高三數(shù)學(xué)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1、2010屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)強(qiáng)化雙基系列課件 15函數(shù)的應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模能力與數(shù)學(xué)實(shí)踐能力實(shí)際問題數(shù)學(xué)化1.熟悉問題提供的背景；2.能閱讀理解對(duì)問題進(jìn)行陳述的材料； 3.能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法分析題設(shè)中各類數(shù)量的關(guān)系及聯(lián)系, 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型, 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題； 4.運(yùn)用已有知識(shí), 選擇合理的途徑解答問題, 解答后還要回歸實(shí)際背景, 判定解的合理性.程序圖實(shí)際問題抽象概括數(shù)學(xué)模型求解數(shù)學(xué)模型實(shí)際問題的解運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)思想、方法還原、檢驗(yàn)審 題1.讀題 先通讀, 分清哪些是為了說明現(xiàn)象或敘述問題的實(shí)際背景的描述性詞語(yǔ), 哪些是為抽象數(shù)學(xué)問題而給出的數(shù)量與關(guān)系.2.翻譯 應(yīng)用題化為數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵在

2、于對(duì)語(yǔ)言的理解與轉(zhuǎn)換. 包括: 對(duì)陌生名詞、概念的領(lǐng)悟；把文字?jǐn)⑹稣Z(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言三者進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.3.挖掘 應(yīng)用題中的因果關(guān)系和內(nèi)在規(guī)律常有隱蔽性, 需要挖掘題目中蘊(yùn)涵的數(shù)字信息, 這也是解應(yīng)用題的難點(diǎn).應(yīng)用題分類1.用料最省、造價(jià)最低、利潤(rùn)最高等最優(yōu)化問題；(函數(shù))2.數(shù)量間的相等或不等關(guān)系, 如人口控制、資源保護(hù)等；(方程、不等式)3.增長(zhǎng)率，如存款利息、人口增長(zhǎng)等；(數(shù)列)(解析幾何)(立體幾何)4.運(yùn)行軌道、拱橋形狀等；5.幾何體的形狀、面積、體積等；6.排列組合、概率. 解答函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟1.閱讀理解材料 讀懂題目所敘述的實(shí)際問題的意義, 接受題目所約定的臨時(shí)定義

3、, 理順題目中的量與量的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系, 分清變量與常量；2.建立函數(shù)模型 正確選擇自變量將問題的目標(biāo)表示為這個(gè)變量的函數(shù), 建立目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式(關(guān)鍵是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式), 注意不要忘記考察函數(shù)的定義域；3.求解函數(shù)模型討論變量及函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)(單調(diào)性).典型例題 例1 某廠今年 1 月, 2 月, 3 月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為 1 萬件, 1.2 萬件, 1.3 萬件. 為了估測(cè)以后每個(gè)月的產(chǎn)量, 以這三個(gè)月的產(chǎn)量為依據(jù), 用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的產(chǎn)量與月份 x 的關(guān)系, 模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)或函數(shù) y=abx+c(其中a, b, c為常數(shù)). 已知 4 月份該產(chǎn)品的產(chǎn)

4、量為 1.37 萬件, 請(qǐng)問, 用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好? 并說明理由.解: 設(shè) f(x)=px2+qx+r(p0)則由 f(2)=1.2 即 4p+2q+r=1.2 得: f(1)=1 f(3)=1.3 9p+3q+r=1.3 p+q+r=1 p=-0.05 q=0.35 r=0.7 f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7. f(4)=-0.0542+0.354+0.7=1.3(萬件)又由 g(x)=abx+c 可得:ab+c=1 ab2+c=1.2 ab3+c=1.3 g(2)=1.2g(1)=1g(3)=1.3即 g(4)=-0.80.54+1.4=1.35(萬件) 而 4

