[工學(xué)]第五章-晶體中電子能帶理論課件

1、第五章 晶體中電子能帶理論晶體中的電子不再束縛于個別原子，而在一個 具有晶格周期性的勢場中作共有化運動；對應(yīng)孤立原子中電子的一個能級，在晶體中該 類電子的能級形成一個帶；能帶理論成功地解釋了固體的許多物理特性。固體中存在大量的電子，它們的運動是相互 關(guān)聯(lián)的，這是一個多體問題；由量子力學(xué)理論可知，人們可以把這個多體 問題簡化成單電子問題，即把每個電子的運 動看成是獨立地在一個等效勢場中的運動；研究晶體中電子的能帶所用的近似也是單電 子近似。 5.1 布洛赫波函數(shù)一、布洛赫定理 晶體中電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波，即電子的波函數(shù)具有如下形式其中k為電子的波矢，Rn是格矢上述理論稱為布洛赫(

2、Bloch)定理。 波函數(shù)：描述微觀粒子狀態(tài)，波函數(shù)在空間某一點 的強度（振幅絕對值平方）和在該點找到粒 子的幾率成正比。布洛赫定理也可寫成下面的形式證明:布洛赫波函數(shù)物理意義： 與自由電子的波函數(shù)相比，布洛赫波函數(shù)多了一個周期函數(shù)，可以可作是被周期性函數(shù)調(diào)幅的平面波， 其平面波部分反映電子在整個晶體內(nèi)作公有化運動， 而其調(diào)幅部分則反映在原胞內(nèi)的運動情況，它的大小取決于原胞中電子的勢場。布洛赫函數(shù) 描述的是同一電子狀態(tài)。所以有二、簡約布里淵區(qū)由布洛赫定理已知同一個電子態(tài)應(yīng)對應(yīng)同一個能量，所以又有 對應(yīng)同一個本征值E(k)，有無數(shù)個本征函數(shù)。為了使本征函數(shù)與本征值一一對應(yīng)起來，即使電子的波矢與本

3、征值對應(yīng)起來，必須把波矢K的取值限制在一個倒格原胞區(qū)間。這個區(qū)間為簡約布里淵區(qū)或第一布里淵區(qū)簡約波矢第一布里淵區(qū)體積在簡約布里淵區(qū)，電子的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)目一個波矢對應(yīng)的體積電子波矢密度5.2 一維晶格中的近自由電子 金屬晶體中，原子實對價電子的束縛較弱，價電子的行為與自由電子相近為得出自由電子近似的主要結(jié)論，本節(jié)首先討論簡單的一維情況將晶格周期勢（V(x)）也化成指數(shù)函數(shù)是有利于問題的求解的將V(x)展成傅里葉級數(shù)一維晶格中的電子的薛定諤方程零級近似下薛定諤方程波函數(shù)和能量本征值按量子微擾理論，電子的能量可寫成一級微擾能量二級微擾能量電子的波函數(shù)若只考慮到電子能量的二級微擾波函數(shù)的一

4、級修正電子的波函數(shù)令可以證明電子波函數(shù) 具有布洛赫函數(shù)形式5.3 一維晶格中的電子的布拉格反射 當(dāng)前進波的波矢遠離 時，散射波很微弱，波函數(shù)與平面波相近。但當(dāng) 時，波矢 的散射波不能在忽略。 由于 ，我們稱波矢為k的波為前進波，k的波為后退波。出現(xiàn)強烈散射波的原因？前進波與后退波的波長不僅相等，而且滿足關(guān)系式圖5.1 一維晶格的布拉格反射格點2的散射波與格點1的散射波的波程差為2a,格點3的散射波與格點1的散射波的波程差為4a各格點產(chǎn)生的散射波的波程差都是波長的整數(shù)倍，各格點的散射波相互加強，形成一個很強的散射波。電子的零級波函數(shù)是前進波和反射波的線性組合 事實上，波矢接近布拉格反射條件時，即

