教學(xué)課件·數(shù)字信號(hào)處理(第四版)

1、第1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 2本章主要內(nèi)容時(shí)域離散信號(hào)的基本概念及典型序列時(shí)域離散系統(tǒng)的定義及其性質(zhì)模擬信號(hào)數(shù)字處理方法Matlab實(shí)現(xiàn)線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入/輸出 (n)求解法時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出法：線性常系數(shù)差分方程31.1引言信號(hào)的分類系統(tǒng)的分類4信號(hào)的分類時(shí)域連續(xù)信號(hào)（模擬信號(hào)）：信號(hào)的自變量和函數(shù)值都取連續(xù)值，例如語言信號(hào)、溫度信號(hào)等；時(shí)域離散信號(hào)：如果自變量取離散值，而函數(shù)值取連續(xù)值，這種信號(hào)通常來源于對(duì)模擬信號(hào)的采樣；數(shù)字信號(hào)：信號(hào)的自變量和函數(shù)值均取離散值。5采樣間隔T=0.005s進(jìn)行等間隔采樣，得時(shí)域離散信號(hào)x(n)， = ， 0.0，0.6364，0.9，0.63

2、64，0.0，-0.6364，-0.9，-0.6364， 顯然, 時(shí)域離散信號(hào)是時(shí)間離散化的模擬信號(hào)。如果用四位二進(jìn)制數(shù)表示該時(shí)域離散信號(hào)，得到相應(yīng)的數(shù)字信號(hào)xn=，0.000，0.101，0.111，0.101，0.000，1.101，1.111，1.101，數(shù)字信號(hào)是幅度、時(shí)間均離散化的模擬信號(hào)，或者說是幅度離散化的時(shí)域離散信號(hào)。 模擬信號(hào)6系統(tǒng)的分類模擬系統(tǒng)時(shí)域離散系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)模擬網(wǎng)絡(luò)和數(shù)字網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的混合系統(tǒng)71.2 時(shí)域離散信號(hào) 序列序列的定義及表示序列的基本運(yùn)算常用的典型序列序列的周期性用單位脈沖序列表示任意序列81.2.1 序列的定義及表示序列的定義數(shù)字序列：離散時(shí)間信號(hào) -2,

3、5, -6, 8, 3 ,-7一般只在均勻間隔的離散時(shí)間nT上給出數(shù)值 , x(-2T), X(-1T), X(0), X(T), X(2T),序列的表示用集合符號(hào)表示用公式表示用圖形表示9序列表示 x(n) = x(n)， -n+n 代表nTnT 指均勻間隔的離散時(shí)間點(diǎn)T 采樣時(shí)間間隔n 為非整數(shù)時(shí)沒有定義，不能認(rèn)為此時(shí)x(n)的值是零 用集合符號(hào)表示x(n) = ,x(-2),x(-1),x(0),x(1),x(2),.用公式表示10 序列表示用圖形表示111.2.1 常用的典型序列單位脈沖序列單位階躍序列矩形序列實(shí)指數(shù)序列 正弦序列 復(fù)指數(shù)序列 周期序列任意序列表示12單位脈沖序列(n)

4、只在n =0時(shí)取確定值1，其它均為零 (n)類似于(t)，注意二者的定義與區(qū)別(n-m)只有在n= m時(shí)取確定值1，而其余點(diǎn)取值均為零 13單位階躍序列u(n)類似于u(t)u(t)在t= 0時(shí)常不定義u(n)在n= 0時(shí)為u(0)= 1 (n)和u(n)的關(guān)系：(n) = u(n)-u(n-1) 14矩形序列 N 為矩形序列的長(zhǎng)度 和u(n)、(n)的關(guān)系 ：15實(shí)指數(shù)序列a為實(shí)數(shù)當(dāng)|a|1時(shí)序列收斂當(dāng)|a|1時(shí)序列發(fā)散 16正弦序列 A為幅度為數(shù)字域頻率為起始相位 設(shè) x(n)由x(t)= sint 取樣得到 （A、 與頻率無關(guān) 不考慮）x(n)= Asin(n+) =T =/fs ,與線

5、性關(guān)系, 的單位為 rad17復(fù)指數(shù)序列 為數(shù)字域頻率用實(shí)部與虛部表示 用極坐標(biāo)表示 只考慮頻率令=0，序列頻率呈現(xiàn)以2為周期的周期性 后續(xù)研究中頻率域只考慮 或 就夠了18 周期序列 對(duì)于序列x(n)，如果對(duì)所有n 存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，對(duì)任意整數(shù)m滿足x(n)= x(n+mN)則序列x(n)是周期序列 ，最小周期為N 。以正弦序列 為例討論周期性 設(shè) x(n)= Asin(n+) 則有 x(n+N) =Asin(n+N)+ =Asin(N+n+) 若滿足條件N= 2k，則 x(n+N)= Asin(n+N)+ = Asin(n+) = x(n)19周期序列N、k 為整數(shù)，k 的取值滿足條

6、件，且保證N 最小正整數(shù)。其周期為 2/為整數(shù)時(shí)，取k = 1，保證為最小正整數(shù)。此時(shí)為周期序列，周期為2/。 例1.4 序列 ，因?yàn)?/= 8，所以是一個(gè)周期序列，其周期N= 8。 20周期序列2/為有理數(shù)而非整數(shù)時(shí)，仍然是周期序列，周期大于2/。例1.5 序列 ，2/= 8/3是有理數(shù)，所以是周期序列，取k= 3，得到周期N= 8。 2/為無理數(shù)時(shí)，任何k 都不能使N 為正整數(shù)，這時(shí)正弦序列不是周期序列。 例 序列指數(shù)為純虛數(shù)的復(fù)指數(shù)序列的周期性與正弦序列的情況相同。 21 用單位脈沖序列表示任意序列 任何序列都可以用單位脈沖序列的移位加權(quán)和來表示，即x(n) 可看成是x(n)和(n)的卷

7、積和，式中例1.6 221.2.2 序列的基本運(yùn)算和積移位標(biāo)乘翻轉(zhuǎn)累加差分時(shí)間尺度變換序列能量卷積和23基本運(yùn)算序列的和 設(shè)序列為x(n)和y(n)，則序列 z(n)= x(n)+ y(n) 表示兩個(gè)序列的和，定義為同序號(hào)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加。24例：序列的和例： 設(shè)序列計(jì)算序列的和x(n)+ y(n)。解：25例：序列求和圖示26基本運(yùn)算序列的積 設(shè)序列為x(n)和y(n)，則序列 z(n)= x(n) y(n) 表示兩個(gè)序列的積，定義為同序號(hào)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘。27例：序列的積例： 設(shè)序列計(jì)算序列的和x(n) y(n)。解：28例：序列求積圖示x(n)29基本運(yùn)算序列的移位 設(shè)序列為x(

