三角形中的角平分線

1、第一章 三角形的證明4 角平分線（2）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠證明三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等；2.角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運(yùn)用. 1.角平分線的性質(zhì)定理 定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明兩條線段相等的根據(jù)之一. 如圖, OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn), PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知) PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等)CB1A2PDEO 2.角平分線的判定定理 定理：在一個(gè)角的內(nèi)部, 且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.如圖, PD=PE, PDOA, PEOB, 垂足分別是D, E

2、(已知), 點(diǎn)P在AOB的平分線上. (在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上).這個(gè)結(jié)論又是經(jīng)常用來(lái)證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn))的根據(jù)之一.CB1A2PDEO準(zhǔn)備一個(gè)三角形紙片通過(guò)折疊找出每個(gè)角的平分線.觀察這三條角平分線, 你發(fā)現(xiàn)了什么?結(jié)論: 三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn).你想證明這個(gè)命題嗎?你能證明這個(gè)命題嗎?利用尺規(guī)作出三角形三個(gè)角的角平分線.觀察這三條角平分線, 你發(fā)現(xiàn)了什么?結(jié)論: 三角形三個(gè)角的角平分線相交于一點(diǎn).你想證明這個(gè)命題嗎?你能證明這個(gè)命題嗎?思考分析 命題: 三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn).基本思路: 我們知道, 兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)

3、. 要想證明三條直線相交于一點(diǎn), 只要能證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上即可.這時(shí)可以考慮前面剛剛學(xué)到的逆定理.如何證三條直線交于一點(diǎn)？ABCPMNDEF如圖,設(shè)ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別作BC,AC,AB的垂線,垂足分別E,F,D.BM是ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上PD=PE (角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).同理, PE=PF.點(diǎn)P在BAC的平分線上 (在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上)，并且PD=PE=PF.ABC的三條角平分線相交于一點(diǎn)P，并且P點(diǎn)到三條邊的距離相等.定理: 三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離

4、相等. 如圖, 在ABC中,BM,CN,AH分別是ABC的三條角平分且PDAB,PEBC,PFAC.BM,CN,AH相交于一點(diǎn)P,且PD=PE=PF.(三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等).ABCPMNDEF例3 如圖, 在ABC中,已知 AC=BC,C=90, AD是ABC的角平線, DEAB, 垂足為E.(1)如果CD=4cm, 求AC的長(zhǎng);(2)求證:AB=AC+CD.EDABC解:（1） AD是ABC的角平線, DEAB, DCAC, DE=CD=4cm AC=BC B=BAC(等邊對(duì)等角) C=90 B= 45 BDE= 90- 45= 45BE=DE 在等腰

5、直角三角形BDE中,EDABCEDABC解:（2）證明：由（1）的求解過(guò)程可知， RtACDRtAED(HL) AC=AE. BE=DE=CD, AB=AE+BE=AC+CD1. 如圖：直線L1、L2、L3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？ 滿足條件共4個(gè) l3l21lCBA2. 已知: 如圖, C=90,B=30 ,AD是RtABC的角平分線. 求證: BD=2CD. ABCD證明: C=90， B= 30 RtABC中，AB=2BC, BAC= 60 AD是ABC的角平分線 BAD= DAC= 30, AD=BD RtACD中，

6、AD=2CD BD=2CD3. 已知: 如圖, ABC的外角CBD和BCE的角平分線相交于點(diǎn)F.求證: 點(diǎn)F在DAE的平分線上. ABCFDE證明: BF是CBD的角平分線 F到BC,AD的距離相等 CF是BCE的角平分線 F到BC,AE的距離相等 F到AD,AE的距離相等 從而點(diǎn)F在DAE的平分線上.證明：(1) P是AOB平分線上的一個(gè)點(diǎn)， PCOA, PDOB PC=PD 在 RtPOC和 RtPOD，OP=OP RtPOC RtPOD OC=OD4. 已知: 如圖, P是AOB平分線上的一個(gè)點(diǎn),并且PCOA,PDOB,垂足分別是C, D.求證: (1)OC=OD; BAPDCO4. 已知: 如圖, P是AOB平分線上的一個(gè)點(diǎn),并且PCOA,PDOB,垂足分別是C, D.求證: (2)OP是CD的垂直平分線. BAPDCO證明：(2) 由PC=PD得P在CD的垂直平分線上 由OC=OD得O在CD的垂直平分線上 OP是CD的垂直平分線. 定理: 三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等. 如圖, 在ABC中,BM,CN,AH分別是ABC的三條角平分線且PDAB,PEBC,PFACBM,CN,AH相交于一點(diǎn)P,且PD=PE=PF (三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等).比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的