新編-彈塑性力學第三章-精品課件

1、第三章 應變分析 3-1 位移和（工程）應變3-2 應變張量和轉(zhuǎn)動張量 3-3 應變張量和轉(zhuǎn)動張量的坐標變換式3-4 主應變、主應變方向、應變張量 的三個不變量3-5 變形協(xié)調(diào)條件（相容條件） 7/24/20221 在第二章我們研究了應力張量本身和體力、面力之間的關(guān)系式，即平衡規(guī)律。本章將討論變形體研究的另一個基本關(guān)系：變形與位移之間的關(guān)系。當然要以小變形假設為基礎，位移和形變相對于變形體幾何尺寸是微小的。3-1 位移和（工程）應變7/24/202223-1 位移和（工程）應變1.1位移 x2x1x3PoP 有三個分量。 Pu變形體任意點P的位移矢量7/24/202233-1 位移和（工程）應

2、變1.2 (工程)應變 工程應變是通常工程中描述物體局部幾何變化，分為正應變和剪應變。 ，（角變形）兩微元線段夾角的改變量。（工程）正應變：11、22、33 ， （工程）剪應變：12=xy、23=yz、31=zx7/24/202243-1 位移和（工程）應變工程應變共有六個分量：x1x2x3P23x1x2x3Pdx1dx2dx322dx2三個正應變，正應變以伸長為正，三個剪應變，剪應變以使直角變小為正。 7/24/202253-2 應變張量和轉(zhuǎn)動張量 應變張量和轉(zhuǎn)動張量是描述一點變形和剛體轉(zhuǎn)動的兩個非常重要的物理量，本節(jié)將討論一下它們與位移之間關(guān)系，在討論之前，先介紹一下相對位移矢量和張量.7

3、/24/20226x2x1x3PoP Q3-2 應變張量和轉(zhuǎn)動張量2.1 相對位移矢量和相對位移張量 相對位移矢量 Puu+duQ P Q7/24/202273-2 應變張量和轉(zhuǎn)動張量（ a） 而 (b) 將（b）式代入（a）式，得 2.1 相對位移矢量和相對位移張量7/24/202283-2 應變張量和轉(zhuǎn)動張量 根據(jù)商法則 令 為一個二階張量相對位移張量 7/24/202293-2 應變張量和轉(zhuǎn)動張量2.2 應變張量和轉(zhuǎn)動張量 相對位移張量 ui,j 包含了變形和剛體轉(zhuǎn)動，為了將兩者分開，對 ui,j 進行整理，張量分成對稱和反對稱張量之和。 或 7/24/2022103-2 應變張量和轉(zhuǎn)動

4、張量其中 ij = ji（對稱張量），ij = -ji （反對稱張量） 而 ij 表示變形體的形變，ij 表示了剛體轉(zhuǎn)動。 7/24/2022113-2 應變張量和轉(zhuǎn)動張量 以在平面x1 x2的兩個垂直線段PQ、PR的相對位移來說明并直觀看一下ij，ij二階張量表示了形變和剛體轉(zhuǎn)動。PQRx1x2dx1=1dx2=17/24/2022123-2 應變張量和轉(zhuǎn)動張量相對位移 u1 ,1PRQRQx1x2dx1=1dx2=1u1 ,2u2 ,1u2 ,2PQRu1、u2x1x2dx1=1dx2=17/24/2022133-2 應變張量和轉(zhuǎn)動張量11，12= 21，22 純變形 12= -21 純轉(zhuǎn)

5、動 12=(u1 ,2 +u2 ,1 ) /222=u2 ,211=u1 ,121= (u2 ,1 +u1 ,2 )/ 2(+)/2+x2 x1 12= (u1 ,2 -u2 ,1 ) /221=(u2 ,1 -u1 ,2 ) /2x2 x1 7/24/2022143-2 應變張量和轉(zhuǎn)動張量2.3 轉(zhuǎn)動張量的對偶矢量 由純剛體轉(zhuǎn)動可見，12= -21，正好相當于一個沿 x3 軸方向的轉(zhuǎn)動矢量 ，方向為 ，其大小 3:類似可得，其它兩個坐標平面轉(zhuǎn)動矢量，7/24/2022153-2 應變張量和轉(zhuǎn)動張量綜合三個坐標面的轉(zhuǎn)動矢量 ： 為轉(zhuǎn)動張量的對偶矢量。 7/24/2022163-2 應變張量和轉(zhuǎn)

