重慶一中2015屆高三一診模擬考試數(shù)學(xué)理試題版含詳細(xì)答案

1、2015年重慶一中高2015級高三上學(xué)期一診 模擬考試【試卷綜述】全卷重點考查中學(xué)數(shù)學(xué)主干知識和方法；側(cè)重于中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)知識和基 本技能的考查；側(cè)重于知識交匯點的考查。高中數(shù)學(xué)的主干知識如函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線、 等仍然是支撐整份試卷的主體內(nèi)容，尤其是解答題，涉及內(nèi)容均是高中數(shù)學(xué)的重點知識。明 確了中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)方向和考生的學(xué)習(xí)方向【題文】一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）。l+3i【題文】1 .復(fù)數(shù)z= 1 （其中i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.L4【答案】【解析】D 解析：復(fù)數(shù)z=

2、i=JlLl=3-i,i ipi復(fù)數(shù)z=l2k （其中i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點（3, -1）.在第四象限.1故選：D.【思路點撥】化簡復(fù)數(shù)為 a+bi的形式，即可得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限.,木- c 佳人 A = 0,1,m B=x0 x2 AcB=1,mm 砧旭/擊*【題又】2.已知集合,，若，則m的取值范圍是（）A. （0,1）B. （1,2）C （0J） （1,2）D （0,2）【知識點】交集的運算.A1A 1 B = :1 mf ,【答案】【解析】C 解析：因為由A B j”“可知0 Vm 2 ,再根據(jù)集合中元素的互異性可得m11,所以m的取值范圍是(0J) (1,2

3、),故選 C.【思路點撥】先由集合的交集的概念可知0Vm Q 貝1P： ?x R, x2-x+1v0,B.若命題pVq為真，則pAq為真C. 一組數(shù)據(jù)1, 2, 3, 3, 4, 5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都相同A A Ad.根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為y = bx+a,若A -Ab =2 , x =1 , y=3,則 a=1【知識點】命題的真假判斷與應(yīng)用.A2【答案】【解析】B 解析：若命題P: ?xoR, xo2- xo+1 0,則P： ?x R, x2- x+1 4-A4 一工 2X2X(一工) 23 6236232一2 一.3故選：A【思路點撥】在等腰 A

4、ABC中，/BAC=120, AB=AC=2,正二2麗，正二3旋，再利用平面向量數(shù)量積的運算即可。【題文】6 .定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-X)=-f(x), f(x) = f (x + 4),且XW (-1,0)時, TOC o 1-5 h z ,-X 1f x =25 貝u f (log2 20)=44A. 1B. 5C. -1D.5【知識點】函數(shù)的周期性；函數(shù)的值. B1 B4【答案】【解析】C解析：:定義在R上的函數(shù)f (x)滿足f (-x) =-f (x),.函數(shù)f (x)為奇函數(shù) 又.f (x - 2) =f (x+2).函數(shù)f (x)為周期為4是周期函數(shù)又og232 log

5、220 log216-4log2200 皿上,設(shè)函數(shù)g （x），或0-x (x+4), x0,，結(jié)合函數(shù)g (x)-x (x+4), x0,0的圖象可求.【題文】8.數(shù)列a共有11項，a1=4,且書-ak尸11）2），10。滿足這種條件的不同數(shù)列白個數(shù)為（）A. 100B. 120C. 140D. 160【知識點】數(shù)列的應(yīng)用.D5【答案】【解析】B 解析：.|ak+1-改|=1,ak+1 ak=1 或 ak+1 ak= - 1設(shè)有x個1,則有10 - x個-1-an - a1= (a11 a10)+ (a10由)+ (a2a1).4=x+ (10-x) ? ( - 1)x=7.這樣的數(shù)列個數(shù)有

6、 7 =120. b10故選：B.【思路點撥】根據(jù)題意，先確定數(shù)列中1的個數(shù)，再利用組合知識，即可得到結(jié)論.題文9 .拋物線y=2x2上兩點Aoy1),火4/2)關(guān)于直線y=x+m對稱，若1 TOC o 1-5 h z x1x2 =八2 ,則2m的值是().A.3B.4C.5D.6【知識點】直線與圓錐曲線的關(guān)系.H8【答案】【解析】A 解析：由已知得kAB= - 1,且AB的中點C (x0, y0)在直線y=x+m上，設(shè)直線AB的方程為y= -x+n,聯(lián)立，尸消去y并整理得2x2+x - n=0, 1尸2/rA=l+8n0依題意得，*n 1n=1 .又 Xi+x2=, 21 一 5X0= y0

