新三角形四心向量形式的結(jié)論及證明附練習(xí)答案(終審稿)

1、（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心新三角形四心向量形式的結(jié)論及證明附練習(xí)答案公司內(nèi)部檔案編碼：OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用在學(xué)習(xí)了平面向量一章的基礎(chǔ)內(nèi)容之后，學(xué)生們通過課堂例題以及課后習(xí)題陸續(xù) 接觸了有關(guān)三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件?，F(xiàn)歸納總結(jié)如下：一.知識點(diǎn)總結(jié)1）o 是 aabc 的重心o 5X+55+反=6若 0 是 AABC 的重心，貝ijSabocnSalSaaobNjSabc 5a + OB + OC = 6而=；（而+方+正）OG為的重心.0是AABC的垂心O冰 55 =而氏=反京若 0 是

2、AABC （非直角三角形）的垂心，則，boc： sa.xoc： Sob =tan A：tanB：tanC故 tan AOA + tan BOB + tan COC = 0） 0 是 AABC 的外心 o 16X 日麗 1=1I （或 OA2 =OB = Oc）若。是AABC的外心Ijllj 0c: Saoc： Sak）b = sinZBOC：sinZAOC ：sinZAOB = sin2A : sin2B : sin2C故 sinlAOA + sin2BOB + sin2COC = 60是內(nèi)心AABC的充要條件是OA（5-=） = OB.（-） = OC（-?-） = 0I ABI AC I

3、BA I IBCII CAI ICBI I .引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡潔。如果記ab,bc,ca的單位向量為，代2代3,貝IJ剛 才0是AABC內(nèi)心的充要條件可以寫成：6（3 + ） =，& + ） =加（ + ） =。 0是AABC內(nèi)心的充要條件也可以是adX + b麗+ C沃=6若 0 是 AABC 的內(nèi)心，貝iJSaboc： S4、0c: SMOB = a： b： c故 aOA + bOB + cOC =藏 sin AdX + sinBOB + sinCOC = 6|而|定+|0|序+|S5|而= 0oP AABC的內(nèi)心； TOC o 1-5 h z 向量A（|Af| + |AC|）

4、（A*）所在直線過AABC的內(nèi)心（是ABAC的角/ 平分線所在直線）;B 1二 范例,（一）.將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查P例L。是平面上忙朝，A,B,C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足萬5 + 絲+空） 法0,2）則點(diǎn)的軌跡一定通過418。的（ ）叫 AC解析：因?yàn)榻z是向量通的單位向量設(shè)通與A6方向上的單位向量分別為6和e, M-y.OP-OA = AP t則原式可化為而=為4+4）,由菱形的基本性質(zhì)知AP平分NA4C,那么 在AA8C 中，AP平分 4AC,則知選B.點(diǎn)評：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生”，首先絲是什么沒見過！想想，一 M個非零向量除以它的模不就是單位向量此題所用的

5、都必須是簡單的基本知識，如向量的 加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速 地將它們遷移到一起，解這道題一點(diǎn)問題也沒有。（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2. ，是所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，HA 7iB = 7iB HC = HC HA O點(diǎn)，是的垂心.由加而=而汨=麗（玩1-麗=0=麗肅=0=說_L元，同理標(biāo)，而_L說.故，是48C的垂心.（反之亦然（證略）例3.（湖南）P是aABC所在平面上一點(diǎn)，若麗麗=麗正=正麗，則P是aABC的（D ）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心解析：由麗 麗=麗.定得麗 方_麗.京 =0.即 PB（PA-PC）

6、 = 0,即而 CA = 0則 PB C4,同理PA BC,PC AB所以P為AABC的垂心.故選D.點(diǎn)評：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形 垂心定義等相關(guān)知識.將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。變式：若H為aABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)H是aABC的垂心證明：.網(wǎng)2 -阿=5-其. 3PG = （AG + BG + CU） + （FA + PB+PC）Aa TOC o 1-5 h z TG是固的重心/ GA + GB + GC=O= AG + BG + CG =0, B|J 3PG=FA+PB

7、+ PC/ J -2J由此可得兩=：（不+而+記）.（反之亦然（證略）c例 6 若。為 AABC 內(nèi)一點(diǎn)，OA+OB + OC = Q ,則 0 是 AABC 的（）DA.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：由。4+0與+。6 = 0得。月+。4=-。4,如圖以ob、oc為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則?？? 0弓=如，由平行四邊形性質(zhì)知詼=3而，OA = 2OEf同理可證其它兩邊上的 這個性質(zhì)，所以是重心，選D。點(diǎn)評：本題需要扎實(shí)的平面兒何知識，平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心性質(zhì)： 重心是三角形中線的內(nèi)分點(diǎn)，所分這比為4 =彳。本題在解題的過程中將平面向量的有關(guān) 運(yùn)算與平行四邊形的對角線互

8、相平分及三角形重心性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。變式：已知D E,尸分別為zMBC的邊8G AC, A8的中點(diǎn).貝lj而+屁+行O.證明:3 AE=GA233）=（f，-f2-少2y2=（2x 713/2（-2 -.1） y26y21 2x2-xt323壬（47） %2y,玩匕+/_& Z2_ ）=（2:f公（y三 , （32 3 力） 6 32y.2）W西即函=頻，故0、G、，三點(diǎn)共線，且0G； G41： 2【注】：本例如果用平面兒何知識、向量的代數(shù)運(yùn)算和兒何運(yùn)算處理，都相當(dāng)麻煩， 而借用向量的坐標(biāo)形式，將向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密 地結(jié)合在一起，從而，很多對稱、共線、

