數(shù)字信號處理IIR—DF的設(shè)計方法資料

1、第6章 無限(wxin)長單位脈沖響應(yīng)（IIR） 數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 6.1 基本概念 6.2 IIR濾波器設(shè)計的特點 6.3 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 6.4 用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 6.5 設(shè)計IIR濾波器的頻率(pnl)變換法6.6 先利用模擬域頻帶變換法，再利用數(shù)字化法設(shè)計數(shù)字各型濾波器共一百零四頁6.1 基本概念 一、 濾波器的分類 數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的重要基礎(chǔ)。在對信號的過濾、檢測與參數(shù)的估計等處理中, 數(shù)字濾波器是使用最廣泛的線性系統(tǒng)。 數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實現(xiàn)濾波的線性時不變系統(tǒng)。它將輸入(shr)的數(shù)字序列通過特定運算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列。因

2、此， 數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一臺完成特定運算的數(shù)字計算機。 共一百零四頁 由第1章已經(jīng)知道，一個輸入序列x(n)，通過一個單位(dnwi)脈沖響應(yīng)為h(n)的線性時不變系統(tǒng)后，其輸出響應(yīng)y(n)為 將上式兩邊經(jīng)過(jnggu)傅里葉變換，可得 式中，Y(ej)、X(ej)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜函數(shù)， H(ej)是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。 共一百零四頁b=1;a=1,-0.9; %y(n)-0.9y(n-1)=x(n)， 即H(Z)=1/(1-0.9z)x=ones(1,10),zeros(1,40);y=filter (b, a, x);共一百零四頁N=64;X=fft(x,N);Y=fft(

3、y,N);共一百零四頁 可以看出，輸入序列的頻譜X(ej)經(jīng)過濾波后，變?yōu)閄(ej)H(ej)。如果|H(ej)|的值在某些頻率上是比較小的，則輸入信號中的這些頻率分量在輸出信號中將被抑制掉。因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的，適當選擇H(ej)，使得濾波后的X(ej)H(ej)符合人們的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。和模擬(mn)濾波器一樣，線性數(shù)字濾波器按照頻率響應(yīng)的通帶特性可劃分為低通、高通、帶通和帶阻幾種形式。它們的理想模式如圖6-1所示。（系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ej)是以2為周期的。) 共一百零四頁圖 6-1 數(shù)字(shz)濾波器的理想幅頻特性 共一百零四頁 滿足奈奎斯

4、特采樣定理時，信號的頻率特性只能限帶于|的范圍。由圖6-1可知，理想(lxing)低通濾波器選擇出輸入信號中的低頻分量，而把輸入信號頻率在c范圍內(nèi)所有分量全部濾掉。相反地，理想高通濾波器使輸入信號中頻率在c范圍內(nèi)的所有分量不失真地通過，而濾掉低于c的低頻分量。帶通濾波器只保留介于低頻和高頻之間的頻率分量。 共一百零四頁二、 濾波器的技術(shù)指標 理想濾波器是不能實現(xiàn)(shxin)的， 但在概念上極為重要。 一般來說，濾波器的性能要求往往以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器為例，如圖6-2（稱誤差容限圖）所示， 頻率響應(yīng)有通帶、 過渡帶及阻帶三個范圍（而不是理想的陡截止的通帶、阻帶兩個

5、范圍）。圖中1為通帶的容限，2為阻帶的容限。 共一百零四頁圖 6-2 低通濾波器頻率響應(yīng)幅度(fd)特性的誤差容限圖 1共一百零四頁在通帶內(nèi)，幅度(fd)響應(yīng)以誤差1逼近于1，即 在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)(xingyng)以誤差小于2而逼近于零，即 st|c 式中，c, st分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，它們都是數(shù)字域頻率。幅度響應(yīng)在過渡帶（st-c）中從通帶平滑地下降到阻帶，過渡帶的頻率響應(yīng)不作規(guī)定。 共一百零四頁 雖然給出了通帶的容限1及阻帶的容限2，但是，在具體技術(shù)指標中往往使用通帶允許(ynx)的最大衰減（波紋）Ac和阻帶應(yīng)達到的最小衰減As描述，Ac及As的定義分別為： （6-3a）

