高等數學第一章-課件(2)

1、高 等 數 學 第一章 函數、極限與連續(xù)第一節(jié)函數第二節(jié)極限第三節(jié)極限的運算第四節(jié)初等函數的連續(xù)性第五節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 第一節(jié) 函數 函數一1.函數的概念定義11 給定兩個實數集D和E，若有一個對應法則f，使得對每個xD，都有唯一確定的值yE與之對應，則稱f是定義在數集D上的函數，記作y=f(x) ，xD。其中，x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為函數fx的定義域，全體函數值的集合E稱為函數的值域.如果在D中任取某一個數值x0，與之對應的y的數值y0，稱為函數f(x)在點x0處的函數值，記作y0=f(x)0 。 第一節(jié) 函數 關于函數的定義，我們進行如下說明：定義11中函數f(x)的值域

2、可以由定義域D和對應關系f所確定，因此，定義域D和對應關系f是確定函數的兩個主要因素。由此，我們說某兩個函數相同，是指它們有相同的定義域和相同的對應關系。 第一節(jié) 函數 第一節(jié) 函數 2.函數的表示法圖11常用的函數的表示方法主要有三種：（1）圖像法。如圖11所示的曲線就表示了一個函數y=f（x）。這時直線x=a與曲線y=f（x）交點P的縱坐標b就是函數值f（a）,b=f（a）。 第一節(jié) 函數 （2）列表法。三角函數表等是最常見的列表表示的函數。（3）解析法（公式法）。其圖像如圖12所示。圖12 第一節(jié) 函數 3.函數的特性1）有界性設函數f（x）的定義域為D,若存在正數M,使得對每一個xD,

3、都有f（x）M成立,則稱f（x）為上的有界函數,否則,稱f（x）為D上的無界函數。有界函數的幾何意義：若函數f（x）為D上的有界函數,則函數f（x）的圖像完全落在直線y=M與y=-M之間。 第一節(jié) 函數 第一節(jié) 函數 圖13圖14 第一節(jié) 函數 3）奇偶性設函數f（x）的定義域D關于原點對稱,若對于任意xD,都有（1）f（x）=f（-x）成立,則稱函數f（x）為偶函數；4）周期性設函數f（x）的定義域為D,若存在一個正數T,使得對于任意xD有(xT)D,且f（xT）=f（x）恒成立,則稱f（x）為周期函數,T稱為f（x）的周期。 第一節(jié) 函數 反函數與復合函數二1.反函數函數f（x）反映了兩個

4、變量之間的對應關系,當自變量在定義域D內取定一個值后,因變量y的值也隨之唯一確定。例如，在自由落體運動中,如果已知物體下落時間t，要求出下落距離s,則有公式s=12gt2(t0,g為重力加速度),這里的t是自變量而距離s是因變量。但我們也常常需要考慮反過來的問題。 第一節(jié) 函數 第一節(jié) 函數 2.復合函數在有些實際問題中,有時兩個變量之間的依賴關系不是直接的,而是通過第三個變量聯系起來的。例如，質量為m的物體做自由落體運動時,動能E是時間t的函數(不考慮空氣阻力)。 第一節(jié) 函數 第一節(jié) 函數 初等函數三1.基本初等函數在中學數學中,我們已經熟悉以下幾類函數：冪函數、指數函數、對數函數、三角函

5、數和反三角函數,將這五類函數統稱為基本初等函數。（1）冪函數y=x，是常數，R,其圖像如圖1-5所示。（2）指數函數y=ax,a是常數且a0，a1，x（-，+），其圖像如圖1-6所示。 第一節(jié) 函數 圖1-5 圖1-6 第一節(jié) 函數 圖1-7 第一節(jié) 函數 (4)三角函數。三角函數包括正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數、正割函數和余割函數6種。正弦函數y=sinx，x（-，+），y-1，1，其圖像如圖1-8所示。圖1-8 第一節(jié) 函數 余弦函數y=cosx，x（-，+），y-1，1，其圖像如圖1-9所示。圖1-9 第一節(jié) 函數 正切函數 y=tanx，kZ，xk+y（-，+），其圖像如圖1

6、-10所示。圖1-10 第一節(jié) 函數 余切函數y=cotx，kZ，xk，y（-，+）,其圖像如圖111所示。圖111 第一節(jié) 函數 第一節(jié) 函數 圖112圖113 第一節(jié) 函數 反正切函數y=arctanx，x（-，），y其圖像如圖114所示。圖114 第一節(jié) 函數 反余切函數y=arccotx，x（-，），y（0，），其圖像如圖115所示。圖115 第一節(jié) 函數 2.初等函數第二節(jié) 極 限數列極限的定義一極限概念是求某些實際問題的精確解答而產生的。例如，我國古代數學家劉徽（公元3世紀）利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法割圓術，就是極限思想在幾何學上的應用。設有一圓，首先作內接正六邊形，把它

7、的面積記為A1;再作內接正十二邊形，其面積記為A2;再作內接正二十四邊形，其面積記為A3;循此下去，每次邊數加倍，一般把內接正62n-1邊形的面積記為An(nN+).這樣，就得到一系列內接正多邊形的面積。第二節(jié) 極 限例如,數列(3)與(4)均為發(fā)散數列。因為數列(-1) n的每一項值隨著n的改變在1和1這兩個數值上擺動,從而不能無限接近于某一個確定的數值；數列n2由于它的通項n2隨著n無限增大,也在無限制的增大,從而不能無限接近于某一個確定的數值,所以這兩個數列都不收斂。一般地,有如下數列極限的定義。第二節(jié) 極 限收斂數列的性質二定理1-1（極限的唯一性） 如果數列xn收斂，那么它的極限唯一