5、代入薛定諤方程可得利用得到其中是一個小量。當(dāng)=0時上式說明，電子遭受晶格最強散射時，電子有兩個能態(tài)，一個高于動能Tn，一個低于動能，能差為當(dāng)0時，考慮到Tn般大于|Vn|，展開并只取到2,得到 總結(jié)以上內(nèi)容，我們的要點是 1)在 處(布里淵區(qū)邊界上)，電子的能 量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度為2|Vn|2)在 附近，能帶底的電子能量與波矢 的關(guān)系是向上彎曲的拋物線，能帶頂是向下彎 曲的拋物線3)在k遠離 處，電子的能量與自由電子的 能量相近圖5.2 近自由電子的能帶 圖5.3 能帶 (a)周期性表示和簡約布里淵區(qū)表示 (b) 拋物線型表示 電子的能帶有三種繪制方法 5.5 布里淵區(qū) 簡約布里淵區(qū)內(nèi)包含的

6、波矢數(shù)目恰好等于原胞的數(shù)目；當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時，電子將遭受到與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族的反射，此時電子的能帶出現(xiàn)能隙。因此有必要對布里淵區(qū)邊界作進一步的認識。一、二維方格子設(shè)方格子的原胞基矢為 則倒格子的原胞基矢為 離原點最近的倒格點有四個： 它們的垂直平分線圍成的區(qū)域就是簡約布里淵區(qū)，即第一布里淵區(qū)。是一個正方形，面積為 離原點次近的4個倒格子點分別是 它們的垂直平分線與第一布里淵區(qū)邊界圍成的區(qū)域就是第二布里淵區(qū)。離原點再遠一點的倒格點有四個，分別是 它們的垂直平分線與第一、第二布里淵區(qū)邊界圍成的區(qū)域就是第三布里淵區(qū)。圖5.5 二維方格子布里淵區(qū)58 電子的平均速度 平均加速度

7、和有效質(zhì)量一、晶體中電子的平均速度 由量子力學(xué)可知，電子不能同時具有確定的位置和速度，但其位置和速度的平均值是確定的。電子的平均速度通常用波包描述波矢為k的電子波包-由k0為中心，在k范圍內(nèi)的布洛赫波函數(shù)疊加所組成的波包中心位置表示電子位置。電子運動的平均速度，相當(dāng)于以k0為中心波包移動速度二、電子的平均加速度和有效質(zhì)量 在外力Fx作用下,晶體電子的加速度.按照力學(xué)的原理,在dt時間內(nèi)電子獲得的能量dE等于外力所作的功,即或?qū)懗呻娮拥募铀俣葘?的表達示代入上式,得同牛頓定律比較確定電子的有效質(zhì)量m*的倒數(shù)在k0附近能量較高的能帶能帶底部電子的有效質(zhì)量為在k0附近能量較低的能帶能帶頂部電子的有效

8、質(zhì)量為這是一個正的量這是一個負的量 晶體中電子的有效質(zhì)量m*不同于自由電子的質(zhì)量m,這是因為計入周期場的影響，這種影響主要通過布拉格反射的形式在電子和晶格之間交換動量。 當(dāng)電子從外場中獲得的動量大于電子傳遞給晶格的 動量時，有效質(zhì)量m0； 當(dāng)電子從外場獲得的動量小于電子傳遞給晶格的動 量時mo； 當(dāng)電子從外場獲得的動量全部交給晶格時m 此時電子的平均加速度為零。59 等能面 能態(tài)密度一、等能面 k空間內(nèi)，電子的能量等于定值的曲面稱為等能面對于自由電子，能量為 所以其等能面為一個個同心球面在絕對零度時，電子將能量區(qū)間 占滿， 稱為費密能。 對應(yīng)能量 的等能面稱為費密面kF稱為費密半徑也就是說，在絕對零度時，電子占滿半徑為kF的一個球二、