數(shù)學中特殊的曲線匯總和公式

1、數(shù)學中特殊的曲線匯總和公式5 旋輪線 6 旋輪線也叫擺線7 旋輪線是最速降線 8 心形線 9 星形線 10 圓的漸伸線 11 笛卡兒葉形線 12 13 阿基米德螺線 14 線 主 目 錄（125 ）1516231 曲邊梯形的面積4 曲邊扇形的面積19 平行截面面積為已知的立體的體積。20 半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得 一圓柱楔。求其體積。21 求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正 劈錐體的體積。22 旋轉(zhuǎn)體體積(y =f(x)繞x軸) 23 旋轉(zhuǎn)體體積(x =g(y)繞y軸） 24 旋轉(zhuǎn)體體積（柱殼法） 25 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積1817求由

2、雙紐線內(nèi)部的面積。.元素法1 化整為零2 以直代曲 (以常代變)3 積零為整yxoy=f (x)ab.分法越細，越接近精確值1. 曲邊梯形的面積f (i).元素法4 取極限yxoy=f (x)令分法無限變細.ab.分法越細，越接近精確值1 化整為零2 以直代曲 (以常代變)3 積零為整1. 曲邊梯形的面積.f (i)元素法4 取極限yxoy=f (x)令分法無限變細.分法越細，越接近精確值1 化整為零2 以直代曲 (以常代變)3 積零為整1. 曲邊梯形的面積.f (i)S =.S.ab2。0y x2.444解方程組：得交點：(8, 4)， (2,2)問題：選誰為積分變量？。3.xyo33得兩切

3、線的斜率為故兩切線為其交點的橫坐標為。S =l1l2( )do +dr =( )元素法1 取極角為積分變量， 其變化區(qū)間為,以圓扇形面積近似小曲邊扇形面積，得到面積元素：.4. 曲邊扇形的面積dSS3 作定積分.rxa圓上任一點所畫出的曲線。5. 旋輪線一圓沿直線無滑動地滾動，x來看動點的慢動作圓上任一點所畫出的曲線。.一圓沿直線無滑動地滾動，5. 旋輪線2a2a0yxax = a (t sint)y = a (1 cost)t 的幾何意義如圖示ta當 t 從 0 2，x從 0 2a即曲線走了一拱a圓上任一點所畫出的曲線。5. 旋輪線.一圓沿直線無滑動地滾動，x=a (t sint)y=a (

4、1 cost)將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板6. 旋輪線也叫擺線單擺x=a (t sint)y=a (1 cost)將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板.單擺6. 旋輪線也叫擺線單擺.6. 旋輪線也叫擺線x=a (t sint)y=a (1 cost)將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板兩個旋輪線形狀的擋板, 使擺動周期與擺幅完全無關(guān)。在17世紀，旋輪線即以此性質(zhì)出名，所以旋輪線又稱擺線。單擺.6. 旋輪線也叫擺線x=a (t sint)y=a (1 cost)將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板x=a (t sint)BA答案是：當這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。最速降線問題: 質(zhì)點在重力作

5、用下沿曲線從固定點A滑到固定點B，當曲線是什么形狀時所需要的時間最短？y=a (1 cost)7. 旋輪線是最速降線生活中見過這條曲線嗎？x=a (t sint)BA答案是：當這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。最速降線問題: 質(zhì)點在重力作用下沿曲線從固定點A滑到固定點B，當曲線是什么形狀時所需要的時間最短？y=a (1 cost).生活中見過這條曲線嗎？7. 旋輪線是最速降線x=a (t sint)BA答案是：當這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。最速降線問題: 質(zhì)點在重力作用下沿曲線從固定點A滑到固定點B，當曲線是什么形狀時所需要的時間最短？y=a (1 cost)生活中見過這條曲線嗎？7. 旋輪線是最速降線

6、.x=a (t sint)BA答案是：當這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。最速降線問題: 質(zhì)點在重力作用下沿曲線從固定點A滑到固定點B，當曲線是什么形狀時所需要的時間最短？y=a (1 cost)生活中見過這條曲線嗎？滑板的軌道就是這條曲線7. 旋輪線是最速降線.xyoaa一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。8. 心形線 (圓外旋輪線)xyoa來看動點的慢動作一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。.8. 心形線 (圓外旋輪線)axyoaa2a來看動點的慢動作一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。. (圓外旋輪線)8. 心形線xyo2a

