人教a版數(shù)學(xué)【選修1-1】作業(yè)：2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)(含答案)

1、2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)【課時(shí)目標(biāo)】1.了解拋物線的幾何圖形，知道拋物線的簡單幾何性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用拋物線 方程研究拋物線的幾何性質(zhì)的方法.2. 了解拋物線的簡單應(yīng)用.知識(shí)梳理.拋物線的簡單幾何性質(zhì)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2= 2Px(p0)(1)范圍：拋物線上的點(diǎn)(x, y)的橫坐標(biāo)x的取值范圍是 ,拋物線在y軸的 側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也,拋物線向右上方和右下方無限延伸.(2)對稱性：拋物線關(guān)于 對稱，拋物線的對稱軸叫做 .(3)頂點(diǎn)：拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的 .拋物線的頂點(diǎn)為(4)離心率：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的,用e表示，其值為.(5)拋

2、物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為 ,這就是p的幾何意義，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 為2焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為 .直線與拋物線的位置關(guān)系直線y= kx+ b與拋物線y2= 2px(p0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于 x的方程的解的個(gè)數(shù).當(dāng) kw0時(shí)，若 A0,則直線與拋物線有 個(gè) 不同的公共點(diǎn)；當(dāng) A= 0時(shí)，直線與拋物線有 個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng) A0), AB為過焦點(diǎn)的一條弦,A(xi, y1), B(x2,均,AB的中點(diǎn)M(xo,y。)，則有以下結(jié)論.(1)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.(2)|AB|= 2(xo + 2)(焦點(diǎn)弦長與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系 ).|AB|=x + x2+p.2(4)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定

3、值，即x1x2 = J4，y1y2=p2作業(yè)設(shè)計(jì)、選擇題(2,3),它的方程是().頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線過點(diǎn)x2= 2y 或 y2= 4xy2= 9x 或 x2=3y c. y2=-9xD.2 4x = 3y2,若拋物線y2= 2px (p0)上三個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，那么這三個(gè)點(diǎn)到拋物 線焦點(diǎn)F的距離的關(guān)系是()A.成等差數(shù)列B.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列C.成等比數(shù)列D.既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列 TOC o 1-5 h z .已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線 準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A.邛B. 3C.乖D.2.設(shè)

4、斜率為2的直線l過拋物線y2=ax(aw0)的焦點(diǎn)F,且和y軸交于點(diǎn)A,若OAF(O 為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為()A . y2= %xB. y2= z8xy2= 4xD . y2= 8x5.設(shè)直線li： y=2x,直線12經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),拋物線C：y2=4x,已知l1、I2與C共有三個(gè)交點(diǎn)，則滿足條件的直線12的條數(shù)為()A. 1B. 26.過拋物線y2=ax (a0)的焦點(diǎn) 分別為p、q,則1+1等于()p q1A. 2aB.C. 3D. 4F作一直線交拋物線于 P、Q兩點(diǎn)，若PF與FQ的長題號(hào)123456答案4C. 4aD.-a、填空題.已知拋物線 C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦

5、點(diǎn)在 x軸上，直線y = x與拋物線C交于A, B 兩點(diǎn)，若P(2, 2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線 C的方程為 .已知F是拋物線C: y2=4x的焦點(diǎn)，A、B是拋物線C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段 AB的中點(diǎn) 為M(2,2),則 ABF的面積等于 .過拋物線x2=2py (p0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為30的直線，與拋物線分別交于 A、B兩 點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸的左側(cè)),則| =.三、解答題.設(shè)拋物線y=mx2 (mw0)的準(zhǔn)線與直線y= 1的距離為3,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.11.過點(diǎn)Q(4,1)作拋物線y2=8x的弦AB,恰被Q所平分，求AB所在的直線方程.【能力提升】.設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l, P為拋

6、物線上一點(diǎn)，PAX l, A為垂足，如 果直線AF的斜率為小,那么|PF|等于()A. 4gB. 8C. 873D. 16.已知直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于 A、B兩點(diǎn).(1)若|AF|= 4,求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)求線段AB的長的最小值.拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離問題，可轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.直線與拋物線的位置關(guān)系，可利用直線方程與拋物線方程聯(lián)立而成的方程組的解來 判定；“中點(diǎn)弦”問題也可使用“點(diǎn)差法”.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)答案知識(shí)梳理(1)x 0右 增大 (2)x軸拋物線的軸頂點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)(4)離心率 1 (5)p 2k2x2+ 2(kb- p)x+ b2= 0