5、月份的產(chǎn)量為 1.37 萬件,故由 , 比較可知, 用 y=abx+c 作為模擬函數(shù)較好.解得: a=-0.8 b=0.5 c=1.4 g(x)=-0.80.5x+1.4. 例2 一家報(bào)刊攤主從報(bào)社買進(jìn)晚報(bào)的價(jià)格是每份 0.20 元, 賣出的價(jià)格是每份 0.30 元, 賣不掉的報(bào)紙還可以以每份 0.08 元的價(jià)格退回報(bào)社. 已知在一個(gè)月(以30天計(jì)算)里, 有 20 天每天可賣出 400 份, 其余 10 天每天只賣出 250 份, 但每天從報(bào)社買進(jìn)的份數(shù)必須相同. 問該攤主每天從報(bào)社買進(jìn)多少份, 才能使每月獲得的利潤(rùn)最大? 并計(jì)算該攤主一個(gè)月最多可賺得多少元.解: 設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn) x 份(

6、250 x400),則每月共銷售 (20 x+10250) 份,又賣出的報(bào)紙每份獲利 0.10 元, 退回的每份虧損 0.12 元, 退回報(bào)社 10(x-250) 份,依題意, 每月獲得的利潤(rùn) f(x)=0.10(20 x+10250)-0.1210(x-250)=0.8x+550. f(x) 在 250, 400 上是增函數(shù), 答: 該攤主每天從報(bào)社買進(jìn) 400 份時(shí), 才能使每月獲得的利潤(rùn)最大, 當(dāng) x=400 時(shí), f(x) 取得最大值, 最大值為 870. 一個(gè)月最多可賺 870 元. 例3 某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為 800m2 的矩形菜溫室, 在溫室內(nèi), 沿左右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留

7、 1m 寬的通道, 沿前側(cè)內(nèi)墻保留 3m 寬的空地. 當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí), 蔬菜的種植面積最大? 最大種植面積是多少?解: 設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為 a m, 后側(cè)邊長(zhǎng)為 b m, 則 ab=800, 蔬菜的種植面積S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b).=648.僅當(dāng) a=2b, 即 a=40, b=20 時(shí)取等號(hào).故當(dāng) a=40(m), b=20(m) 時(shí), ymax=648(m2).S808-4 2ab答: 當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為 40m, 后側(cè)邊長(zhǎng)為 20m 時(shí), 蔬菜的種植面積最大, 最大種植面積為 648 m2. 解: 依題意得:于是框架用料長(zhǎng)

8、度故當(dāng) x 約為 2.343m, y 約為 2.828m 時(shí), 用料最省. xy+ x =8, 12x2 y= - (0 x4 2 ). 8xx4L=2x+2y+2( ) 2 x 2=( + 2 )x+ 32x164 6+4 2 . 僅當(dāng) ( + 2 )x= 即 x=8-4 2 時(shí), 取等號(hào). 32x16此時(shí) x2.343, y=2 2 2.828. 例4 某單位用木料制作如圖所示的框架, 框架的下部是邊長(zhǎng)分別為 x, y(單位: m)的矩形, 上部是等腰直角三角形, 要求框架圍成的總面積為 8m2. 問 x, y 分別為多少 (精確到 0.001 m)時(shí) 用料最省?xy 例5 某租賃公司擁有

9、汽車 100 輛, 當(dāng)每輛車的月租金為 3000元時(shí), 可全部租出; 當(dāng)每輛車的月租金每增加 50 元時(shí), 未租出的車將會(huì)增加一輛. 租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi) 150 元, 未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi) 50 元. (1)當(dāng)每月每輛車的租金定為 3600 元時(shí), 能租出多少輛車? (2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí), 租賃公司的月收益最大? 最大收益是多少?解: (1)當(dāng)每輛車的月租金定為 3600 元時(shí), 未租出的車輛數(shù)為: (3600-3000)50=12,則租賃公司的月收益(2)設(shè)每輛車的月租金定為 x(x=50k, kN* ) 元, 這時(shí)租出了 88 輛車.f(x)=(100- )(