8、n)，則序列 y(n)= x(n-m) 表示將序列x(n)進(jìn)行移位。 m為正時(shí)x(n -m)：x(n)逐項(xiàng)依次延時(shí)(右移)m位x(n+m)：x(n)逐項(xiàng)依次超前(左移)m位 m為負(fù)時(shí)，則相反。30例：序列的移位例： 設(shè)序列計(jì)算序列的和x(n+1)。解：31例：序列移位圖示x(n)32基本運(yùn)算序列的標(biāo)乘 設(shè)序列為x(n)，a為常數(shù)(a 0)，則序列 y(n)= ax(n) 表示將序列x(n)的標(biāo)乘，定義為各序列值均乘以a，使新序列的幅度為原序列的a倍。33例：序列的標(biāo)乘例： 設(shè)序列計(jì)算序列4x(n)。解：34基本運(yùn)算序列的翻轉(zhuǎn) 設(shè)序列為x(n)，則序列 y(n)= x(-n) 表示以n= 0的縱

9、軸為對(duì)稱軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。35例：序列的翻轉(zhuǎn)例： 設(shè)序列計(jì)算序列x(-n)。解：36基本運(yùn)算序列的累加 設(shè)序列為x(n)，則序列 定義為對(duì)x(n)的累加，表示將n 以前的所有x(n)值求和。37基本運(yùn)算序列的差分前向差分：將序列先進(jìn)行左移，再相減 x(n) = x(n+1)- x(n) 后向差分：將序列先進(jìn)行右移，再相減 x(n) = x(n)- x(n-1) 由此，容易得出 x(n) = x(n-1)38基本運(yùn)算時(shí)間尺度(比例)變換 設(shè)序列為x(n)，m為正整數(shù)，則序列 抽取序列 y(n)= x(mn) x(mn) 和x(n/m)定義為對(duì)x(n)的時(shí)間尺度變換。 插值序列 39插值序

10、列 x(n/m) ：對(duì)x(n)進(jìn)行零值內(nèi)插運(yùn)算 表示在原序列x(n)相鄰兩點(diǎn)之間插入m-1個(gè)零值點(diǎn) 保留 x(0)40基本運(yùn)算序列的能量 設(shè)序列為x(n)，則序列 定義為序列的能量，表示序列各取樣值的平方之和； 若為復(fù)序列，取模值后再求平方和。411.3 時(shí)域離散系統(tǒng) 時(shí)域離散系統(tǒng)的定義及表示 線性時(shí)不變系統(tǒng) 線性時(shí)不變系統(tǒng)h(n)與I/O關(guān)系線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì) 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 42時(shí)域離散系統(tǒng)的定義及表示 時(shí)域離散系統(tǒng)定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的惟一變換或運(yùn)算。以T 表示這種運(yùn)算y(n)= Tx(n)對(duì)變換T 加以不同的約束條件，所定義的系統(tǒng)就具有不同的特性和功能

11、。線性時(shí)不變系統(tǒng): 最重要、最常用，可表征許多物理過程。431.3.1、1.3.2 線性時(shí)不變系統(tǒng) 線性系統(tǒng)滿足疊加原理疊加原理包含可加性和齊次性兩方面性質(zhì) 時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入信號(hào)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān)運(yùn)算關(guān)系在整個(gè)運(yùn)算過程中不隨時(shí)間而變化 線性時(shí)不變系統(tǒng) 既滿足疊加原理，又滿足時(shí)不變性的系統(tǒng) 44 線性系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入序列與輸出分別為可加性: 如果系統(tǒng)的輸入之和與輸出之和滿足齊次性(或比例性): 設(shè)a為常數(shù)，系統(tǒng)的輸入增大a倍，輸出也增大a倍線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)（不滿足可加性與齊次性）45例：證明一個(gè)線性系統(tǒng)注意：必須證明系統(tǒng)同時(shí)滿足可加性和齊次性，且信號(hào)及比例常數(shù)都可以是復(fù)數(shù)。例：

12、 試分析下列系統(tǒng)是否是線性系統(tǒng) (1) y(n)= 2x(n)-3，(2) y(n)= x(Mn)，其中M為正整數(shù)。不滿足疊加原理，非線性系統(tǒng) 滿足疊加原理，線性系統(tǒng) 46時(shí)不變系統(tǒng) 輸入序列x (n)移動(dòng)任意m 位后，輸出序列y (n)也移動(dòng)m 位，數(shù)值卻保持不變。 m 為任意常整數(shù) 時(shí)不變系統(tǒng)也稱為移不變系統(tǒng) 47例：證明一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)例： 試分析下列系統(tǒng)的時(shí)不變性 (1) y(n)= 2x(n)-3，(2) y(n)= x(Mn)，其中M為正整數(shù)。二者相等，具有時(shí)不變性 時(shí)變系統(tǒng) 481.3.3 線性時(shí)不變系統(tǒng)h(n)與I/O關(guān)系 單位脈沖響應(yīng) (單位取樣響應(yīng))h(n)=T (n)線性時(shí)

13、不變系統(tǒng)輸入為(n)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng) 線性時(shí)不變系統(tǒng)特性都可以用它的單位脈沖響應(yīng)h(n)來表征已知h(n) 可得到線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)任意輸入的輸出 時(shí)域離散系統(tǒng)： 完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng) 49I/O關(guān)系推導(dǎo) 用(n)表示x(n)系統(tǒng)輸出 疊加原理 時(shí)不變性 I/O關(guān)系: 線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和單位脈沖響應(yīng)h(n)的卷積。 50 線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì) 交換律結(jié)合律分配律可以推廣到多個(gè)系統(tǒng)的情況，由卷積和的定義可以很容易加以證明。 51 序列的卷積和 設(shè)序列為x(n)和z(n)，則序列 定義為x(n)和z(n)的卷積和。卷積和又稱為離散卷積或線性卷積，是很重要的公式。 線性時(shí)不變

14、系統(tǒng)的I/O關(guān)系： 就是序列卷積和的運(yùn)算 ！ 52卷積和計(jì)算的四個(gè)步驟 (1)翻轉(zhuǎn)：x(m) ，x(m) x(-m) (2)移位：z(m) z(n-m) n為正數(shù)時(shí)，右移n位 n為負(fù)數(shù)時(shí)，左移n位 (3)相乘： x(m) z(n-m) ,（m值相同） (4)相加：y(n) =x(m)z(n-m)53對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘！例：卷積和計(jì)算例 設(shè)序列求y(n)= x(n)*z(n) 。解： n0時(shí)，x(m)與z(n-m)沒有重疊，得y(n)=0。 0n4時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘！54例：卷積和計(jì)算 4n6時(shí)， 6n10 時(shí)， n10時(shí)，x(m)與z(n-m)沒有重疊，得y(n)= 0。 55 例： 已知x(n)=R4(