7、= - xo+1 = .44C(X0, y0)在直線 y=x+m 上，5-=一3+m,44解得m=.所以2m=3,故選A. 2【思路點撥】由已知先求出kAB,然后由AB的中點C (x0, y0)在直線y=x+m上，可設(shè)直線AB的方程為y=-x+n,聯(lián)立直線AB與拋物線方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系即可求解n,然后再由中點在直線 y=x+m上，代入其中即可求 m即可得到結(jié)論?！绢}文】10. sin410”+sin450” + sin4 70=()A. 1 B, 8C.4D.【知識點】二項展開式；兩角和與差的正弦公式J3 C7【答案】【解析】B 解析：原式=sin 410。+sin4 (60。- 1

8、0。)+sin4 (60。+10。).40=sin 10 +44010cos10 sin10240 . 10cos10 +-sin10240 , 1820 . 20 , 1. 40cos 10 + cos 10 sin 10 +sin 101616940 . 1820 . 20,9.40cos 10 + cos 10 sin 10 + sin 104020.2040os 10 +2cos 10 sin 10 +sin 1092020 29,=-/cos 10 +sin 10、二一，故選 B.8() 8【思路點撥】先利用二項展開式，再結(jié)合兩角和與差的正弦公式展開即可?！绢}文】二、填空題(本大題共

9、6小題，每小題5分，請按要求作答 5小題，共25分)2、【題文】11.已知隨機變量滿足正態(tài)分布 N(u,o)，且P(2)=0.4 ,則P(0 :：: 1 )=【知識點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.I3E服從正態(tài)分布N (1,2、b ),【思路點撥】隨機變量E服從正態(tài)分布N (1, o2),得到曲線關(guān)于x=1對稱，根據(jù)曲線的對稱性得到P (0v & 1).2 x 【題文】12.設(shè),a為雙曲線a22 y b2-1的左右焦點，以F1F2為直徑作圓與雙曲線左支交于A,B兩點，且，AFiB=120則雙曲線的離心率為【知識點】雙曲線的應(yīng)用.H6【答案】【解析】J3 + 1解析：二.以線段F1F2

10、為直徑的圓交雙曲線左支于A, B兩點，且zAFiB=120,8FiA是等邊三角形1AFll=c，|AFz I二行C，：.1- |l，J一 ：；- ?-=a 73 - 1故答案為邪+ 1。【思路點撥】根據(jù)以線段F1F2為直徑的圓交雙曲線左支于 A,B兩點，且匕3=120。,可得8F1A 是等邊三角形，再利用雙曲線的定義，即可求得離心率，從而可得結(jié)論.3x - y - 2 0 x -y _ 0題文13.設(shè)x，y滿足約束條件I x之Qy 之0 ,若目標(biāo)函數(shù)z = ax+by(aA0,b0)的最11., 二、二y = sin(mx;)大值為2,當(dāng)a b的最小值為 m時，則3的圖象向右平移 6后的表達(dá)式

11、為【知識點】函數(shù)y=Asin Ox+6的圖象變換；簡單線性規(guī)劃.C4 E53x - y - 2 0, b0)的最大值為 2即：a+b=2所以：一. 二 二：a b 2b 2a則：則y=sin (2x+ )的圖象向右平移 匹后的表達(dá)式為：y=sin2x36故答案為：y=sin2x【思路點撥】首先根據(jù)線性規(guī)劃問題和基本不等式求出函數(shù)的最值，再利用正弦型函數(shù)的圖象變換問題，求出結(jié)果.【題文】考生注意：1416題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分.【題文】14.如圖，&ABC的角平分線 AD的延長線交它的外接圓于點E.若AABC的面積S =1 AD AE2,則NBAC的大小為【知

12、識點】與圓有關(guān)的比例線段。N1【答案】【解析】p 解析：ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于 E, 2. ZBAE= JCAD ,.SEB與CB是同弧上的圓周角，.,EB= CD ,必BEcADC, .坨二 即 AB ?AC=AD ?AE ,AE-AC. c 1.L _ 1S=5ABACsinNBAC，且 s=fAD，AE， ww.AB?AC?sin/BAC=AD ?AE,. sinzBAC=1 ,又/BAC是三角形內(nèi)角，D. ZBAC=.2故答案為：p .2【思路點撥】 由題設(shè)條件推導(dǎo)出 ABEcADC ,從而得到 AB?AC=AD?AE,再由SAB-AC-sinZBAC,且 S=DA