6、（6-3b） 式中，假定|H(ej0)|=1(已被歸一化)。例如|H(ej)|在c處滿足|H(ejc)|=0.707，則Ac=3 dB；在st處滿足|H(ejst)|=0.001，則As=60 dB（參考(cnko)圖6-2）。(注：lg是log10的規(guī)范符號表示。) 共一百零四頁三、 FIR型濾波器和IIR型濾波器 數(shù)字濾波器按單位脈沖響應(yīng)h(n)的時域特性可分為無限長脈沖響應(yīng)IIR（Infinite Impulse Response）濾波器和有限長脈沖響應(yīng)FIR（Finite Impulse Response）濾波器。 IIR濾波器一般采用遞歸型的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。其N階遞歸型數(shù)字濾波器的差分(c

7、h fn)方程為 （6-4） 共一百零四頁 式（6-4）中的系數(shù)ak至少有一項不為零。 ak0 說明必須將延時的輸出序列反饋(fnku)回來，也即遞歸系統(tǒng)必須有反饋(fnku)環(huán)路。相應(yīng)的IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 （6-5） IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)在Z平面上不僅(bjn)有零點，而且有極點。 共一百零四頁 FIR濾波器的單位(dnwi)脈沖響應(yīng)h(n)是有限長的，即0nN-1， 該系統(tǒng)一般采用非遞歸型的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，但如果系統(tǒng)函數(shù)中出現(xiàn)零、 極點相消時, 也可以有遞歸型的結(jié)構(gòu)(如頻率采樣結(jié)構(gòu))。FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 （6-6） 由式（6-6）可知，H(z)的極點(jdin)只能在Z平面

8、的原點。 共一百零四頁四、 濾波器的設(shè)計步驟 按照實際任務(wù)要求， 確定濾波器的性能指標。 用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)去逼近這一性能要求。根據(jù)不同(b tn)要求可以用IIR系統(tǒng)函數(shù)，也可以用FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近。 實現(xiàn)所設(shè)計的H(z)。包括選擇運算結(jié)構(gòu)（如第5章中的各種基本結(jié)構(gòu)），選擇合適的字長（包括系數(shù)量化及輸入變量、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數(shù)字的處理方法（舍入、截尾）等。 共一百零四頁6.2 IIR濾波器設(shè)計(shj)的特點 IIR濾波器的系統(tǒng)(xtng)函數(shù)又可以用極、零點表示如下： 一般滿足MN，這類系統(tǒng)稱為N階系統(tǒng)。共一百零四頁 IIR濾波器的系統(tǒng)

9、函數(shù)的設(shè)計就是確定各系數(shù)ak, bk或零極點ck，dk和A，以使濾波器滿足給定的性能(xngnng)要求。通常有以下兩種方法： 1）利用模擬濾波器的理論來設(shè)計數(shù)字濾波器 首先，設(shè)計一個合適的模擬濾波器；然后，變換成滿足預(yù)定指標的數(shù)字濾波器。這種方法很方便，因為模擬濾波器已經(jīng)具有很多簡單而又現(xiàn)成的設(shè)計公式，并且設(shè)計參數(shù)已經(jīng)表格化了，設(shè)計起來既方便又準確。 共一百零四頁 2） 最優(yōu)化設(shè)計法 最優(yōu)化設(shè)計法一般分兩步來進行: 第一步要選擇一種最優(yōu)準則。例如，選擇最小均方誤差準則。它是指在一組離散的頻率i(i=1, 2, , M)上，所設(shè)計出的實際頻率響應(yīng)幅度(fd)|H(ej)|與所要求的理想頻率響應(yīng)

10、幅度|Hd(ej)|的均方誤差最小。 此外還可以有其他許多種誤差(wch)最小的準則，如最大誤差(wch)最小準則等。 共一百零四頁 第二步，求在此最佳準則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)ak, bk。一般是通過(tnggu)不斷改變?yōu)V波器系數(shù)ak、bk，分別計算; 最后，找到使為最小時的一組系數(shù)ak, bk，從而完成設(shè)計。這種設(shè)計需要進行大量的迭代運算，故離不開計算機。所以最優(yōu)化方法又稱為計算機輔助設(shè)計法。 共一百零四頁 本章著重討論第一種方法。利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，就是(jish)從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。因此，它歸根結(jié)底是一個由S平面映射到Z平