15、n), h(n)=R4(n), 求y(n)=x(n)*h(n)。 解計(jì)算卷積的基本運(yùn)算是翻轉(zhuǎn)、移位、相乘和相加。計(jì)算方法：圖解法、解析法線性時(shí)不變系統(tǒng)的I/O求解56例1.3線性卷積首先將h(n)用h(m)表示，并將波形翻轉(zhuǎn)，得到h(m)，然后將h(m)移位n， 得到h(nm)，n0 , 序列右移；n0，序列左移。如n=1，得到h(1-m)，接著將h(m)和h(nm)相乘后，再相加, 得到y(tǒng)(n)的一個(gè)值。對(duì)所有的n重復(fù)這種計(jì)算, 最后得到卷積結(jié)果，如圖1.3.2(f)所示, y(n)表達(dá)式為y(n)=1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 圖解法57表1.3圖解法（列表法） 58 例：設(shè)x(

16、n)=anu (n) ，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。 解 關(guān)鍵：根據(jù)求和號(hào)內(nèi)的兩個(gè)信號(hào)乘積的非零值區(qū)間確定求和的上、下限。因?yàn)閚m時(shí)，u(n-m)才能取非零值； 0m3時(shí)，R4(m)取非零值；所以，求和區(qū)間中m要同時(shí)滿足下面兩式： mn 0m3這樣求和限與n有關(guān)系，必須將n進(jìn)行分段然后計(jì)算。解析法59nn時(shí)，h(n)=0因而 n0時(shí)刻的輸出 可見，y(n0)只與mn0時(shí)的x(m)有關(guān)，因而是因果系統(tǒng)。62因果條件證明證明 利用反證法證明必要條件假設(shè)因果系統(tǒng)，n0時(shí)h(n) 0，則 在所設(shè)條件下，第二個(gè)求和式中至少有一項(xiàng)不為零，y(n)將至少和mn時(shí)的某一個(gè)x(n)值有

17、關(guān)，這不符合因果性，假設(shè)不成立。63例：判斷因果系統(tǒng)例： 判斷差分系統(tǒng)的因果性。(1) 前向差分系統(tǒng): y(n)= x(n+1)- x(n);(2) 后向差分系統(tǒng): y(n)= x(n)- x(n-1) 。解 因?yàn)榍跋虿罘窒到y(tǒng)的y(n)決定于x(n+1)，故系統(tǒng)為非因果的。而后向差分系統(tǒng)定義為y(n)= x(n)- x(n-1)，顯然是因果的。64穩(wěn)定系統(tǒng)一般穩(wěn)定系統(tǒng)定義 系統(tǒng)的每個(gè)有界輸入，對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的輸出都有界。如果輸入滿足|x(n)|M+(M為正常數(shù))，有輸出|y(n)|P+ (P為正常數(shù)) 。 判斷系統(tǒng)不穩(wěn)定 只要找出一個(gè)特別的有界輸入，對(duì)應(yīng)的輸出是無界的，則該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。 判斷系

18、統(tǒng)穩(wěn)定 必須證明所有有界輸入，其輸出都是有界的。65穩(wěn)定性的充分必要條件 線性時(shí)不變系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的充要條件是 其單位脈沖響應(yīng)絕對(duì)可和，即證明 充分條件若式成立，對(duì)于所有n都有|x(n)|M，得 即輸出y(n)有界，系統(tǒng)穩(wěn)定。 66穩(wěn)定條件證明證明 利用反證法證明必要條件假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，但單位脈沖響應(yīng)不絕對(duì)可和 定義一個(gè)有界輸入計(jì)算輸出，令n=0則有即y(0)無界，系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此假設(shè)不成立。 67例：判斷穩(wěn)定系統(tǒng)例： 判斷累加器系統(tǒng)的穩(wěn)定性解 考慮有界輸入x(n)= u(n)，累加器的輸出為 雖然n為有限值時(shí)，系統(tǒng)輸出也為有限值，但對(duì)于所有n值(包括+)不存在有限值P，使得(n+1)P+，故系

19、統(tǒng)輸出無界。系統(tǒng)不穩(wěn)定 68例：判斷因果穩(wěn)定系統(tǒng)例： 已知線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)解 因?yàn)閚0時(shí)，u(-n-1)= 1，所以h(n) 0，故系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。 所以|a|1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，|a|1時(shí)不穩(wěn)定。 式中a為實(shí)常數(shù)，討論其因果性和穩(wěn)定性。 收斂序列：如|a|1時(shí)，h(n)模值隨n加大而減小發(fā)散序列：如|a|1時(shí)，h(n)模值隨n加大而加大因?yàn)?.4 時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法 線性常系數(shù)差分方程描述一個(gè)系統(tǒng)可以不管系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)如何，將系統(tǒng)看成一個(gè)黑盒子，只描述系統(tǒng)的輸出與輸入之間的關(guān)系，這種描述法被稱為輸入輸出描述法。微分方程 模擬系統(tǒng)差分方程 時(shí)域離散系統(tǒng)狀態(tài)變量描述法線性時(shí)不變

20、系統(tǒng) 線性常系數(shù)差分方程Tx(n)y(n)時(shí)域離散系統(tǒng)用方程來描述兩種不同的描述方法返回 1.4.1 線性常系數(shù)差分方程一個(gè)N階線性常系數(shù)差分方程用下式描述：或 ， a0=1式中，x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出，系數(shù)ai和bi均為常系數(shù)，且x(n-i)和y(n-i)只有次冪，也沒有相互交叉的線性相乘項(xiàng)，故稱為線性常系數(shù)差分方程。1.4.2 線性常系數(shù)差分方程的求解已知系統(tǒng)的輸入信號(hào)和描述系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程，求解系統(tǒng)的輸出一般有三種方法：經(jīng)典解法: 和求解微分方程解法類似，齊次解特解遞推解法：由初始值和輸入值遞推解出系統(tǒng)以后輸出值Z變換解法：適合計(jì)算機(jī)求解遞推解法： 觀察上式，

21、如果已知輸入信號(hào)x(n)，求n時(shí)刻的輸出，需要知道輸入信號(hào)x(n)，以及n時(shí)刻以前的N個(gè)輸出信號(hào)值：y(n-1)，y(n-2)，y(n-3)，y(n-N)。這N個(gè)輸出信號(hào)值就構(gòu)成初始條件。可以看到，上式是一個(gè)遞推方程。如果已知輸入信號(hào)x(n)和N個(gè)初始條件，就可以求出n個(gè)時(shí)刻的輸出；如果將這公式中的n用n+1代替，就可求出n+1時(shí)刻的輸出，依此類推，可求出各個(gè)時(shí)刻的輸出。線性常系數(shù)差分方程的遞推解法73【例2.14】設(shè)系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=(n)，求輸出序列y(n)。解：該系統(tǒng)差分方程是一階差分方程，需要一個(gè)初始條件。遞推法求差分方程 （1） 設(shè)

