阿波羅尼斯圓

1、阿波羅尼斯圓一、適用題型1、已知兩個線段長度之比為定值；2、過某動點向兩定圓作切線，若切線張角相等;3、向量的定比分點公式結(jié)合角平分線；4、線段的倍數(shù)轉(zhuǎn)化；二、基本理論（一）阿波羅尼斯定理（又稱中線長公式）設(shè)三角形的三邊長分別為a,b,c ,中線長分別為ma,mb,mc,則:b2b21 a21b21 c22 2ma22 2mb22 2mc2化簡得:（二）阿波羅尼斯圓般地，平面內(nèi)到兩個定點距離之比為常數(shù) （1）的點的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”軌跡為圓心a ,0 ,半徑為|P- a的圓不妨設(shè) A a,0 ,B a,0 , AP BP a 0,0,1,若設(shè) Px,y,則（三）阿波羅尼斯圓的

2、性質(zhì)1、滿足上面條件的阿波羅尼斯圓的直徑的兩端是按照定比的兩個分點;2、直線CM平分 ACB ,直線CN平分 ACB的外角;3 AM_ AN_、BM BN4、CM CN5、1時，點B在圓O內(nèi);01,點A在圓O內(nèi)；6、若AC,AD是切線，則CD與AO的交點即為B;7、若點B做圓O的不與CD重合的弦EF ,則AB平分 EAF ;內(nèi)分AB和外分AB所得三、補充說明1、關(guān)于性質(zhì)1的證明定理：A, B為兩已知點，P,Q分別為線段AB的定比為1的內(nèi)、外分點，則以PQ為直徑的圓。上任意點到A,B兩點的距離之比等于常數(shù)。證明：不妨設(shè) 1設(shè)AB a,過點B作圓O的與直徑PQ垂直的弦CD,則aa - a - aA

3、P ,BP ,AQ ,BQ 1111由相交弦定理及勾股定理得:BC2AC2AB2 BC2 a2于是aBC , AC2 12a為a，則1AC.2 1 BC2 a BP BQ f 2 1從而P,Q,C同時在到A,B兩點距離之比等于 的曲線(即圓)上，而不共線的三點所確定 的圓是唯一的，因此圓O上任意點到A, B兩點距離之比等于常數(shù)。2、關(guān)于性質(zhì)6的補充若已知圓O及圓O外一點A,則可作出與點A對應(yīng)的點B,只要過點A作圓O兩條切線，切點分別為C,D ,連結(jié)CD與AQ即交于點B 0反之，可作出與點B對應(yīng)的點A四、典型例題1 一例1 (教材例題)已知一曲線是與兩個定點O(0,0)、A(3,0)距離的比為的

4、點的軌跡,2求此曲線的方程，并畫出曲線。解：設(shè)點M(x,y)是曲線上任意一點，則 W 1,整理即得到該曲線的方程為： ,(x 3)2 y2222(x 1) y 4。例2 (2003北京春季文)設(shè)A( c,0), B(c,0)(c 0)為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a(a 0),求P點的軌跡.解：設(shè)動點P的坐標為(x, v)由3a(a 0),得匹三a.|PB|(x c)2 y2化簡得(1 a2)x2 2c(1 a2)x c2 (1 a2) (1 a2) y2 0.2 2當 a 1時,得x2 2c（1 沙 c2 y2 0,整理得（x c）2 y2 （等）21 a2a2 1a2

5、 1當a=1時，化簡得x=0.2所以當a 1時，P點的軌跡是以（!c,0）為圓心，|單J|為半徑的圓;a2 1a2 1當a=1時，P點的軌跡為y軸.例3 （2005江蘇高考數(shù)學(xué)）如圖，圓O1與圓02的半徑都是1,O1O2 4,過動點P分別作圓Oi .圓。2的切線PM PN （分別為切點）， M使得PM 應(yīng)PN .試建立適當?shù)淖鴺讼?，并求動點P的軌跡方程.O1O2解:以O(shè)i O2的中點0為原點,Oi O2所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，則 Oi （-2, 0）, O2(2,0),由已知PM J2PN ,得PM22PN2.O2 X因為兩圓的半徑均為1,所以22POi 1 2(PO21).設(shè)

6、P(x,y),則(x 2)21 2(x2)21,即(x 6)2 y2 33,所以所求軌跡方程為（x6)2y2 33.12x 3 0)例4 （2006四川高考理）已知兩定點A(2,0)B（1,0）,如果動點 P滿足PA 2 PB ,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于（(A).4 八8；(D)或解：B（2008江蘇高考）ABC中,AB 2, AC2BC ,則S abc的最大值為變形:ABC 中，AB 4, CA : CB5:3,則S ABC的最大值為ABC答案:152設(shè)點A,B,C,D依次在同一直線上，AB 6,BC 3,CD 2 ,已知點P在直線AD外，滿足APB BPC CPD，試確定點P的幾