11、面的變換，這個變換通常是復(fù)變函數(shù)的映射變換，這個映射變換必須滿足以下兩條基本要求： 共一百零四頁（1）H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，也即S平面虛軸j必須映射到Z平面的單位圓z=ej上。 （2） 因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z)，也即S平面的左半平面Res0必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部|z|1。 下面分別討論由模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的兩種常用的變換方法：沖擊響應(yīng)不變法和雙線性變換法。FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法與IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法明顯不同(b tn)，這將在下一章中介紹。 共一百零四頁6.3 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(shj)IIR數(shù)字濾波器一、 變換(

12、binhun)原理 利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。 沖激響應(yīng)不變法是從濾波器的沖激響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將ha(t)進行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足 h(n)=ha(nT) 式中, T是采樣周期。 共一百零四頁 如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用第1章采樣序列(xli)的Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系，得 則可看出，沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器的S平面變換(binhun)成數(shù)字濾波器的Z

13、平面，這個從s到z的變換z=esT正是第1章中從S平面變換到Z平面的標準變換關(guān)系式。 共一百零四頁圖6-3 沖激響應(yīng)不變法的映射(yngsh)關(guān)系 共一百零四頁二、 混疊失真數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬(mn)濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如第1章采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻?xiny)折疊頻率以內(nèi)時，即 共一百零四頁 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生(chnshng)混疊失真，即 |但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴格限帶的， 變換后就會產(chǎn)生周期

14、延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，如圖6-4所示。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時，采用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好(lingho)的效果。 共一百零四頁圖6-4 沖激響應(yīng)不變法(bin f)中的頻響混疊現(xiàn)象 共一百零四頁 對某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)進行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時間(shjin)間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。 共一百零四頁三、 模

15、擬濾波器的數(shù)字化方法 由于沖激響應(yīng)不變法要由模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)求拉普拉斯反變換得到模擬的沖激響應(yīng)ha(t)，然后采樣后得到h(n)=ha(nT)，再取Z變換得H(z)，過程較復(fù)雜。下面我們討論如何由沖激響應(yīng)不變法的變換原理將Ha(s)直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H(z)。 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有單階極點，且假定分母(fnm)的階次大于分子的階次（一般都滿足這一要求，因為只有這樣才相當于一個因果穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)），因此可將 共一百零四頁其相應(yīng)(xingyng)的沖激響應(yīng)ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反變換，即 式中, u(t)是單位階躍函數(shù)。 在沖激響應(yīng)不變法中，要求數(shù)字濾波器的單位脈

16、沖響應(yīng)等于(dngy)對ha(t)的采樣，即 共一百零四頁對h(n)求Z變換(binhun)，即得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 將Ha(s)和H(z)加以比較，可以看出(kn ch)： （1）S平面的每一個單極點s=sk變換到Z平面上z=eskT處的單極點。 （2） Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)是相同的，都是Ak。 共一百零四頁 （3）如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則所有極點sk位于S平面的左半平面，即Resk0， 則變換后的數(shù)字濾波器的全部極點在單位圓內(nèi)，即|eskT|=eReskT1， 因此數(shù)字濾波器也是因果穩(wěn)定的。 （4）雖然沖激響應(yīng)不變法能保證S平面極點與Z平面極點有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，但

17、是并不等于整個S平面與Z平面有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，特別是數(shù)字濾波器的零點位置就與模擬濾波器零點位置沒有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，而是隨Ha(s)的極點sk以及系數(shù)(xsh)Ak兩者而變化。 共一百零四頁數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)幅度還與采樣(ci yn)間隔T成反比： | 如果采樣頻率很高，即T很小，數(shù)字濾波器可能具有太高的增益，這是不希望的。為了使數(shù)字濾波器增益不隨采樣頻率而變化，可以作以下簡單(jindn)的修正，令 h(n)=Tha(nT) 則有: 共一百零四頁例6-1 設(shè)模擬(mn)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 試利用沖激響應(yīng)不變法(bin f)將Ha(s)轉(zhuǎn)換成IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解 ： 數(shù)字