22、初始條件:（2） 設(shè)初始條件: 741.5 模擬信號(hào)數(shù)字處理方法75 1.5.1 采樣定理及A/D變換式中(t)是單位沖激信號(hào)，在上式中只有當(dāng)t=nT時(shí)，才可能有非零值，因此寫成下式：76對(duì) 進(jìn)行傅里葉變換，得到 式中，s=2/T，稱為采樣角頻率，單位是rad/s77理想采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜沿頻率軸，每間隔采樣角頻率s重復(fù)出現(xiàn)一次，或者說理想采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜以s為周期，進(jìn)行周期性延拓而成的。78 圖1.5.3 采樣信號(hào)的頻譜 79 采樣恢復(fù)80 采樣恢復(fù) 圖1.5.4 采樣恢復(fù) 81 設(shè)xa(t)是帶限信號(hào)，最高頻率為c，其頻譜Xa(j)如圖1.5.3(a)所示。p

23、(t)的頻譜P(j)如圖1.5.3(b)所示，那么按照（1.5.5）式， 的頻譜 如圖 1.5.3(c)所示，圖中原模擬信號(hào)的頻譜稱為基帶頻譜。如果滿足s2c，或者用頻率表示該式，即滿足Fs2fc，基帶譜與其它周期延拓形成的譜不重疊，如圖1.5.3(c)所示情況，可以用理想低通濾波器G(j)從采樣信號(hào)中不失真地提取原模擬信號(hào)，如圖1.5.4所示。但如果選擇采樣頻率太低，或者說信號(hào)最高截止頻率過高，使Fs2fc, Xa(j)按照采樣頻率Fs周期延拓時(shí)，形成頻譜混疊現(xiàn)象，用圖1.5.3(d)表示。這種情況下，再用圖 1.5.4 所示的理想低通濾波器對(duì)Xa(t)進(jìn)行濾波，得到的是失真了的模擬信號(hào)。8

24、2折疊頻率Fs/2 這里需要說明的是，一般頻譜函數(shù)是復(fù)函數(shù)，相加應(yīng)是復(fù)數(shù)相加，圖1.5.3和圖1.5.4僅是示意圖。一般稱Fs/2為折疊頻率，只有當(dāng)信號(hào)最高頻率不超過Fs/2時(shí)，才不會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，否則超過Fs/2的頻譜會(huì)折疊回來而形成混疊現(xiàn)象，因此頻率混疊在Fs/2附近最嚴(yán)重。 83采樣定理（1） 對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣形成采樣信號(hào)，采樣信號(hào)的頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻譜以采樣頻率s為周期進(jìn)行周期性的延拓形成的，用公式（1.5.5）表示。（2） 設(shè)連續(xù)信號(hào)xa(t)屬帶限信號(hào)，最高截止頻率為c，如果采樣角頻率s2c，那么讓采樣信號(hào)通過一個(gè)增益為T、 截止頻率為s/2的理想低通濾波器，可以唯一

25、地恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)xa(t)。否則, s/T區(qū)域有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時(shí)域上，就是恢復(fù)出的模擬信號(hào)是臺(tái)階形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通濾波器，濾除多余的高頻分量，對(duì)時(shí)間波形起平滑作用，這也就是在圖1.5.1模擬信號(hào)數(shù)字處理框中，最后加平滑濾波器的原因。雖然這種零階保持器恢復(fù)的模擬信號(hào)有些失真，但簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)，是經(jīng)常使用的方法。實(shí)際中，將解碼器與零階保持器集成在一起，就是工程上的D/AC器件。 98圖 1.5.10零階保持器的頻率特性 991.6 Matlab實(shí)現(xiàn)常用序列的Matlab實(shí)現(xiàn)序列運(yùn)算的Matlab實(shí)現(xiàn)Matlab求解離散系統(tǒng)的差分方程單位脈沖序列單位階躍序列矩形序列實(shí)指數(shù)

26、序列 正弦序列 復(fù)指數(shù)序列 翻轉(zhuǎn)序列的能量卷積和100單位脈沖序列(n-1) n = -3:3; % 生成位置向量x = (n-1) = 0; % 生成單個(gè)脈沖序列stem(n,x); axis(-3,3,0,1.5); % 標(biāo)示坐標(biāo) 101單位階躍序列 u (n+1) n = -3:3; % 生成位置向量x = (n+1) = 0; % 生成階躍序列stem(n,x);axis(-3,3,0,1.5); 102矩形序列生成函數(shù)function x,n = rectseq(n0,n1,n2,N)% 單位矩形序列生成函數(shù)% 調(diào)用方式 x,n = rectseq(n0,n1,n2,N)n = n0

27、:n2; % 生成位置向量x = (n-n1) = 0&(n1+N-1)-n) = 0; % 生成矩形脈沖序列103矩形序列 x,n = rectseq(-3,-1,4,5);stem(n,x);axis(-3,5,0,1.5); 104實(shí)指數(shù)序列 n = 0:10; % 生成位置向量x = (0.6).n; % 生成實(shí)指數(shù)序列stem(n,x); axis(0,10,0,1.5);105正弦序列 3sin(0.1n+/3) n = 0:1:20; % 生成位置向量x = 3*sin(0.1*pi*n+pi/3); % 生成正弦序列stem(n,x); axis(0,20,-4,4); 106

28、復(fù)指數(shù)序列 n = -2:10; x = exp(0.2-0.5j)*n); % 復(fù)指數(shù)序列subplot(1,2,1), stem(n,real(x); %用空心圓畫點(diǎn)line(-5,10, 0,0); % 畫橫坐標(biāo)subplot(1,2,2), stem(n,imag(x),filled); %用實(shí)心圓畫點(diǎn)% line(-5,10, 0,0)107翻轉(zhuǎn): 調(diào)用fliplrn = -3:3; %生成一個(gè)序列 x = 0,0,1,0.5,0.25,0.125,0;stem(n,x);x = fliplr(x); %x排列次序左右翻轉(zhuǎn) n = -fliplr(n); %向量n對(duì)n= 0翻轉(zhuǎn) st

29、em(n,x); 108序列的能量 conj求共軛復(fù)數(shù)sum求總和 E = sum(x.*conj(x); abs求幅值sum求總和 E = sum(abs(x).2); 109卷積和：調(diào)用conv x = 3,-3,7,0,-1,5,2; % 序列x的非零區(qū)間-4n2h = 2,3,0,-5,2,1; % 序列x的非零區(qū)間-1n4% 調(diào)用conv計(jì)算卷積和 y = conv(x,h);運(yùn)行結(jié)果：無位置信息y = 6 3 5 6 19 -31 30 18 -27 -1 9 2110卷積和函數(shù)：convextd.m function y,ny = convextd(x,nx,h,nh)% 序列y