8、。定理1-2（收斂數列的有界性） 如果數列xn收斂，那么數列xn一定有界。 定理1-3（收斂數列與其子數列的關系） 如果數列xn收斂于a,那么它的任一子數列也收斂，且極限也是a。第二節(jié) 極 限函數的極限三1.x趨于無窮大時函數的極限x趨于無窮大表示自變量的絕對值無限增大,記為x。顯然,同時包含兩種情況：當x0時,記為x+（讀作x趨于正無窮大）；當x0時,記為x-（讀作x趨于負無窮大）?？疾旌瘮礷(x)=SX(1xSX)和g(x)=arctanx的圖像（如圖1-16和圖1-17所示）第二節(jié) 極 限圖116 圖117第二節(jié) 極 限第二節(jié) 極 限2.x趨于有限值時函數的極限x趨于某一定數x0,它表示

9、自變量x以任何方式從x0的左、右兩側趨近于x0,記為xx0。通常x從x0的左側趨近于x0記為xx0-,x從x0的右側趨近于x0記為xx0+.可見,xx0同時包含xx0-和xx0+兩個過程。第二節(jié) 極 限由圖118可見。 由圖119可見,函數f(x)=x+2,當x無限趨近于2而不等于2時,對應的函數值就無限地趨近于4。第二節(jié) 極 限圖118 圖119第二節(jié) 極 限3.單側極限有些函數在某些點的左、右兩側所對應的函數解析式不同(如分段函數中某些點)或函數僅在某一側有定義(如區(qū)間端點上),函數在這些點上的極限只能單側地加以討論。 函數圖像如圖120所示。圖120第二節(jié) 極 限無窮小量與無窮大量四1.

10、無窮小量定義19 若函數f(x)在自變量的某一變化過程中的極限為零,則稱該函數為自變量在此變化過程中的無窮小量,簡稱無窮小。通常函數極限有x+,x- , x,xx0 + ,xx0 -,xx0這六種情形。因此,只簡單地說函數是無窮小量是不確切的,還必須指出x的趨近方式。第二節(jié) 極 限另外，無窮小是一個以0為極限的函數，不要把它與很小的數混淆起來。除了常數0可作為無窮小之外,其他任何常數,即使其絕對值很小,都不是無窮小。無窮小量有如下一些性質。性質11 有限個無窮小之和仍為無窮小。性質12 有限個無窮小之積仍為無窮小。性質13 無窮小量與有界函數之積仍為無窮小。第二節(jié) 極 限2.無窮大量定義110

11、 若函數fx在自變量的某一變化過程中絕對值fx無限增大,則稱函數fx為自變量在此變化過程中的無窮大量,簡稱無窮大。必須注意,無窮大()不是數,不可與很大的數混為一談。另外,與無窮小不同的是,在自變量的同一變化過程中,兩個無窮大相加或者是相減的結果是不確定的,須具體問題具體考慮。第二節(jié) 極 限3.無窮大與無窮小的關系第三節(jié) 極限的運算函數極限的運算法則一1.極限的四則運算法則第三節(jié) 極限的運算第三節(jié) 極限的運算第三節(jié) 極限的運算兩個重要極限二第三節(jié) 極限的運算第三節(jié) 極限的運算無窮小的比較三從第二節(jié)我們已經知道,兩個無窮小的和、差、積仍是無窮小。但是,關于兩個無窮小的商,卻會出現不同的情況。例如

12、,當x0時,3x,x2,sinx都是無窮小。兩個無窮小之比的極限的各種不同情況,反映了不同的無窮小趨于零的“快慢”程度。就上面的幾個例子來說,在x0的過程中,x20比3x0“快些”,反過來3x0比x20“慢些”，而sinx0與x0“快慢相仿”。下面就無窮小之比的極限存在或為無窮大時,來說明兩個無窮小之間的比較。第三節(jié) 極限的運算第四節(jié) 初等函數的連續(xù)性函數的連續(xù)性一1.函數在點x0的連續(xù)性函數連續(xù)的概念源于對幾何曲線的直觀分析,粗略地說,如果函數是連續(xù)的,那么它的圖像是一條連綿不斷的曲線,當然我們不能滿足于這種直觀的認識,我們需要用數學的語言給出它的精確定義。第四節(jié) 初等函數的連續(xù)性考察如圖1

13、-21所示的函數圖像。圖1-21第四節(jié) 初等函數的連續(xù)性故函數f(x)在點x=0處連續(xù),如圖1-22所示。圖1-22第四節(jié) 初等函數的連續(xù)性2.左連續(xù)、右連續(xù)第四節(jié) 初等函數的連續(xù)性3.函數在區(qū)間上的連續(xù)性第四節(jié) 初等函數的連續(xù)性間斷點二第四節(jié) 初等函數的連續(xù)性連續(xù)函數的運算三1.連續(xù)函數的和、差、積、商的連續(xù)性第四節(jié) 初等函數的連續(xù)性2.反函數與復合函數的連續(xù)性第四節(jié) 初等函數的連續(xù)性初等函數的連續(xù)性四1.初等函數的連續(xù)性第四節(jié) 初等函數的連續(xù)性2.用函數的連續(xù)性求極限第五節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質最大值和最小值定理一先說明最大值和最小值的概念。對于在區(qū)間I上有定義的函數f(x),如果有x0I,使得對任一xI都滿足 f(x)f(x0)(f(x)f(x0),則稱f(x0)是函數f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值)。第五節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質定理1-14 若函數f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則fx在a,b上有最大值和最小值（如圖1-23所示）。圖1-23第五節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質在區(qū)間0,2上有間斷點x=1,f(x)雖然在閉區(qū)間0,2上有界,但是既無最大值又無最小值。如圖1-24所示。圖1-24第五節(jié) 閉區(qū)