18、濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 設(shè)T=1，則有 共一百零四頁 模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(j)以及數(shù)字(shz)濾波器的頻率響應(yīng)H(ej)分別為: 把|Ha(j)|和|H(ej)|畫在圖上。由該圖可看出，由于(yuy)Ha(j)不是充分限帶的，所以H(ej)產(chǎn)生了嚴重的頻譜混疊失真。 共一百零四頁圖6-5 例題(lt)中的幅頻特性 共一百零四頁四、 優(yōu)缺點 從以上(yshng)討論可以看出，沖激響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系=T。 因而，一個線性相位的模擬濾波器通過沖激響應(yīng)不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾

19、波器。 共一百零四頁 沖激響應(yīng)不變法的最大缺點是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以， 沖激響應(yīng)不變法只適用(shyng)于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。如果要對高通和帶阻濾波器采用沖激響應(yīng)不變法， 就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用沖激響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當然這樣會進一步增加設(shè)計復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。 共一百零四頁6.4 用雙線性變換法設(shè)計(shj)IIR數(shù)字濾波器 一、 變換原理 沖激響應(yīng)不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因為從S平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這

20、一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去(shng q)。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系， 消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖6-6所示。 共一百零四頁圖6-6 雙線性變換的映射(yngsh)關(guān)系 第一次變換：頻率(pnl)壓縮第二次變換：數(shù)字化共一百零四頁雙線性變換法的映射規(guī)則：（1）頻率壓縮：把整個S平面壓縮變換到某一中介的S1平面的一條(y tio

21、)橫帶里。（2）數(shù)字化：將S1平面通過標準變換關(guān)系 變換到z平面。共一百零四頁（1）頻率(pnl)壓縮把整個S平面(pngmin)壓縮變換到某一中介的S1平面的一條橫帶里。共一百零四頁（2）數(shù)字化將S1平面通過標準變換(binhun)關(guān)系變換(binhun)到z平面。這時S 平面與Z平面之間為單值映射關(guān)系(gun x)，這種變換就稱為雙線性變換。共一百零四頁二、變換(binhun)常數(shù)c的選擇 調(diào)節(jié)c，可使AF與DF在不同頻率點處有對應(yīng)(duyng)的關(guān)系。（a）使AF與DF在低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系。在低頻處有共一百零四頁共一百零四頁三、 逼近的情況 雙線性變換符合上節(jié)中提出的映射變換應(yīng)滿足

22、(mnz)的兩點要求。 （1）首先, 把z=ej代入式 ，可得 即S平面的虛軸映射(yngsh)到Z平面的單位圓。 共一百零四頁（2） 其次(qc)，將s=+j代入式 ，得 因此(ync) 共一百零四頁 由此看出(kn ch)，當0時， |z|0時，|z|1。也就是說， S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。 因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 共一百零四頁四、 優(yōu)缺點 雙線性變換法與沖激響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)

23、系。S平面整個j軸單值地對應(yīng)(duyng)于Z平面單位圓一周， 即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系下式所示，重寫如下： 上式表明(biomng)，S平面上與Z平面的成非線性的正切關(guān)系，如圖6-7所示。 共一百零四頁圖6-7 雙線性變換(binhun)法的頻率變換(binhun)關(guān)系 共一百零四頁 由圖6-7看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當進一步增加時，增長得越來越慢，最后當時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻(o pn)部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象， 從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 共一百零四頁 但是雙線性變換的這個特點是靠頻率

24、的嚴重非線性關(guān)系而得到(d do)的。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如圖 6-8 所示。 共一百零四頁圖 6-8 雙線性變換法幅度和相位特性(txng)的非線性映射共一百零四頁 對于分段(fn dun)常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性

25、為分段(fn dun)常數(shù)的濾波器，但是各個分段(fn dun)邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變， 這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變， 然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。 共一百零四頁圖 6-9 雙線性變換時頻率(pnl)的預(yù)畸變 共一百零四頁 （1） 如果給出的是待設(shè)計的帶通濾波器的數(shù)字域轉(zhuǎn)折頻率（通、 阻帶截止頻率）1、2、3、4及采樣頻率(1/T)，則直接(zhji)利用式 計算出相應(yīng)(xingyng)的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率1、2、3和4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉(zhuǎn)折頻率1、2、3和4，經(jīng)雙線性變換后就映射到數(shù)字濾波器H(z)的原轉(zhuǎn)