13、E,能求出 sinzBAC=1,由此能求出/ BAC.【題文】15.在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.直x = 2 3t線口 =1+t（t為參數(shù)）與曲線p = 2asin6（ 0為參數(shù)且a0）相切，則a =,【知識點】極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程；直線與圓的位置關(guān)系.N3廠【答案】【解析】 解析：由* =2asin ,得r 2 =2r asinq ,3一 22222?X=2+J3t.1 所以x + y = 2ax ,即曲線C的方程為（x-a） + y = a ,又由i得直線方程為?y =1 +tx-底+B 2 = 0,則a+,3-2=a ,解得a =

14、 J3 - 2或,因為a 0 ,所以3.3 a =,故答案為32- ,33【思路點撥】把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)直線和圓相切的性質(zhì)求出m的值.【題文】16.若不等式lx-1 +Ix-2I -a a+1的解集不為0,則實數(shù)a的取值范圍是 .【知識點】絕對值不等式的解法.N4【答案】【解析】(-? , 1U0，+ ) 解析：: |xT|-|x - 2|=|x- 11T2 - x|gxT - x+2|=1若不等式|x-1|-|x-2問2+a+1 (xCR)的解集 不為空集，即a2+a+1*，解得x2+a+1 (xCR)的解集 不為空集，即a2+a+1刁 解不等式可得實數(shù) a的取值范

15、圍.【題文】三、解答題(本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、 證明過程或演算步驟.)13【題文】17.(本題滿分13分)已知等比數(shù)列an的公比q=3,前3項和S3=3.若函數(shù)JI x -1 f (x) =Asin(2x+中)0,。中冗)在 6處取得最大值，且最大值為生。(1)求函數(shù)f(x)的解析式. TOC o 1-5 h z 0(3131f( ) =1：- (,.) sin(a )(2)若 2,2,求 2的值?！局R點】函數(shù)的解析式；三角函數(shù)的恒等變形.B1 C7【答案】【解析】(1) f (x) =3sin(2x+p) ； (2) 1- 2芯 66S .a1(1-q3) _a1(

16、1-27) _131S3a1二_2解析：(1)由1-q1一33 得 3, a3=a1q =3由已知有A=3,31dA JIeTE2- 2k-：.=2k,k Z62,6f （x） =3sin（2 x ：一）6（6分）1f （） =3sin（：）=1 . sin（：）:（2）2663。三.三 2 二 7：，三 2 2_: 二（，二）：工，二（,）.COS（二 ）- ：二 0263663JlIHH I.sin（-, : ） =cos： - cos （, : ） - cos（：2_66）cos : sin（二,）sin = 66661 -2 66（13 分）【思路點撥】(1)先由得到&得到A,進(jìn)而可得

17、A以及j的值，然后寫出解析式即可；(2)p 1 根據(jù)已知得到sin(a +-)=-,再進(jìn)行變角，結(jié)合兩角差的余弦公式即可得到結(jié)果。63【題文】18.(本題滿分13分)現(xiàn)有3所重點高校A,B,C可以提供自主招生機會，但由于時間 等其他客觀原因，每位同學(xué)只能申請其中一所學(xué)校，且申請其中任一所學(xué)校是等可能的?，F(xiàn) 某班有4位同學(xué)提出申請，求：(1)恰有2人申請A高校的概率；匕(2) 4人申請的學(xué)校個數(shù)的分布列和期望.【知識點】離散型隨機變量的期望與方差.K6【答案】【解析】(1) -8-； (2)見解析。27解析：(I)由題意知本題是一個等可能事件的概率試驗發(fā)生包含的事件是 4個人中，每一個人有 3種

18、選擇，共有34種結(jié)果, 滿足條件的事件是恰有 2人申請A學(xué)校，共有C：22種，根據(jù)等可能事件的概率公式得到P= =27(II)由題意知E的可能取值是1, 2, 3（6分）_3 X, 、下傳 ,P （ E =1 =, P （ E =2 =C2A3 .P （ E =3 =E的分布列是：3427【思路點撥】(1)所有可能的方式有34種，恰有2人申請A大學(xué)的申請方式有種，從而然后利用概率公式進(jìn)行求解;(2)=1, 2, 3,然后分別求出相應(yīng)的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可;【題文】19.(本題滿分13分)f (x) = 2sin( x - )cos x sin xcosx 3sin2

