第20講 數(shù)學(xué)：微分方程(三)線性代數(shù)(一)(2010新版) _secret

1、 HYPERLINK / t _self PAGE PAGE 4頁(yè)線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理設(shè)有二階齊次線性方程則有例題寫(xiě)出該方程的通解二階常系數(shù)線性齊次方程二階常系數(shù)線性齊次方程的一般形式是稱為微分方程的特征方程，特征方程的根稱為特征根。按特征根的情況，可直接寫(xiě)出方程的通解如下：例題1例題2線性代數(shù)一、n 階行列式（一）n階行列式的定義設(shè)有n2個(gè)數(shù)aij（ i = 1 , 2 ， ，n ；j 1 , 2 , ，n），記號(hào)稱為n階行列式。行列式（ 1-8-1 ）也簡(jiǎn)記作 Dn或（aij）Mij稱為 Dn的對(duì)應(yīng)于元素 aij 的余子式。令A(yù)ij稱為 Dn的對(duì)應(yīng)于元素 aij 的代數(shù)余子式

2、。每個(gè)n階行列式都對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)稱為該行列式的值。記號(hào)（ 1-8-1 ）既表示行列式，又表示行列式的值。行列式的值用數(shù)學(xué)歸納法定義為按此定義即有1 階行列式2 階行列式3 階行列式計(jì)算 2 階和 3 階行列式的值時(shí)，有“對(duì)角線法則” :2 階行列式時(shí)，即把 a11 一 a 22的連線稱主對(duì)角線， a12 一 a21 的連線稱次對(duì)角線。主對(duì)角線上各元素的乘積冠， “ + ”號(hào)，次對(duì)角線上各元素的乘積冠“一”號(hào)，然后作代數(shù)和，所得結(jié)果即為 2 階行列式的值。3 階行列式時(shí)，主對(duì)角線上各元素的乘積冠， “ + ”號(hào)，次對(duì)角線上各元素的乘積冠“一”號(hào)，然后作代數(shù)和，所得結(jié)果即為3階行列式的值。（二

3、）行列式的性質(zhì)2 互換行列式中的兩行（列），則行列式的值變號(hào)。 3 行列式中如果有兩行（列）的元素相同，則行列式的值為 0。4 以數(shù) k 乘行列式的某一行（列）的所有元素，等于 k 乘這個(gè)行列式。 5 . 行列式中如果有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式的值為 0。6 如果行列式中某行（列）的元素都表為兩數(shù)之和，例如第 k 行的元素都是兩數(shù)之和：則 D 等于下列兩個(gè)行列式之和：7 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上，行列式的值不變。例如以數(shù) k 乘第 i 行加到第 j 行上，有8 行列式中任一行（列）的元素與它對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值。式（ 1-82 ）稱為行列式按第 i 行展開(kāi)公式和按第 j