30、為序列x和序列h的卷積% ny，nx，nh 分別為序列y，x和h的位置向量% 調(diào)用方式 y,ny = convextd(x,nx,h,nh)ny1 = nx(1)+nh(1); % 計(jì)算卷積后的起點(diǎn)位置ny_end = nx(end) + nh(end); % 計(jì)算卷積后的終點(diǎn)位置y = conv(x,h); % 計(jì)算卷積和序列的數(shù)值ny = ny1:ny_end; % 計(jì)算卷積和序列的位置向量111卷積和：包含位置向量 x = 3,-3,7,0,-1,5,2; nx = -4:2;% 給定輸入序列h = 2,3,0,-5,2,1; nh = -1:4; % 給定脈沖響應(yīng)序列y,ny = co

31、nvextd(x,nx,h,nh); % 帶位置序列的卷積結(jié)果 運(yùn)行結(jié)果：有位置信息y = 6 3 5 6 19 -31 30 18 -27 -1 9 2ny = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6112解差分方程 ：調(diào)用filter 函數(shù)的調(diào)用方式為 y = filter(b,a,x); 輸入?yún)?shù)b、 a為差分方程的系數(shù)，b=b0， b1， ， bMa=a0， a1， ， aN 輸入?yún)?shù)x是輸入序列 求得的輸出序列y和輸入x的長(zhǎng)度一樣 系數(shù)a0必須不為零。113例：解差分方程例1.15 線性常系數(shù)差分方程y(n)-y(n-1)+0.75y(n-2)= x(n)，求輸入x

32、(n)= (n)時(shí)系統(tǒng)的輸出序列。(1) 求單位脈沖響應(yīng)h(n) b= 1; a= 1,-1,0.75; x= impseq(-10,0,50); % 生成單位脈沖序列 h= filter(b,a,x); % 計(jì)算單位脈沖響應(yīng) n= -10:50;stem(n,h); % 脈沖響應(yīng)曲線 axis(-10,50,-1,1.5) % 標(biāo)出坐標(biāo) title(Impulse Response); xlabel(n); ylabel(h(n);114例：判斷系統(tǒng)穩(wěn)定 (2) 求得單位脈沖響應(yīng)的和sum(abs(h); % 計(jì)算單位脈沖響應(yīng)的和程序的運(yùn)行結(jié)果為 ans = 6.1718絕對(duì)可和，說明系統(tǒng)是

33、穩(wěn)定的。 第2章 時(shí)域離散信號(hào) 和系統(tǒng)的頻域分析116本章主要內(nèi)容序列的Z變換Z變換的主要性質(zhì)序列的傅里葉變換傅里葉變換的主要性質(zhì)利用Z變換解差分方程利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1172.1 引言信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法:時(shí)域分析變換域分析（本課介紹頻域分析）連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 信號(hào)用時(shí)間 t的函數(shù)表示系統(tǒng)用微分方程描述離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 信號(hào)用序列表示系統(tǒng)用差分方程描述118時(shí)域與頻域分析 傅里葉變換 時(shí)間域 頻率域(復(fù)頻域 ) 拉普拉斯變換 推廣離散時(shí)間傅里葉變換 時(shí)間域 頻率域(復(fù)頻域 ) Z變換推廣連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)1192.2 序列的傅里葉變換 序列傅里葉變換的定

34、義序列傅里葉變換的性質(zhì) 周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)表示周期序列的傅里葉變換 1202.2.1時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的定義（2.2.1） FTx(n)存在的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對(duì)可和（2.2.2） （2.2.3） n 為離散域， 為連續(xù)域X(ej)的傅里葉反變換為序列x(n)的傅里葉變換定義為:121【例2.2.1】設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里葉變換。解 （2.2.4） 當(dāng)N=4時(shí)，其幅度與相位隨頻率的變化曲線如圖2.2.1所示。 122圖2.2.1R4(n)的幅度與相位曲線 1232.2.2時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)1 FT的周期性(2.2.5) 觀察上式，得到傅里葉變換是

35、頻率的周期函數(shù)，周期是2。由FT的周期性進(jìn)一步分析得到，在=0和=2M附近的頻譜分布應(yīng)是相同的（M取整數(shù)），在=0，2, 4, 點(diǎn)上表示x(n)信號(hào)的直流分量；離開這些點(diǎn)愈遠(yuǎn)，其頻率愈高，但又是以2為周期，那么最高的頻率應(yīng)是=。一般只分析【】之間或02范圍的FT就夠了。1242 線性(2.2.6) 式中, a，b是常數(shù)。 設(shè) X1(ej)=FTx1(n), X2(ej)=FTx2(n), 那么1253時(shí)移與頻移設(shè)X(ej)=FTx(n), 那么(2.2.7) (2.2.8) FTx(n-n0)=e-jwn0X(ejw)1264 FT的對(duì)稱性共軛對(duì)稱序列共軛反對(duì)稱序列共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列的表

36、示頻域函數(shù)共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列的表示實(shí)因果序列h(n)的對(duì)稱性127 設(shè)序列xe(n)滿足下式：（2.2.9） 則稱xe(n)為共軛對(duì)稱序列。為研究共軛對(duì)稱序列具有什么性質(zhì)，將xe(n)用其實(shí)部與虛部表示： 將上式兩邊n用n代替，并取共軛，得到：對(duì)比上面兩公式，因左邊相等，因此得到： （2.2.10） （2.2.11） 兩式表明共軛對(duì)稱序列其實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。共軛對(duì)稱序列128滿足下式的序列稱為共軛反對(duì)稱序列： （2.2.12） 將xo(n)表示成實(shí)部與虛部，如下式：可以得到：（2.2.13） （2.2.14） 即共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。 共軛反對(duì)稱序列1

37、29【例2.2.2】試分析x(n)=ejm的對(duì)稱性。 解:因?yàn)閤*(n)=ejn=x(n)滿足(2.2.9)式，所以x(n)是共軛對(duì)稱序列，如展成實(shí)部與虛部，則得到： x(n)=cosn+j sinn上式表明，共軛對(duì)稱序列的實(shí)部確實(shí)是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。130一般序列可用其共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱分量之和表示，即 （2.2.15） 將（2.2.15）式中的n用n代替，再取共軛, 得到：（2.2.16） 利用（2.2.15）和（2.2.16）式，得到：（2.2.17） （2.2.18） 利用上面兩式，可以用x(n)分別求出其xe(n)和xo(n)。 任意序列的共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱分量131對(duì)于頻域

