《現(xiàn)代數(shù)值計算》課件3.4　離散數(shù)據(jù)的曲線擬合

1、3.4 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合3、 正交多項式擬合總結(jié)2 、最小二乘擬合 多項式的擬合1、離散點集上的正交多項式3.4 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合學習目標： 了解曲線擬合最小二乘法的意義。掌握線性擬合和二次多項式擬合的方法。定義 設(shè)有點集 xi i=0,1,m，函數(shù) f (x) 和 g (x) 在離散意義下的內(nèi)積定義為 (1)其中i0為給定的權(quán)數(shù)。在離散意義下，函數(shù)f (x)的2-范數(shù)定義為(2)有了內(nèi)積，就可以定義正交性。若函數(shù) f (x) 和 g (x) 的內(nèi)積 (f , g)=0，則稱兩者正交。1 離散點集上的正交多項式若多項式組k(x)k=0,n 在離散意義下的內(nèi)積滿足(3)則稱多項式組k(x)k

2、=0,n為在離散點集 xii=0,1,m 上的帶權(quán) ii=0,m的正交多項式序列.下面給出離散點集上正交多項式的構(gòu)造方法 . 給定點集xi i=0,1,m和權(quán)數(shù) ii=0,m ，并且點集 xi i=0,1,m中至少有n+1個互異，則由下列三項遞推公式 （4）給出的多項式序列 是正交多項式序列，其中（5） 三項遞推公式（4）是構(gòu)造正交多項式的簡單公式，此外，還有其他的特殊的情形，這里，不進一步討論。 例 已知點集 xi i=0,1,4 =0,0.25,0.5,0.75,1 和 權(quán)數(shù) ii=0,4 =1,1,1,1,1.試用三項遞推公式求關(guān)于該點集的正交多項式 解 先令 P0(x)=1 ，由此得由

3、此得從而有本節(jié)討論-離散數(shù)據(jù)的曲線擬合 仍然是已知 x1 xm ; y1 ym, 求一個簡單易算的近似函數(shù) p(x) f(x)。但是 m 很大； yi 本身是測量值，不準確，即 yi f (xi)這時沒必要取 p(xi) = yi , 而要使 p(xi) yi 總體上盡可能小。常見做法： 使 最小 太復雜 使 最小不可導，求解困難 使 最小 2 離散數(shù)據(jù)的最小二乘擬合及 多項式的擬合（1）離散數(shù)據(jù)的最小二乘擬合(3.4.1)則稱p*(x)為離散數(shù)據(jù) (xi , yi i=1,2,m在子空間S中帶權(quán) ii=1,2,m的最小二乘擬合。使擬合誤差的平方和最小最小二乘原理 以下討論最小二乘逼近函數(shù) 是

4、否存在？是否唯一？及計算方法（步驟）。(類似于連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近的思路)。 把原問題轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)極值問題（3.4.2）得到(3.4.1)的等價問題：（3.4.3）這方程稱為法方程(或正規(guī)方程)。結(jié)論： （1）必要條件誤差與基函數(shù)正交（2）充分性(3.4.1)定理最小二乘逼近的步驟：以上的平方誤差與連續(xù)函數(shù)最佳平方逼近的平方誤差有相同形式的表達式。 (2)多項式的擬合即在多項式空間 中作曲線擬合，稱為多項式擬合。用上面討論的方法求解。子空間 的基函數(shù)為 前面討論了子空間 中的最小二乘擬合。 在離散數(shù)據(jù) 的最小二乘擬合中，最簡單、最常用的數(shù)學模型是多項式（3.4.4） 例 3.4.1 用多項

5、式擬合表3-4中的離散數(shù)據(jù)。 yi 0.10 0.35 0.81 1.09 1.96 xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 i 1 2 3 4 5表3-4解 作數(shù)據(jù)點的圖形如圖3-4，從圖形看出用二次多項式擬合比較合適。這時n=2，子空間 的基函數(shù) 。數(shù)據(jù)中沒有給出權(quán)數(shù)，不妨都取為1，即 。o y 1.961 x*圖3-4 yi 0.10 0.35 0.81 1.09 1.96 xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 i 1 2 3 4 5表3-4ixiyixi2xi3xi4xi yixi2 yi00.000.100.0010.250.350.062520.5