7、兩 一 沒有平行或重合一作業(yè)設(shè)計(jì)B 由題意知所求拋物線開口向上或開口向左，利用待定系數(shù)法可求得方程.A 設(shè)三點(diǎn)為 P1(x1, y1)，P2(x2, y2), P3(x3, y3),則 y2=2px1, y2= 2px2, y2=2px3,因?yàn)?2y2=y2 + y3,所以 x + x3=2x2,即 |PF| p+|P3F|2=2所以 |PF|十 |P3F|=2|P2F|.A |PF|.1 一如圖所示，由拋物線的定義知，點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=鼻的距離d等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離因此點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離之和可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)點(diǎn)F的距離之和，其最小值為點(diǎn) M(0,2)到點(diǎn)

8、F?, 0:的距離，則距離之和的最小值為弋4+；2 .4. By2 = ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為a,過焦點(diǎn)且斜率為2的直線方程為y=2x-：，令x= 0 得 y =a2.1v!aJv|aJ /.22*4*2=4,a=64,a=18.C,點(diǎn)P(2,1)在拋物線內(nèi)部，且直線 li與拋物線C相交于直線12在過點(diǎn)A或點(diǎn)B或與x軸平行時(shí)符合題意.，滿足條件的直線D 可采用特殊值法，設(shè)PQ過焦點(diǎn)F4, 04垂直于x軸,A, B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P的l2共有3條.則 |PF| = p = xp+ 弓=1+4 4a a4=2QF|=q=| 7. y2=4x/+1=2 + 2 = 4 p q a a a解析 設(shè)拋物線方程為 y

9、2=ax.將y=x代入y2=ax,得x= 0或x=a拋物線方程為y2 = 4x.8. 2解析 設(shè) A(x1，yi), B(x2, y*貝Uy2=4xi, y2 = 4x2.a c,一=2. . . a= 4.2 (yi + y2)(yi y2)= 4(xi X2).yi y24,.xi*x2, .= i.xi x2 yi + y2直線AB的方程為y-2 = x- 2,即y=x.將其代入 y2=4x,得 A(0,0)、B(4,4).2 |AB|=4V2.又F(i,0)到y(tǒng)=x的距離為 彳, S/ABF = 2X當(dāng)X4避=2.i9.03解析 拋物線x2=2py (p0)的焦點(diǎn)為F 0, p 則直線

10、AB的方程為，p 3 x+ 2,x2=2py,由 $ g p 消去 x,得 i2y2-20py+3p2=0,解得 yi = ； !.y= 3 + 2?3p y2 2 .由題意可設(shè)A(xi, yi), B(x2, y2),由拋物線的定義，可知.解由 y= mx2 (m w。)可化為 *2=2丫，i其準(zhǔn)線方程為y=就.由題意知一:=2或一：=4, 4m4m解得m =彳或m =一2. 8i6則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2= 8y或x2= 16y.解 方法一 設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦AB端點(diǎn)坐標(biāo)為A(xi, yi)、B(x2, y2),2則有 yi=8xi, TOC o 1-5 h z y2= 8x2,.Q(4

11、,1)是AB的中點(diǎn)，- xi + X2= 8, yi + y2=2.一，得(yi + y2)(yi y2)= 8(x1 X2).將代入得 yi y2 = 4(Xi X2),yi -y2即 4 =, - k= 4.Xi 一 X2所求弦AB所在的直線方程為y-i=4(x-4),即4x-y- i5=0.方法二 設(shè)弦AB所在直線方程為y= k(x-4)+i.消去x,由尸X,|y= k(x-4)+ i,得 ky2 8y-32k+ 8=0,此方程的兩根就是線段端點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,加8 -付 yi+y2=,又 yi+y2=2, k= 4. k所求弦AB所在的直線方程為 4

12、x- y- i5= 0. B如圖所示，直線AF的方程為y= 43(x2),與準(zhǔn)線方程x= 2聯(lián)立得A(2,4，3). 設(shè) P(x0,4/3),代入拋物線 y2=8x,得 8X0=48,.0= 6,. |PF|=Xo+2=8,選 B.解 由y2=4x,得p=2,其準(zhǔn)線方程為 x=- i,焦點(diǎn)F(i,0).設(shè)A(x1，yi),B(X2, y2).分別過A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為 A、B.(i)由拋物線的定義可知，|AF |= xi + 2,從而 Xi= 4 i = 3.代入y2=4x,解得yi=上/3.，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,273)或(3, - 2/3).(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為