38、函數(shù)X(ej)，也有和上面類似的概念和結(jié)論：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) （2.2.19）Xe(ej)為共軛對(duì)稱部分（函數(shù)），Xo(ej)共軛反對(duì)稱部分（函數(shù)）它們滿足：（2.2.20）（2.2.21）（2.2.22）（2.2.23）同樣有下面公式成立：+Xe(ej)、Xo(ej)的表示， 連續(xù)域132 (1) 將序列x(n)分成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n)，即x(n)=xr(n)+jxi(n)將上式進(jìn)行傅里葉變換，得到: X(ejw)= Xe(ejw)+ Xo(ejw) 式中，xr(n)和xi(n)都是實(shí)數(shù)序列。Xe(ej) 具有共軛對(duì)稱性，它的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)；Xo(

39、ej) 具有共軛反對(duì)稱性質(zhì)，它的實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。 最后得到結(jié)論：序列分成實(shí)部與虛部?jī)刹糠?，?shí)部對(duì)應(yīng)的傅里葉變換具有共軛對(duì)稱性，虛部和j一起對(duì)應(yīng)的傅里葉變換具有共軛反對(duì)稱性。 式中FT的共軛對(duì)成性133(2) 將序列分成共軛對(duì)稱部分xe(n)和共軛反對(duì)稱部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.24)將（2.2.17）和（2.2.18）式重寫如下：因此（2.2.24）式的FT為（2.2.25） 將上面兩式分別進(jìn)行傅里葉變換，得到：134 因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，其FT只有共軛對(duì)稱部分He(ej)，共軛反對(duì)稱部分為零。因此實(shí)序列的FT是共軛對(duì)稱函數(shù), 其實(shí)部是偶函數(shù)，

40、虛部是奇函數(shù)，用公式表示為顯然， 其模 ： 偶函數(shù)相位函數(shù)： 奇函數(shù)這和實(shí)模擬信號(hào)的FT有同樣的結(jié)論。實(shí)因果序列h(n)的頻譜的對(duì)稱性135按照（2.2.17）和（2.2.18）式得到：因?yàn)閔(n)是實(shí)因果序列，he(n)和ho(n)可用下式表示： （2.2.26） （2.2.27） 實(shí)因果序列h(n)的對(duì)稱性136實(shí)因果序列h(n)可以分別用he(n)和ho(n)表示為 （2.2.28） （2.2.29） 式中 （2.2.30） 因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，上面公式中he(n)是偶函數(shù)，ho(n)是奇函數(shù)。按照（2.2.28）式，實(shí)因果序列完全由其偶序列恢復(fù)，但按照（2.2.29）式，ho(n)中

41、缺少n=0點(diǎn)h(n)的信息。因此由ho(n)恢復(fù)h(n)時(shí)，要補(bǔ)充一點(diǎn)h(h)(n)信息。 實(shí)因果序列h(n)的對(duì)稱性137實(shí)因果序列h(n)的 FT對(duì)稱性總結(jié)共軛對(duì)稱序列、函數(shù)共軛反對(duì)稱序列、函數(shù)一般序列與共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列的關(guān)系實(shí)因果序列h(n)（2.2.26） （2.2.27） 138【例2.2.3】x(n)=anu(n), 0a1。求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。解x(n)=xe(n)+xo(n)按（2.2.26）式，得到：139按（2.2.27）式，得到： x(n) 、xe(n)和xo(n)波形如圖2.2.3所示。 圖2.2.3例2.2.3圖140 5 時(shí)域卷積定理設(shè)

42、y(n)=x(n)*h(n)則 Y(ej)=X(ej)H(ej) （2.2.31）證明令k=nm，則兩序列卷積的FT服從相乘的關(guān)系（時(shí)域卷積，頻域相乘）1416 頻域卷積定理設(shè)y(n)=x(n)h(n) 則(2.2.32) 證明(2.2.33) 交換積分與求和的次序：(2.2.34) 該定理表明，在時(shí)域兩序列相乘，頻域時(shí)服從卷積關(guān)系。 1427 帕斯維爾（Parseval）定理（2.2.35） 證明 帕斯維爾定理表明了信號(hào)時(shí)域的能量與頻域的能量關(guān)系。143表2.2.1序列傅里葉變換的性質(zhì)定理 1442.3 周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)表示及其FT 周期序列定義：周期序列不是絕對(duì)可和的，狹義的FT不存在

43、周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)表示ak: 傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)基頻序列: e1(n)k次諧波序列: ek(n)1452.3.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)只有N個(gè)獨(dú)立諧波分量: 且因?yàn)閺?fù)指數(shù)序列是k的周期函數(shù)所以，周期序列: 只取k0到N-1的N個(gè)獨(dú)立諧波分量足以表示原信號(hào) 146(2.3.6) (2.3.7) 周期序列離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換 周期序列離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)147【例2.3.1】設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進(jìn)行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，周期為8，求DFS。解按照（2.3.6）式, 有其幅度特性如圖2.3.1(b)所

44、示。 148圖2.3.1例2.3.1圖 2.3.2 周期序列的傅里葉變換 在模擬系統(tǒng)中， 的傅里葉變換是在 處的一個(gè)沖激，強(qiáng)度為2，即 對(duì)于時(shí)域離散系統(tǒng)中的復(fù)指數(shù)序列 ，仍假設(shè)它的傅里葉變換是在 處的一個(gè)沖激，強(qiáng)度為2，考慮到時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的周期性，因此 的傅里葉變換應(yīng)寫為：假設(shè) 的周期為N，將它用傅里葉級(jí)數(shù)來表示，即上式的求和號(hào)中的每一項(xiàng)都是復(fù)指數(shù)序列，其中第K項(xiàng)即為第K次諧波 的傅里葉變換，根據(jù)其周期性能夠表示為：周期序列 由N次諧波組成，因此它的傅里葉變換可以表示成式中，k=0,1,2,N-1, r=-3,-2,-1,0,1,2, 以N為周期，而r變化時(shí)，函數(shù)變化2r，因此如果讓

45、k在(-,)變化，上式可以簡(jiǎn)化為上式就是一般周期序列的傅里葉變換表達(dá)式。一般周期序列的傅里葉變換表達(dá)式152例2.1：令 ， 為有理數(shù)，求其傅里葉變換。解: 將 用歐拉公式展開為由得余弦序列的傅里葉變換為上式表明，余弦信號(hào)的傅里葉變換是在 處的沖激函數(shù)，強(qiáng)度為，同時(shí)以2為周期進(jìn)行周期性延拓，如下圖所示。對(duì)于正弦序列 ， 為有理數(shù)，它的傅里葉變換為2.4 的FT與 的FT之間的關(guān)系155對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變換得到理想采樣信號(hào)： 2.4 的FT與 的FT之間的關(guān)系156 對(duì)比時(shí)域離散信號(hào)x(n)的傅里葉變換：得到：并且在數(shù)值上 ，上式也可以表示成上面三個(gè)公式均表示時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換和模擬信號(hào)傅