6、動張量比較工程應變定義和應變張量，可得： 7/24/2022173-3 應變張量和轉(zhuǎn)動張量的坐標變換式 在 xk 坐標系中，已知變形體內(nèi)任一點應變張量 kl 和轉(zhuǎn)動張量 kl ，則在新笛卡爾坐標系xi中此點應變張量ij和 ij 均可以通過二階張量的坐標轉(zhuǎn)換式求出它們。即： 7/24/2022183-4主應變、應變方向應變張量的三 個不變量 確定一點的主應變和應變主方向方法與求主應力和應力主方向的方法完全一致，求主應變的方程 分別為應變張量的三個不變量。 解出1、2、3 （實根） 7/24/2022193-4 主應變、應變方向應變張量的三個不 體積應變 當 1 2 3 時（三個主應變不相等），三

7、個主方向相互垂直。 變量7/24/2022203-5 變形協(xié)調(diào)條件（相容條件） 在本章第二節(jié)中我們討論了一點的應變張量，它包含了一點的變形信息，應變張量與位移微分關(guān)系稱為幾何方程（共六個）。如果已知變形體的位移 狀態(tài)， 則由這六個方程直接求出應變張量，但反之由六個獨立的任意 ij求ui不行。7/24/2022213-5 變形協(xié)調(diào)條件（相容條件） 因為ij 僅包含形變，由其求出位移時，剛體位移是無法確定的，因此，位移 無法確定。 ij 分量之間必須滿足一定的條件（方程），才能由幾何方程積分求出單值連續(xù)的位移場ui、ij的分量必須滿足的方程稱為變形協(xié)調(diào)方程或相容方程。7/24/2022223-5

8、變形協(xié)調(diào)條件（相容條件） 變形協(xié)調(diào)方程共有六個，可由幾何方程直接導出。即： 7/24/2022233-5 變形協(xié)調(diào)條件（相容條件）7/24/2022243-5 變形協(xié)調(diào)條件（相容條件）7/24/2022253-5 變形協(xié)調(diào)條件（相容條件）7/24/2022263-5 變形協(xié)調(diào)條件（相容條件）7/24/2022273-5 變形協(xié)調(diào)條件（相容條件）用指標符號表示： 或 用張量表示： 7/24/2022283-5 變形協(xié)調(diào)條件（相容條件）結(jié)論： 應變張量 ij 滿足變形協(xié)調(diào)方程是保證單連域的位移單值連續(xù)解存在的必要和充分條件。 對于復連域還需附加補充條件位移單值條件。 單連域：變形體內(nèi)的任何一條封閉

9、線當縮小時均能變?yōu)橐稽c，當不滿足時為多連域。 7/24/2022293-5 變形協(xié)調(diào)條件（相容條件） 對于多連域附加補充條件辦法為： 假想通過適當截斷，使域為單連域.在截斷面 ab 兩側(cè) u+i = u -i即為補充條件。 abu+u -7/24/202230作業(yè)： 1. 給定位移分量 u1= cx1(x2+x3)2, u2=cx2(x1+x3)2, u3=cx3(x1+x2)2 此處 c為一個很小的常數(shù)，求應變張量ij 和轉(zhuǎn)動張量 ij 。 2. 將直角坐標系繞x3軸轉(zhuǎn)動角，求新坐標系應變分量的轉(zhuǎn)換關(guān)系。7/24/202231作業(yè)：3. 假定體積不可壓縮，位移 u1(x1,x2) 與u2(x1,x2) 很小， u3=0。在一定區(qū)域內(nèi)已知 u1=c(1-x22)(a+bx1+cx12) ,其中a、b、c為常數(shù)，且12=0，求 u2(x1,x2)。4. 試分析以下工程應變狀態(tài)能否存在 （1）11=k(x12+x22) x3 , 22=kx22x3 , 33=0 12=2k x1 x2 x3, 23= 13=0 7/24/202232作業(yè)：