138(9.3.41)用滯后算子表示，則 其中 (9.3.42)2020/2/28139 經(jīng)過(guò)d階差分變換后的ARMA(p,q) 模型稱(chēng)為ARIMA(p,d,q) 模型(autoregressive int

58、egrated moving average models)，式（9.3.42）等價(jià)于下式(9.3.43) 估計(jì)ARIMA(p,d,q) 模型同估計(jì)ARMA(p,q) 具體的步驟相同，惟一不同的是在估計(jì)之前要確定原序列的差分階數(shù)d，對(duì)yt進(jìn)行d階差分。2020/2/28140 因此，ARIMA(p,d,q)模型區(qū)別于ARMA(p,q) 之處就在于前者的自回歸部分的特征多項(xiàng)式含有d個(gè)單位根。因此，對(duì)一個(gè)序列建模之前，我們應(yīng)當(dāng)首先確定該序列是否具有非平穩(wěn)性，這就首先需要對(duì)序列的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)，特別是要檢驗(yàn)其是否含有單位根及所含有的單位根的個(gè)數(shù)。 2020/2/281412. 應(yīng)用ARIMA(p,

59、d, q) 模型建模的過(guò)程 博克斯詹金斯提出了具有廣泛影響的建模思想，能夠?qū)?shí)際建模起到指導(dǎo)作用。博克斯詹金斯的建模思想可分為如下4個(gè)步驟： （1）對(duì)原序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，如果序列不滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件，可以通過(guò)差分變換（單整階數(shù)為d，則進(jìn)行d階差分）或者其他變換，如對(duì)數(shù)差分變換使序列滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件； （2）通過(guò)計(jì)算能夠描述序列特征的一些統(tǒng)計(jì)量（如自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)），來(lái)確定ARMA模型的階數(shù)p和q，并在初始估計(jì)中選擇盡可能少的參數(shù)；2020/2/28142 （3）估計(jì)模型的未知參數(shù)，并檢驗(yàn)參數(shù)的顯著性，以及模型本身的合理性； （4）進(jìn)行診斷分析，以證實(shí)所得模型確實(shí)與所觀察到的數(shù)據(jù)特征相符。

60、對(duì)于博克斯詹金斯建模思想的第3、4步，需要一些統(tǒng)計(jì)量和檢驗(yàn)來(lái)分析在第2步中的模型形式選擇得是否合適，所需要的統(tǒng)計(jì)量和檢驗(yàn)如下：（1）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量；（2）為保證ARIMA(p,d,q) 模型的平穩(wěn)性，模型的特征根的倒數(shù)皆小于1；（3）模型的殘差序列應(yīng)當(dāng)是一個(gè)白噪聲序列，可用9.2節(jié)中的檢驗(yàn)序列相關(guān)的方法檢驗(yàn)。2020/2/28143強(qiáng)調(diào) 差分因變量序列 在Eviews中的應(yīng)用 1. 差分 D算子被用來(lái)定義序列差分。定義一階差分，僅把序列名寫(xiě)入D后的括號(hào)。例如，D(GDP)定義GDP的一階差分，或GDP-GDP(-1)。更復(fù)雜的差分形式可以使用兩個(gè)參數(shù) n，s。D(x, n)定