46、里葉變換之間的關(guān)系157 時(shí)域離散信號(hào)的頻譜也是由模擬信號(hào)的頻譜周期性延拓形成的，延拓周期是 ，因此由采樣得到x(n)也要滿足采樣定理，否則也會(huì)產(chǎn)生頻域混疊現(xiàn)象，頻率混疊在 附近最嚴(yán)重，在數(shù)字域 ，則是在附近最嚴(yán)重。模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系：第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1592.5 序列的Z變換Z變換及其收斂域的定義幾種序列的Z變換及其收斂域逆Z變換Z變換的性質(zhì)和定理利用Z變換求解差分方程利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻響特性1602. 5.1 Z變換及其收斂域的定義 序列x(n)的Z變換定義雙邊Z變換單邊Z變換 因果序列的Z變換:因果序列的單邊Z變換與雙邊Z變換相同 Z平面: Z

47、變換定義式中z所在的復(fù)平面z是一個(gè)連續(xù)復(fù)變量，具有實(shí)部和虛部 變量z的極坐標(biāo)形式 |z|= 1為單位圓： 161Z變換的收斂域根據(jù)級(jí)數(shù)理論，式(2.1)收斂的充分必要條件是滿足絕對(duì)可和條件，即收斂域: 對(duì)于給定的任意序列x(n)，使其Z變換收斂的所有z值的集合組成的區(qū)域。 根據(jù)羅朗級(jí)數(shù)性質(zhì)，收斂域一般是某個(gè)環(huán)域 收斂半徑Rx-可以小到0，Rx+可以大到收斂域以原點(diǎn)為中心，Rx-和Rx+為半徑的環(huán)域 162 序列Z變換與序列傅里葉變換關(guān)系 單位園上的Z變換就是序列的傅里葉變換，但 z的收斂域必須包含單位圓 。 對(duì)比傅里葉變換定義式： 得到：163例: 求序列的Z變換 例2.5.3 求序列 的Z變

48、換。 解：序列x(n)是因果序列，根據(jù)Z變換的定義 分析收斂性：X(z)是無窮項(xiàng)冪級(jí)數(shù)。X(z)可用封閉形式，即解析函數(shù)形式表示為 當(dāng)|z|a時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)|z|a|時(shí)級(jí)數(shù)收斂。164例: 求序列的Z變換 例2.5.4 求序列 的Z變換。 解：序列x(n)是一個(gè)左序列, X(z)存在要求 1652.5.2 序列特性對(duì)收斂域的影響結(jié)論：Z變換相同，收斂域不同，對(duì)應(yīng)的序列也不同 。序列的X(z)與其收斂域是一個(gè)不可分離的整體，求Z變換就要包含其收斂域。對(duì)比例2.5.3和例2.5.4結(jié)果：166有限長(zhǎng)序列 有限長(zhǎng)序列只在有限區(qū)間n1nn2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零 ： Z變換 收斂域

49、與n1、n2取值情況有關(guān)： 167例：求有限長(zhǎng)序列的Z變換例2.5.2 求序列 的Z變換及收斂域。 討論： X(z)有一個(gè)z= 1的極點(diǎn)，但也有一個(gè)z= 1的零點(diǎn)，所以零極點(diǎn)對(duì)消，X(z)在單位圓上收斂 。 收斂域?yàn)?|z|+。 解：根據(jù)Z變換的定義 168右邊序列 右邊序列只在有限區(qū)間nn1 內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零 Z變換 上式中第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，收斂域?yàn)?，第二項(xiàng)為因果序列，收斂域?yàn)?，共有收斂域?yàn)?。169左邊序列 左邊序列只在有限區(qū)間nn2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零 Z變換 如果 ，z=0點(diǎn)收斂，但z=點(diǎn)不收斂，收斂域?yàn)?如果 ，收斂域?yàn)?70雙邊

50、序列 雙邊序列指n從-到+都具有非零的有限值，可看成左邊序列和右邊序列之和 Z變換 討論：X1(z) 收斂域?yàn)閨z|Rx+；X2(z)收斂域?yàn)镽x-|z|。雙邊序列Z變換的收斂域是二者的公共部分。 如果滿足Rx-Rx+ ，則X(z)的收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域，即Rx-|z|Rx+ ；如果滿足Rx-Rx+，則X(z)無收斂域。 171例：求雙邊序列的Z變換例2.5.5 己知序列 ，a為實(shí)數(shù)，求其Z變換及其收斂域。 解：上式第一項(xiàng)收斂域?yàn)椋?上式第一項(xiàng)收斂域?yàn)椋喝绻绻?無公共收斂域， 不存在當(dāng) 時(shí)，x(n) 和 的圖形如右圖所示1722.5.3 逆Z變換 逆Z變換: 由X(z)及其收斂域求序列x(n)的

51、變換求逆Z變換的方法:圍線積分法(留數(shù)定理)部分分式展開法冪級(jí)數(shù)法(長(zhǎng)除法)173序列的Z變換逆Z變換用留數(shù)定理求逆Z變換c是X(z)收斂域中一條包圍原點(diǎn)的逆時(shí)針的閉合曲線用F(z)表示被積函數(shù)：F(z)=X(z)zn-1圖2.5.3圍線積分路徑 174如果F(z)在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用zk表示，則根據(jù)留數(shù)定理有1、如果zk是單階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有2、如果zk是N階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有式中, ResF(z), zk表示被積函數(shù)F(z)在極點(diǎn)z=zk的留數(shù)，逆Z變換是圍線c內(nèi)所有的極點(diǎn)留數(shù)之和。逆Z變換對(duì)于N階極點(diǎn)，需要求N1次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點(diǎn)，而c外沒有多階極點(diǎn)，則可

52、以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點(diǎn)留數(shù)之和。175如果F(z)在z平面上有N個(gè)極點(diǎn)，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c將z平面上的極點(diǎn)分成兩部分：一部分c是內(nèi)極點(diǎn)，設(shè)有N1個(gè)極點(diǎn)，用z1k表示；另一部分是c外極點(diǎn)，有N2個(gè)，用z2k表示。N=N1+N2。根據(jù)留數(shù)輔助定理，下式成立：成立的條件: F(z)的分母階次應(yīng)比分子階次高二階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z), P(z)和Q(z)分別是M與N階多項(xiàng)式。成立的條件是 NMn+12因此要求na, 求其逆Z變換x(n)。解分析F(z)的極點(diǎn)： 1、n0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z1=a； 2、n0時(shí)， F(z)在c內(nèi)只有2個(gè)極點(diǎn)：z1=a , z