13、y=k(x-1).與拋物線方程聯(lián)立y=k(x- 1) y2= 4x消去 y,整理得 k2x2(2k2+4)x+k2=0,因?yàn)橹本€與拋物線相交于 A、B兩點(diǎn),4則kW0,并設(shè)其兩根為xi, x2,則xi+x2 = 2 +后.由拋物線的定義可知，4|AB|= xi+ X2 + p=4 + r24.k當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為此時(shí) |AB|= 4,所以，AB|4,即線段AB的長的最小值為x=1,與拋物線相交于A(1,2), B(1, 2),4.第一章章末總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一四種命題間的關(guān)系命題是能夠判斷真假、用文字或符號(hào)表述的語句.一個(gè)命題與它的逆命題、否命題之間 的關(guān)系是不確定的， 與它的逆否

14、命題的真假性相同， 兩個(gè)命題是等價(jià)的； 原命題的逆命題和 否命題也是互為逆否命題.【例1】判斷下列命題的真假.(1)若x e A U B,則x e B的逆命題與逆否命題；(2)若0 x5,則|x- 2|3的否命題與逆否命題；設(shè)a、b為非零向量，如果 ab,則ab=0的逆命題和否命題.知識(shí)點(diǎn)二充要條件及其應(yīng)用充分條件和必要條件的判定是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，綜合考察數(shù)學(xué)各部分知識(shí)，是高考的熱點(diǎn)，判斷方法有以下幾種：(1)定義法(2)傳遞法：對于較復(fù)雜的關(guān)系，常用推出符號(hào)進(jìn)行傳遞，根據(jù)這些符號(hào)所組成的圖示 就可以得出結(jié)論.互為逆否的兩個(gè)命題具有等價(jià)性，運(yùn)用這一原理，可將不易直接判斷的命題化為其逆否命題

15、加以判斷.(3)等價(jià)命題法：對于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的充分條件、必要條件的判斷，往往利用 原命題與其逆否命題是等價(jià)命題的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(4)集合法：與邏輯有關(guān)的許多數(shù)學(xué)問題可以用范圍解兩個(gè)命題之間的關(guān)系，這時(shí)如果 能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想(如數(shù)軸或Venn圖等)就能更加直觀、形象地判斷出它們之間的關(guān)系.【例2】 若p： 2a0,0b1 ; q：關(guān)于x的方程x2+ax+ b=0有兩個(gè)小于1的正根， 則p是q的什么條件？【例3】 設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+ 3a20, a0.且稅p是稅q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.知識(shí)點(diǎn)三邏輯聯(lián)結(jié)詞的應(yīng)用對于含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題，根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，利用

16、真值表判定真假. 利用含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假，判定字母的取值范圍是各類考試的熱點(diǎn)之一. 例4】判斷下列命題的真假.對于任意x,若x-3= 0,則x-30;(2)若 *=3或*= 5,則(x3)(x6)=0.例5 設(shè)命題p：函數(shù)f(x)=lg ax2-x+T16a j的定義域?yàn)镽；命題q：不等式十14 ;對任意實(shí)數(shù)x, x0;(4)有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù).例7 已知函數(shù)f(x) = x2-2x+5.(1)是否存在實(shí)數(shù) m,使不等式 m + f(x)0對于任意xC R恒成立，并說明理由.(2)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)xo,使不等式mf(xo)0成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.章末總結(jié)重點(diǎn)解讀例1解 若xSLB,則xB是

17、假命題，故其逆否命題為假，逆命題為若xCB,則xALB,為真命題.0 x5,2x 23,-0 x-2|3.原命題為真，故其逆否命題為真.否命題：若 x5,則|x2|3.115例如當(dāng) x=- 2,-2-2 =23.故否命題為假.(3)原命題：a, b為非零向量，ab? ab=0為真命題.逆命題：若a, b為非零向量，a b= 0? aXb為真命題.否命題：設(shè)a, b為非零向量，a不垂直b? abw。也為真.【例2 解 若a=1, b= 1，則a= a2-4b0,關(guān)于x的方程x2+ax+b = 0無實(shí)根， 故p*q.若關(guān)于x的方程x2 + ax+b=0有兩個(gè)小于1的正根，不妨設(shè)這兩個(gè)根為 x1、x

18、2, 且 0 x1 W x21 ,則 x1 + x2= a, x1x2=b.于是 0- a2,0b1 ,即一2a0,0b1,故 q? p.所以，p是q的必要不充分條件.例 3解 設(shè) A= x|p = x|x2 4ax+3a20, a0 = x|3axa, a0. B=x|q =x|x2-x-60=x|x 2.稅p是稅q的必要不充分條件，. q是p的必要不充分條件.aw 43a 2. A B,或、a0、a0, 一 2一，、解得qw a0 或 a。恒成立得a0aA= 1 -4X aX2.q：由y2x+11 ,則 x = 2, t2-1. t1 + a-2-,2(t1)1 均成立. 2) . a 1.t+1.p或q為真，p且q為假，p與q一真一假