19、x已知函數(shù)3x R)(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在MBC中，B為銳角，且f (B) =3AC=4&, D 是 BC 邊上一點，AB = AD,試123P114272791141M*+2X*+3X(13 分)E =C5 C6 C4【答案】【解析】(1)!二 I, 5 二，k二，一，k二12128十4,3132f(x)=2( sin x - cosx)cosx sin xcosx 3sin x解析：(1)22= 2sinxcosx- 3(cos2 x -sin2x) =sin2x - 3cos2xJI= 2sin(2x - )一二 +2k 二 2x - 2k 二ji125 二k-： -

20、x -k 二12二單調(diào)遞增區(qū)間為-12(7分)nf 3 sin(2 B -)由f (B)3得 332 .又Ji3二 2 二：2B33 ,從而求MDC周長的最大值.【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦；正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦定理.n Jin2B - - B = 3 33由AB =AD知 MBD是正三角形， AB=AD =BD ,AD DC =BD DC =BCBC4 3二 sin . BAC sin在酸BC中，由正弦定理，得3即 BC =8sln . BAC D是BC邊上一點,以 /BAC : 2 二 3 :二 sin. BAC 133 ,2，知 4, 3BC)。(1)當(dāng)a=1時，求f(

21、x)的最小值；(2)若X0,21時，f (x)之0恒成立， 求實數(shù)a的取值范圍?！局R點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.B12【答案】【解析】(1) 0; (2) 1*)解析：(1) f(x)的定義域為(一一*)f (x) = ln( x +1)十二+ x _ 2x - 1f (x)22(x 1)2x(x 3)2(x 1) =0 得 x = 0且f (x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0*)上單調(diào)遞增,:此時f (x)的最小值為f=0(6分)(2)由(1)知當(dāng) a =1 時 f (x) -0恒成立，即ln(x +1)十一2十 x 2 圭 0 x+1恒成立;xw b 2 f(x) = ln(x+

22、1)+2+ax2*ln(x+1) +所以當(dāng) a -1 , x 0,2Jx 1x-2 - 0f (x)=當(dāng)0a0,所以該方程有兩個不等實根 xi,x2,且K x2o 由XiX2 =a 一1 ：二00a 知 x1 0 X2。二f(x)在(0，&)上單調(diào)遞減。若0 X22,則 f(X2)f(0)=0,矛盾;若x222,則f(2) 0恒成立；當(dāng) al且 xC1, 3時，f (x) =lnx+ax 3+oQ/191 Si V +k 2(a1) xlnx+x30恒成立；當(dāng) 0vav1 時，f (x)=-6+&=,由此 利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù) a的取值范圍.【題文】2 1.(本題滿分12分)已知橢圓C中心為

23、坐標(biāo)原點，焦點在y軸上，過點3離心率為2 。(1)求橢圓C的方程。O為坐標(biāo)原點)。求證：直線AB與定圓T-f(2)若a，b為橢圓C上的動點，且OA_LOB (其中相切。并求該圓的方程與 AOAB面積的最小值?！局R點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的簡單性質(zhì).H5 H8(4分)B.|OB|cos(a +-),|OB|sin(a 十2+x2 =14【答案】【解析】(1) 4(2)-5y x2 =1解析：(1)橢圓方程：4B（-OBsince, OB cos a將A,B代入橢圓方程后可得:.22sin ：21 cos 1.2:cos ： =2, sin ;4OA 4OB兩式相加可得:OAOB25 OA OB,24_ OA |OBAB2|OA2|OBOA OB，AB邊上的高為1AB225相切x y二AB與定圓同時：OASDOABOB=_|OA OB:54OA OB4，一，一,當(dāng)且僅當(dāng)5, OA OB -5OAOB時取等。（12 分）（2）先由【思路點撥】（1）先設(shè)出橢圓方程，然后利用已知條件聯(lián)立組成方程組即可;OA 1OB ,再將A,B代入橢圓方程，兩式相加可判斷出AB與定圓相切，再求出面積的最小值即可。1T【題文】22.（