26、折頻率1、2、3和4。 共一百零四頁 如果給出的是待設(shè)計的帶通濾波器的模擬域轉(zhuǎn)折頻率(pnl)（通、 阻帶截止頻率(pnl)）f1、f2、f3、f4和采樣頻率(1/T)，則需要進行頻率預(yù)畸變。 首先，利用下式計算數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）、2、3 和4。 再利用(lyng)式 共一百零四頁對頻率預(yù)畸變，得到預(yù)畸變后的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率1、 3和4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉(zhuǎn)折頻率、2、3和4, 經(jīng)雙線性變換后映射(yngsh)到數(shù)字濾波器H(z)的轉(zhuǎn)折頻率1、2、 3、4，并且能保證數(shù)字域頻率1、2、3、4與給定的模擬域轉(zhuǎn)折頻率f1、f、f、f4成線性關(guān)系。（2） 按1

27、、2、3和4等指標設(shè)計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。 共一百零四頁 （3）將 代入Ha(s)，得H(z)為 其頻率響應(yīng)(pn l xin yn)為 上述這些步驟比用脈沖響應(yīng)不變法(bin f)設(shè)計濾波器要簡便得多。 共一百零四頁 需要特別強調(diào)的是，若模擬濾波器Ha(s)為低通濾波器，應(yīng)用變換得到的數(shù)字(shz)濾波器H(z)也是低通濾波器； 若Ha(s)為高通濾波器，應(yīng)用 變換得到的數(shù)字濾波器H(z)也是高通濾波器; 若為帶通、帶阻濾波器也是如此。 在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計中，當強調(diào)模仿濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)時，采用沖激響應(yīng)不變法較好; 而在其余情況下，大多采用雙線性變換法。 共一百零四頁五、模擬

28、濾波器的數(shù)字化方法 雙線性變換法比起沖激響應(yīng)不變法來，在設(shè)計和運算上也比較直接和簡單。由于(yuy)雙線性變換法中，s到z之間的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，所以可以直接將式 代入到模擬系統(tǒng)傳遞函數(shù)， 得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)， 即 頻率響應(yīng)也可用直接代換(di hun)的方法得到 共一百零四頁 若階數(shù)較高，這時將H(z)整理成需要的形式，就不是一件簡單的工作。為簡化設(shè)計，一方面， 可以先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相加）或級聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相乘），使每個子系統(tǒng)函數(shù)都變成低階的（例如一、 二階的），然后再對每個子系統(tǒng)函數(shù)分別采用雙線性變換。也就是說，分解為低階的方法是在模

29、擬系統(tǒng)函數(shù)上進行的，而模擬系統(tǒng)函數(shù)的分解已有大量的圖表可以利用(lyng)，分解起來比較方便。另一方面，可用表格的方法來完成雙線性變換設(shè)計，即預(yù)先求出雙線性變換法中離散系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)與模擬系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系式，并列成表格，便可利用表格進行設(shè)計了。 共一百零四頁設(shè)計(shj)流程1.根據(jù)要求，設(shè)定指標。2.將各分段頻率臨界點預(yù)畸變。3.將數(shù)字濾波器的性能指標轉(zhuǎn)換為中間(zhngjin)模擬濾波器的性能指標。4.根據(jù)設(shè)計要求，選定雙線性變換常數(shù)C。5.設(shè)計中間模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s).6.將 代入Ha(s)中，得到DF 的H(z).共一百零四頁 例 6-2 設(shè)計(shj)一個一階數(shù)字低

30、通濾波器，3 dB截止頻率為c=0.25，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃思濾波器。 解 數(shù)字低通濾波器的截止頻率為c=0.25，相應(yīng)(xingyng)的巴特沃思模擬濾波器的 3 dB截止頻率是c，就有 模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 共一百零四頁將雙線性變換應(yīng)用(yngyng)于模擬濾波器，有 由上題可知，T不參與(cny)設(shè)計，即雙線性變換法中用 設(shè)計與用 設(shè)計得到的結(jié)果一致。 共一百零四頁 例6-3 用雙線性變換法設(shè)計一個三階(sn ji)巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=4 kHz（即采樣周期為T=250 s），其3dB截止頻率為fc=1 kHz。 三階模擬巴特沃思濾波器為 解: 首先，確定