53、2=0是一個(gè)n階極點(diǎn)。 所以，應(yīng)當(dāng)分段計(jì)算x(n) n0 時(shí)，177 n0時(shí)，z=0是n階極點(diǎn)，不易求留數(shù)。 采用留數(shù)輔助定理求解，先檢查nN-M-1是否滿足。 可以采用留數(shù)輔助定理求解，改求圓外極點(diǎn)留數(shù)，但對(duì)于F(z)，該例題中圓外沒有極點(diǎn)。故na，根據(jù)前面分析的序列特性對(duì)收斂域的影響知道，x(n)一定是因果序列，這樣n|a1|，對(duì)應(yīng)的 x(n) 是因果序列（2） |z|a|，對(duì)應(yīng)的 x(n)是左序列（3）|a|z|a1|: 這種情況的原序列是因果的右序列，無須求n0時(shí)的x(n)。當(dāng)n0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a-1，因此最后表示成：x(n)=(ana-n)u(n)。 18

54、0（2） 收斂域?yàn)閨z|a|:這種情況原序列是左序列，無須計(jì)算n0情況。實(shí)際上，當(dāng)n0時(shí)，圍線積分c內(nèi)沒有極點(diǎn)，因此x(n)=0。n0時(shí)，c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0，且是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和。n0時(shí), 最后將x(n)表示成封閉式：x(n)=(a-nan)u(n1)181（3） 收斂域?yàn)閨a|z|a1|:這種情況對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n0和n0兩種情況分別求x(n)。n0時(shí)，c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z=a, x(n)=ResF(z), a=ann0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)有2個(gè)，其中z=0是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有z=a1， 因此x(n)=ResF(z), a1=

55、an最后將x(n)表示為 即 x(n)=a|n|182部分分式展開法 對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)的X(z)，常用部分分式展開法求逆Z變換。方法：將有理分式X(z) ，展開成簡(jiǎn)單常用的部分分式之和，求各簡(jiǎn)單分式的逆Z變換，再相加 得到x(n)。假設(shè) 有N個(gè)一階極點(diǎn)，可展成如下部分分式:183部分分式展開法 觀察上式， /z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)等于系數(shù) ，在極點(diǎn) 的留數(shù)就是系數(shù) 。求出 系數(shù)后，查表2.5.1可求得序列x(n)184185最后得到 的原序列為：1862.5.4 Z變換的性質(zhì)和定理 線性：滿足疊加原理 Zax(n)+by(n) = aX(z)+bY(z)， R-|z|R+ (2.20) 例2.

56、12 求序列x(n) = u(n)- u(n-3)的Z變換。由于出現(xiàn)零極點(diǎn)抵消，收斂域增大了。由于x(n)是n0的有限長(zhǎng)序列，收斂域是除|z|= 0之外的全部z平面。 187Z變換性質(zhì)序列的移位：證明乘以指數(shù)序列 ：證明188Z變換性質(zhì)序列的線性加權(quán)（乘以n的ZT） ：證明 5復(fù)共軛序列的ZT設(shè) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+則ZTx*(n)=X*(z*)Rx|z|Rx+ 189Z變換性質(zhì)初值定理 初值定理 ：若x(n)是因果序列，即x(n)= 0，n0，則證明：x(n)是因果序列，有 顯然 若x(n)是逆因果序列，即x(n)= 0，n0，有 190Z變換性質(zhì)終值定理 終值定理 ：若x

57、(n)是因果序列，且X(z)的全部極點(diǎn)，除在z= 1處可以有一階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則 證明：由移位性質(zhì)可得 x(n)是因果序列，則 有 191Z變換性質(zhì)時(shí)域卷積定理 ：W(z)= Zx(n)*y(n)= X(z)Y(z)， R-|z|R+ 證明交換求和次序，并代入m= n-k得192【例2.5.9】已知網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，|a|1, 網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列y(n)。解y(n)=h(n)*x(n)（1）直接求解線性卷積193（2） Z變換法由收斂域判定y(n)=0n0n0時(shí)，將y(n)表示為：1949 復(fù)卷積定理如果ZTx(n)=X(z

58、)Rx|z|Rx+ ZTy(n)=Y(z)Ry|z|Ry+w(n)=x(n)y(n)則（2.5.24） W(z)的收斂域?yàn)镽xRy|z|Rx+Ry+ (2.5.25)（2.5.24）式中平面上，被積函數(shù)的收斂域?yàn)閆變換性質(zhì)195證明 由X(z)的收斂域和Y(z)的收斂域得到：因此 196【例2.5.10】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|, 若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)，0a1。 解 W(z)的收斂域?yàn)閨a|z|；被積函數(shù)平面上的收斂域?yàn)閙ax(|a|, 0)|min(|a1|, |z|)，平面上極點(diǎn)：a、a1，c內(nèi)極點(diǎn)：z=a。 令則：19710 帕斯維爾（

59、Parseval）定理設(shè)X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+RxRy1那么（2.5.27） 平面上，c所在的收斂域?yàn)槔脧?fù)卷積定理可以證明上面的重要的帕斯維爾定理Z變換性質(zhì)1982.5.5 利用Z變換求解差分方程 N階線性常系數(shù)差分方程 x(n)是系統(tǒng)的輸入序列y(n)是系統(tǒng)的輸出序列ak和bk均為常數(shù)y(nk)和x(nk)項(xiàng)只有一次冪，也沒有相互交叉相乘項(xiàng)，（2.5.30）a0=1199N階線性常系數(shù)差分方程的求解時(shí)域求解（遞推解） Z變換移位性質(zhì) Z變換求解 差分方程代數(shù)方程Z變換式輸出序列逆Z變換解方程2001求穩(wěn)態(tài)解如果輸入序列x(n)是在n=0

60、以前時(shí)加上的，n時(shí)刻的y(n)是穩(wěn)態(tài)解，對(duì)（2.5.30）式求Z變換，得到：式中： X(z)2012 求暫態(tài)解對(duì)于N階差分方程，求暫態(tài)解必須已知N個(gè)初始條件。設(shè)x(n)是因果序列，即x(n)=0, n0，已知初始條件:y(1), y(2), , y(N)。設(shè) （2.5.33） -(n-m)（2.5.30）202（2.5.34） 零狀態(tài)解:上式第一部分(與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān))零輸入解:上式第二部分(與輸入信號(hào)無關(guān))求零狀態(tài)解時(shí)， 可用雙邊Z變換求解也可用單邊Z變換求解，求零輸入解卻必須考慮初始條件，用單邊Z變換求解。203Z變換求差分方程 例2.5.11 已知一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的差分方程y(n)=