7、r = a (1+cos )0 20 r 2aPr一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。. (圓外旋輪線)8. 心形線xyoa a一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。9. 星形線(圓內(nèi)旋輪線)xyoa a來看動點的慢動作一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。.9. 星形線(圓內(nèi)旋輪線)xyoa a一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。來看動點的慢動作.9. 星形線(圓內(nèi)旋輪線)xyoa a0 2或.P.一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。.9. 星形線(圓內(nèi)旋輪線)0 xy一直線沿

8、圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動） 直線上一個定點的軌跡10. 圓的漸伸線a0 xy一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動） 直線上一個定點的軌跡.a10. 圓的漸伸線再看一遍0 xy.a一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動） 直線上一個定點的軌跡10. 圓的漸伸線0 xy.a一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動） 直線上一個定點的軌跡10. 圓的漸伸線a0 xMttaat(x,y)0 xy試由這些關(guān)系推出曲線的方程.一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動） 直線上一個定點的軌跡10. 圓的漸伸線1. 曲線關(guān)于 y= x 對稱2. 曲線有漸進線 x+y+a = 0分析3. 令 y = t x, 得參數(shù)式故在原點，曲線自身相交.11.狄卡兒葉形線4.0 xyx+

9、y+a = 0曲線關(guān)于 y= x 對稱曲線有漸近線 x+y+a=0.11.狄卡兒葉形線0 xyPr.曲線在極點自己相交，與此對應(yīng)的角度為 =.距離之積為a2的點的軌跡直角系方程12. 雙紐線0 xy.所圍面積.由對稱性.12. 例求雙紐線0rr =a曲線可以看作這種點的軌跡：動點在射線上作等速運動同時此射線又繞極點作等速轉(zhuǎn)動從極點射出半射線13. 阿基米德螺線0r曲線可以看作這種點的軌跡：動點在射線上作等速運動同時此射線又繞極點作等速轉(zhuǎn)動從極點射出半射線.13. 阿基米德螺線r =a0r曲線可以看作這種點的軌跡：動點在射線上作等速運動同時此射線又繞極點作等速轉(zhuǎn)動從極點射出半射線再看一遍請問：動

10、點的軌跡什么樣？.13. 阿基米德螺線r =a0r.13. 阿基米德螺線r =a0rr =a.13. 阿基米德螺線0rr =a.13. 阿基米德螺線r這里 從 0 +8r =a02a每兩個螺形卷間沿射線的距離是定數(shù).13. 阿基米德螺線0r8當 從 0 r =a.13. 阿基米德螺線r0.這里 從 0 +8a.14. 雙曲螺線r0.當 從 0 8a.14. 雙曲螺線xyo15.2.S = =1+cos3r =3cos由 3cos =1+cos 得交點的坐標S2.16.10 xy令 cos2 = 0,由 sin 0,聯(lián)立后得交點坐標.S = 2.xyo17.1s1s2.sS = =1+cos求由

11、雙紐線0 xy.由對稱性.18.a內(nèi)部的面積。雙紐線化成極坐標令 r = 0,S = 4+.xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面積為 A(x)的立體.aV以下是幾個例子19. 平行截面面積為已知的立體的體積b半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。R oxy20.oyRxRR20.半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。oyRxxyRR.y tan問題：還有別的方法嗎？(x, y),截面積A(x).半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。20.oyRxRR 方法2.2

12、0.半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。oyRxRR 方法2ABCDBCDC.截面積S(y) (x, y)= 2x= ytan.S(y).20.半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。 hRxoyR21. 求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂， 高為h的正劈錐體的體積。 hRxoxA(x)A(x)V =.Ry21. 求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂， 高為h的正劈錐體的體積。yxf(x)ab 曲邊梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 繞 x軸旋轉(zhuǎn)22. 求旋轉(zhuǎn)體體積xf(

13、x)abx.111111111. 曲邊梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)22. 求旋轉(zhuǎn)體體積V =x=g(y)yx0cd曲邊梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 繞 y軸23. 求旋轉(zhuǎn)體體積x=g(y)yx0cd曲邊梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 繞 y軸.23. 求旋轉(zhuǎn)體體積x=g(y)yx0cdy.23. 求旋轉(zhuǎn)體體積.曲邊梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 繞 y軸abf (x)yx024. 求旋轉(zhuǎn)體體積 柱殼法曲邊梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 繞 y 軸xdxxabyx0內(nèi)表面積.dx.24. 求旋轉(zhuǎn)體體積 柱殼法曲邊梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 繞 y 軸dV=2 x f (x)dxf (x)byx0a.24. 求旋轉(zhuǎn)體體積 柱殼法曲邊梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 繞 y 軸dV=2 x f (x)dxf (x)byx0a.24. 求旋轉(zhuǎn)體體積 柱殼法曲邊梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 繞