9、共點(diǎn)、垂直等問題的證明，都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運(yùn)算的論證。例10.若0、，分別是板的外心和垂心.求證 OH = OA + OB + OC .證明若放的裁心為，外心為0,如圖.連并延長交外接圓于連結(jié)4?, CD.：.AD LAB, CD_LBC.又垂心為耳 AHLBC,CH LAB,：.AH/ CD, CH/ AD,四邊形加為平行四邊形，.AH = DC = DO + OC , CClOH = OA + AH = OA + OB + OC .著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置關(guān) 系：(1)三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線一一“歐拉線”；(2)三角形的重心在“歐拉

10、線”上，且為外一一垂連線的第一個三分點(diǎn)，即重心到垂 心的距離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題.例11. 設(shè)0、G、，分別是銳角44回的外心、重心、垂心.求證 OG = OH證明 按重心定理 G是a的重心=OG = (OA + OB + OC)按垂心定理 OH = OA + OB + OC由此可得 OG = OH .三、與三角形的“四心”有關(guān)的高考連接題及其應(yīng)用例1： （2003年全國高考題）。是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn),動點(diǎn)P滿足OP = OA + 2（A）外心（C）重心)事實(shí)上如圖設(shè)立=空，#=絲都是單位向量 網(wǎng) M易知四

11、邊形AETF是菱形故選答案B 例2： （2005年北京市東城區(qū)高三模擬題）。為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，如果OAOB = OBOC = OCOA,貝lj 0 必為/ABC 的（）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心事實(shí)上次慶=（次5?）.3=0=3.3= OnOB_LCA故選答案D 例3：已知。為三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足網(wǎng)?網(wǎng)，=網(wǎng)?+同國斗阿,則點(diǎn)0是三角形ABC的（）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心事實(shí)上由條件可推出麗麗=麗衣=反方故選答案D例4：設(shè)。是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn),動點(diǎn)P滿足OP = OA + 2(ABTr+ 1），2（0,

12、2）,則動點(diǎn)P的軌跡一定通過AABC ACcosC（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心事實(shí)上ABAB cosBAr+）BC =，AC cosC（-|bc|+bc）= o故選答案D例5： 2005年全國（I）卷第15題“AABC的外接圓的圓心為。，兩條邊上的高的交點(diǎn)為圖m =DALABfCHH DA,H, OH = m（OA + OS + OC）9 則實(shí)數(shù)先解決該題：作直經(jīng)30,連DA, OC,有。啟=。力，DC 工 BC, AH BCf CH LAB,故AHU DC故AC是平行四邊形，進(jìn)而正=反，又DC = OC-OD = OC+OB：.OH = OA + AH = OA + DC故

13、。/ = o4+og+od,所以7 = 1評注：外心的向量表示可以完善為: 若。為AABC的外心，為垂心，則麗=麗+麗+反。其逆命題也成立。例6.已知向量研，砥, 西滿足條件研+國+西二0, op = o = op |=1,求證：尸出月是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊（下），復(fù)習(xí)參考題五3組第6題）證明： 由已知前+西二一西，兩邊平方得砧麗二-3，同理 西西二瓦硒二一,/. |而| = |部| = |前 = J3 ,從而是正三角形. 反之，若點(diǎn)。是正三角形的中心，則顯然有豆+西+西二。且|西| 二 |西| 二 |西|,即。是48C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，瓦+西+西二0且|西J 二 |西|二|可| =點(diǎn)。是正R

14、RR的中心.四、練習(xí).已知4、B、。是平面上不共線的三點(diǎn)，。是三角形 板的重心，動點(diǎn)尸滿足而JO乙西+通+2無），則點(diǎn)尸一定為三角形 的（B）邊中線的中點(diǎn)邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）。重心邊的中點(diǎn)分析：取相邊的中點(diǎn)肱則況+麗=2兩,由 OP=O+2而）可得 3OP = 3OM+2MC而=,荻，即點(diǎn)尸為三角形中也邊上的中線的一個三等分點(diǎn)，且點(diǎn)尸不過重心。.在同一個平面上有AABC及一點(diǎn)。滿足關(guān)系式：oa2-bc2=ob2-ca2= oc2+ab2,貝Ij。為板的（04外心 B.內(nèi)心 C.重心 D,垂心.已知放的三個頂點(diǎn)4B、。及平面內(nèi)一點(diǎn)尸滿足：而+方+記=6,則尸為放的 （。4外心 B.內(nèi)心 C

15、,重心 D.垂心.已知。是平面上一定點(diǎn)，A. B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)尸滿足:OP = OA + AAB+AC）,則p的軌跡一定通過a的（0A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心.已知極；尸為三角形所在平面上的動點(diǎn)，且滿足：西京+而+方無=0,則產(chǎn) 點(diǎn)為三角形的（9A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心.已知極；尸為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)尸滿足：a PA+b PB+c = 0f則尸點(diǎn) 為三角形的（而4外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心.在三角形 板中，動點(diǎn)尸滿足：CA CB -2AB.CP ,則尸點(diǎn)一定通過力比的（8）4外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心.非零向量而與而滿足（巫+三）前=0且眄 三二，則為（D） AB ACAB AC 24三邊均不相等的三角形8.直角三角形C等腰非等邊三角形D.等邊三角形解析：非零向量與滿足（幽+冬）1力，即角4的平分線垂直于比；|AC|：.AB=ACf又cosA=W=L NA=J所以為等邊三角形.ABAC 23.a的外接圓的圓心為0,兩條邊上的高的交點(diǎn)為，Ofi = woA+oQ+o6,則實(shí)數(shù)爐1.點(diǎn)。是三角形 板所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足冰礪=甌反=南方，則點(diǎn)。是放的（而（用三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（而三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（。三條中線的