7、何位置。解：先作線段AC關(guān)于2:1的阿氏圓1,再作線段BD關(guān)于3:2的阿氏圓 2,兩圓交點即為點P,同化都時該點關(guān)于直線AD的對稱點也為所求。例7 (2011年南通一模)已知等腰三角形一腰上的中線則該三角形面積的最大值為從而yw?!而的面積、三圓,所以當r = 時,Sg二工譽法一 如同4-7所示，以中覿的J所在充線為 1 軸,或權(quán)8。的中點()為坐標原點.建立平面直，角坐標系.則點H坐標為(-),反鍍*贓因點是u中點，得a yrit一 N, ! 1，臬中1上由H,二I,得解法二 加圖4 - 1 X所示.以底加：所在育鏤為1例，甲 點八為坐標原、熱，建苴十面交的坐標系，沒技 rjj ,0 E j

8、)，1+ -j-b?三匕-陽燈,從而 mn工二2 t因為初二的面根為：=皿八所以最大值為2. 解法三設(shè)等腰三角形AHC的底BC長為2m . 2 0/+/.由三)由中線長公式2( 4/ + 欣F ) = 4 陽F + U：1 ,得 rn 2 + / + 二 121以下同解 法二解法四 如用4 7 -9所示.記等膝三前看AUG的底邊RC 上的中線以與牘1C上的中線如交于點。，則(；為空心.抒CG = H（；=飛&由八臟O的面瓶二C EGsin = -sin出父 n ,則膜 AC A8 =(0fn )t( 2 0 ),則腰*：的中高M今,* ),由&D二區(qū)將、小，由基本不等式得尋 !故；的面初=4口

9、執(zhí)XW 2 .所以戢大值力士解法五 段也前二技IC =以兩腰之長為If； = ,1C = 2a,D為腰優(yōu)中點,則在A4UD內(nèi)利用余弦定理，掙5支”44.10 6 = 3.則x =-=* S =法，4“15 411J1* fl6sin H -.5 4cow fl格理得 6sin (f + 4Sti w h - 5 S t 化為 :如 + 165* sirX + 中)=.從而由1一I Wl .得Sw，所以所求面包的最大值為工 36 + 1破解詼六 曲法五得s() = _m ，則由二 .,法古心廿二5 -4( u 9( 5 -4i-an Or TOC o 1-5 h z 4T,不時,M有子.大值,此

10、時卜后a=* *得a =工解法七由斜拈二丁，從而=八于是 S = ： /(3 -%2X9a2 -3) =7-(3? -S)1 +I6,*r 密克二斗 時,Ariw_ +解法八 加圖1 E 9所示.記號臏三角形,ur的欣地,；上的高為,1億則修二 UA + 二-/方(-T-+ 0A ) + AO + 一+ B(x2,0),其中x22x1 0。即 二(x x1)2 y2 .(x x2)2 y2y2 4的任何實數(shù)對(x, y)包成立,整理得：2x(4 xiX2)2/2x2 4x1_223(x y ),2 y2 4代入得:C /、22x(4x1 x2) x2，2 4x112 ,這個式子對任意2,2恒成

11、立，所以一定有:4x1 x2 022 一x2 4x1 12，因為x2X0,所以解得:Xi1、 x24 oB(4,0),使得圓x2y24上任意一點到所以，在X軸正半軸上是否存在兩個定點 A(1,0)、A、1B兩點的距離之比為常數(shù)-。2例11鐵路線上線段AB 100km,工廠C到鐵路的距離CA 20 km現(xiàn)要在A、B之間某一 點D處，向C修一條公路。已知每噸貨物運輸1km的鐵路費用與公路費用之比為3:5,為 了使原料從供應(yīng)站B運到工廠C的費用最少，點D應(yīng)選在何處解：建立如圖所示直角坐標系,先求到定點A、C的距離之比為3的動5點P(x, y)的軌跡方程,即:小x y 3,整理即得動點P(x,y)的軌

12、跡方程：-x2 (y 20)25224x2 4y2 90y 900 0,令y 0,得x 15 (舍去正值)即得點 D( 15,0) DA 15, DC 25。下面證明此點D即為所求點：自點B作CD延長線的垂線，垂足為E ,在線段BA上任取點Di ,連接CDi ,再作D1E1 BE于E1 。設(shè)每噸貨物運輸1km的鐵路費用為3k(k 0),則每噸貨物運輸1km的公路費用為5k,如果選址在D1處，那么總運輸費用為 y 3kBD1 5kD1c (3BD1 5D1C)k ,而 BE1D1s BEDs CAD.BD1 CD 25 5E1D1 AD 1533BD1 5E1D1那么總費用 y (3BD1 5D1C)k (E1D1