31、數(shù)字(shz)域截止頻率c=2fcT=0.5。 第二步，根據(jù)頻率的非線性關(guān)系式，確定預(yù)畸變的模擬濾波器的截止頻率 共一百零四頁第三步，將c代入三階(sn ji)模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得 最后，將雙線性變換關(guān)系代入就得到數(shù)字(shz)濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 共一百零四頁 應(yīng)該注意，這里(zhl)所采用的模擬濾波器Ha(s)并不是數(shù)字濾波器所要模仿的截止頻率fc=1 kHz的實際濾波器，它只是一個“樣本”函數(shù)，是由低通模擬濾波器到數(shù)字濾波器的變換中的一個中間變換階段。 圖6-10給出了采用雙線性變換法得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率的非線性變換， 使截止區(qū)的衰減越

32、來越快。共一百零四頁圖 6-10 用雙線性變換法設(shè)計得到的三階(sn ji)巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響 共一百零四頁設(shè)模擬系統(tǒng)函數(shù)(hnsh)的表達式為 得 共一百零四頁表 6-1 雙線性變換法中a(s)的系數(shù)(xsh)與H(z)的系數(shù)之間的關(guān)系 共一百零四頁6.5 設(shè)計(shj)IIR濾波器的頻率變換法 圖 6-11模擬頻率(pnl)變換兩種等效的設(shè)計方法(a) 先模擬頻率變換， 再數(shù)字化; (b) 將(a)的兩步合成一步設(shè)計 1、模擬頻率變換法的原理框圖共一百零四頁 對于第一種方案，重點(zhngdin)是模擬域頻率變換，即如何由模擬低通原型濾波器轉(zhuǎn)換為截止頻率不同的模擬低通、高通、帶通

33、、帶阻濾波器，這里我們不作詳細推導，僅在表6-2列出一些模擬到模擬的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系。一般直接用歸一化原型轉(zhuǎn)換，取c=1, 可使設(shè)計過程簡化。 然后再通過沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法數(shù)字化為所需類型的數(shù)字濾波器。表6-2 截止頻率為c的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性模擬濾波器的轉(zhuǎn)換(zhunhun)公式 共一百零四頁 第二種方法實際上是把第一種方法中的兩步合成一步來實現(xiàn)，即把模擬低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器的公式與用雙線性變換得到相應(yīng)數(shù)字濾波器的公式合并(hbng)，就可直接從模擬低通原型通過一定的頻率變換關(guān)系， 一步完成各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計，因而簡捷便利，得到普遍采用。

34、此外，對于高通、帶阻濾波器，由于沖激響應(yīng)不變法不能直接采用，或者只能在加了保護濾波器以后使用，因此，沖激響應(yīng)不變法使用直接頻率變換要有許多特殊考慮，我們在下面只考慮雙線性變換，實際使用中多數(shù)情況也正是這樣。 共一百零四頁2、數(shù)字(shz)頻率變換法的原理框圖圖 6-12 數(shù)字(shz)頻率變換法共一百零四頁6.6 先利用模擬域頻帶變換法，再利用數(shù)字化法設(shè)計(shj)數(shù)字各型濾波器原理把一個歸一化原形模擬低通濾波器經(jīng)模擬頻帶變換(binhun)成所需要類型（截止頻率為另一低通、或高通、帶通、帶阻）的模擬濾波器。然后再通過沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換(binhun)法數(shù)字化為所需的數(shù)字濾波器。共一百

35、零四頁模擬頻率變換法的原理(yunl)框圖模擬(mn)歸一化低通原型模擬低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻頻帶變換數(shù)字化先模擬頻率變換，再數(shù)字化雙線性變換法或沖激不變法共一百零四頁注意(zh y)點實際上把以上合成二步來實現(xiàn)。模擬歸一化低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器的公式+與雙線性變換得到相應(yīng)(xingyng)數(shù)字濾波器的公式。將以上兩公式合并，就可直接從模擬低通歸一化原型通過一定的頻率變換的關(guān)系，一步完成各類數(shù)字濾波器的設(shè)計。這里只談雙線性變換法，因為沖激響應(yīng)不變法有頻率混疊失真效應(yīng)，只對能嚴格限帶的數(shù)字低通、帶通濾波器的設(shè)計才能應(yīng)用。對于數(shù)字高通、帶阻濾波器