6、00.810.2530.751.090.562541.001.961.002.54.311.8751.56251.38283.272.7975以上計算可用下表的形式表示（更簡便） 解此方程組得 。從而，擬合多項式為其平方誤差 。擬合曲線 的圖形見圖3-4。按（3.4.4）2.54.311.8751.56251.38283.272.7975ixiyixi2xi3xi4xi yixi2 yi有o y 1.961 x*圖3-4正規(guī)方程組為 一般地，用最小二乘法得到的方程組（3.4.3），其系數(shù)矩陣是病態(tài)的。實用的曲線擬合辦法是采用正交函數(shù)系的基。 若點集 中至少有n+1個互異，那么可用三項遞推公式(

7、3.1.4)和(3.1.5)求出正交多項式序列 ,它們可以作為子空間=span 的一組基。求出多項式序列 后，可以建立擬合模型3.4.3 正交多項式擬合此時，對應(yīng)的法方程組化簡為這時直接可算出，法方程組的矩陣形式為于是當增加n時，有 優(yōu)點： 當n增加時只須計算 ， 計算量小。 按上述求離散數(shù)據(jù) 的擬合多項式 的方法，稱為正交多項式擬合。根據(jù)惟一性，所得結(jié)果與用前面的方法所得的結(jié)果相同，但數(shù)值計算比前者穩(wěn)定。解 已知離散數(shù)據(jù)為例 用正交化方法求例3.4.2中的離散數(shù)據(jù)的二次多項式擬合。對權(quán)數(shù) ,在例3.3中已求出了點集 上的正交多項式最后得擬合多項式進而有 所得結(jié)果與例3.4.2相同.本課重點：

8、理解最小二乘逼近理論并會求逼近多項式；作業(yè):了解非線性模型舉例。編程: 在許多實際問題中，變量之間的關(guān)系不一定能用多項式很好的擬合。如何找到更符合實際情況的數(shù)據(jù)擬合，一方面要根據(jù)專業(yè)知識和經(jīng)驗來確定擬合曲線的形式，另一方面要根據(jù)數(shù)據(jù)點的圖形性狀及特點來選擇適當?shù)那€擬合這些數(shù)據(jù)。 例 3.4.2 已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如表3-5。試選擇適當?shù)臄?shù)學模型進行擬合。yi 4.00 6.41 8.01 8.79 9.53 9.86 10.33 10.42 10.53 10.61xi 1 2 3 4 6 8 10 12 14 16 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10表3-5 解 (1)觀察

9、數(shù)據(jù)點的圖形(見圖3-5), 從圖形看出用二次多項式擬合比較合適。這時n=2，子空間S的基函數(shù): 0(x) = 1， 1(x) = x， 2(x) = x2數(shù)據(jù)中沒有給出權(quán)數(shù)，不妨都取為1，y113o116 x*解得 ，從而擬合函數(shù)為平方差 的圖形見圖3-5。由平方誤差和 的圖形可見，擬合的效果不佳。因此，不宜直接選用多項式作擬合。y113o116 T*按（3.4.3）有(2)從數(shù)據(jù)的圖形看，可以選用指數(shù)函數(shù)進行擬合。設(shè) ，其中 。這是一個非線性模型， 不能直接用上面討論的方法求解。對于一般的非線性最小二乘問題.，用常規(guī)方法求解的難度較大。這里的非線性模型比較簡單，可以把它轉(zhuǎn)化成線性模型，然后用上面討論的方法求解。對說函數(shù) 的兩邊取自然對數(shù)，得 。若令，則有z=A+t。這是一個線性模型。將本題離散數(shù)據(jù)作相應(yīng)的轉(zhuǎn)換，見表3-9。ti 1.0000 0.5000 0.33333 0.2500 0.1667 0.1250 0.1000 0.0833 0.0714 0.0625 zi 1.3863 1.8575 2.0807 2.1736 2.2544 2.2885 2