36、，不能直接應(yīng)用。共一百零四頁一、 模擬低通濾波器變換成數(shù)字低通濾波器 首先，把數(shù)字濾波器的性能要求轉(zhuǎn)換(zhunhun)為與之相應(yīng)的作為“樣本”的模擬濾波器的性能要求，根據(jù)此性能要求設(shè)計模擬濾波器， 這可以用查表的辦法， 也可以用解析的方法。然后，通過雙線性變換法，將此“樣本”模擬低通濾波器數(shù)字化為所需的數(shù)字濾波器H(z)。共一百零四頁二、 模擬低通濾波器變換(binhun)成數(shù)字高通濾波器 式中，c為模擬低通濾波器的截止頻率，c為實際高通濾波器的截止頻率。 2、模擬高通到數(shù)字(shz)高通的變換根據(jù)雙線性變換原理，模擬高通與數(shù)字高通之間的S平面與Z平面的關(guān)系仍為 1、由模擬低通原型到模擬高通

37、的變換由表6-2可知，由低通模擬原型到模擬高通的變換關(guān)系為 共一百零四頁 把上兩個變換式結(jié)合(jih)起來，可得到直接從模擬低通原型變換成數(shù)字高通濾波器的表達式，也就是直接聯(lián)系s與z之間的變換公式 式中， 。由此得到(d do)數(shù)字高通系統(tǒng)函數(shù)為 式中，Ha(s)為模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 共一百零四頁 可以看出，數(shù)字(shz)高通濾波器和模擬低通濾波器的極點數(shù)目（或階次）是相同的。 根據(jù)雙線性變換，模擬高通頻率與數(shù)字高通頻率之間的關(guān)系仍為 則 又因：則：共一百零四頁圖6-13 從模擬低通變換到數(shù)字高通時頻率間關(guān)系(gun x)的曲線 應(yīng)當(yngdng)明確一點，所謂高通數(shù)字濾波器，并不是高

38、到都通過， 由于數(shù)字域存在折疊頻率=，對于實數(shù)響應(yīng)的數(shù)字濾波器， 由到2的部分只是由到0的鏡像部分。因此，有效數(shù)字域僅只是從=0 到=，高通也僅指這一端的高端，即到=為止的部分。 共一百零四頁圖 6-14 模擬(mn)低通變換到數(shù)字高通 共一百零四頁 例 設(shè)計一個巴特沃思高通數(shù)字濾波器，其通帶截止頻率（-3dB點處）為fc=3kHz，阻帶(z di)上限截止頻率fst=2kHz，通帶衰減不大于3 dB， 阻帶衰減不小于 14dB，采樣頻率fs=10kHz。 解 （1） 求對應(yīng)的各數(shù)字域頻率:共一百零四頁 （2）求常數(shù)C。采用(ciyng)歸一化（c=1）原型低通濾波器作為變換的低通原型，則低通

39、到高通的變換中所需的C為 （3）求低通原型st。設(shè)st為滿足(mnz)數(shù)字高通濾波器的歸一化原型模擬低通濾波器的阻帶上限截止頻率，可按=Ccot(/2)的預(yù)畸變換關(guān)系來求，得 共一百零四頁 （4）求階次N。按阻帶衰減求原型(yunxng)歸一化模擬低通濾波器的階次N，由巴特沃思低通濾波器頻率響應(yīng)的公式|Ha(jst)|取對數(shù)， 即 式中c=1。解得 取N=3。 共一百零四頁 （5） 求歸一化巴特沃思低通原型(yunxng)的Ha(s)。取N=3，查表(課本P266，表64)可得Ha(s)為 共一百零四頁（6） 求數(shù)字(shz)高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 有 將C代入， 可求得 共一百零四頁三、 模擬(mn)低通濾波器變換成數(shù)字帶通濾波器 由表6-2可知， 由低通模擬原型到模擬帶通的變換關(guān)系為 式中，c為模擬低通濾波器的截止頻率，h、l分別(fnbi)為實際帶通濾波器的通帶上、