10、x-150)- 50 x-300050 x-300050=- +162x-2100 x2 50=- (x-4050)2+307050. 1 50當(dāng) x=4050 時(shí), f(x) 取最大值 307050. 即當(dāng)每輛車的月租金定為 4050 元 時(shí), 租賃公司的月收益最大, 最大月收益是 307050 元. 例6 上因特網(wǎng)的費(fèi)用由兩部分組成: 電話費(fèi)和上網(wǎng)費(fèi), 以前某“熱線”上因特網(wǎng)的費(fèi)用為電話費(fèi) 0.12 元/3 分鐘, 上網(wǎng)費(fèi) 0.12 元/分鐘. 根據(jù)信息產(chǎn)業(yè)部調(diào)整因特網(wǎng)資費(fèi)的要求, 自 1999 年 3 月1日起, 該地區(qū)上因特網(wǎng)的費(fèi)用調(diào)整為電話費(fèi) 0.16 元/3 分鐘, 上網(wǎng)費(fèi)每月不超

11、過 60 小時(shí), 以 4 元/小時(shí)計(jì)算, 超過 60 小時(shí)部分, 以 8 元/小時(shí)計(jì)算. (1)根據(jù)調(diào)整后的規(guī)定, 將每月上因特網(wǎng)的費(fèi)用表示為上網(wǎng)時(shí)間(小時(shí))的函數(shù)(每月按30天計(jì)算); (2)若某網(wǎng)民在其家庭經(jīng)濟(jì)預(yù)算中一直有一筆上網(wǎng) 60 小時(shí)的費(fèi)用開支, 因特網(wǎng)資費(fèi)調(diào)整后, 若要不超過其家庭經(jīng)濟(jì)預(yù)算中上網(wǎng)費(fèi)的支出, 該網(wǎng)民現(xiàn)在每月可上網(wǎng)多少小時(shí)? 從漲價(jià)和降價(jià)的角度分析該地區(qū)調(diào)整前后上因特網(wǎng)的費(fèi)用情況.解: 設(shè)調(diào)整后上網(wǎng) x 小時(shí)的費(fèi)用為 f(x) 元,(1)當(dāng) 060 時(shí),f(x)=460+0.1620 x+(x-60)8=11.2x-240. f(x)= 7.2x (060). 當(dāng) 0

12、 x60 時(shí), f(x)60 時(shí), 由 f(x)=g(x) 得:x=150. 又當(dāng) 60 x150 時(shí), f(x)150 時(shí), f(x)g(x).故上網(wǎng)時(shí)間小于 150 小時(shí), 調(diào)整前的上網(wǎng)費(fèi)用高;上網(wǎng) 150 小時(shí), 調(diào)整前后的費(fèi)用一樣高;上網(wǎng)時(shí)間超過 150 小時(shí), 調(diào)整后的上網(wǎng)費(fèi)用高. 例7 某地區(qū)上年度電價(jià)為 0.8 元/kwh, 年用電量為 a kwh, 本年度計(jì)劃將電價(jià)降到 0.55 元/kwh 至 0.75 元/kwh 之間, 而用戶期望電價(jià)為 0.4 元/kwh. 經(jīng)測(cè)算, 下調(diào)電價(jià)后新增的用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比(比例系數(shù)為k), 該地區(qū)電力的成本價(jià)為 0.3

13、 元/kwh. (1)寫出本年度電價(jià)下調(diào)后, 電力部門的收益 y 與實(shí)際電價(jià) x 的函數(shù)關(guān)系式; (2)設(shè) k=0.2a, 當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng)20%? (注: 收益=實(shí)際用電量(實(shí)際電價(jià)-成本價(jià)).解: (1)依題意, 0.55x0.75, 本年度用電量為: a+下調(diào)電價(jià)后新增用電量為:x-0.4 k . x-0.4 k , 依題意得: y=(a+ )(x-0.3), x-0.4 k 故所求函數(shù)關(guān)系式為: y=(a+ )(x-0.3), 0.55x0.75.x-0.4 k (2)當(dāng) k=0.2a 時(shí), y=(a+ )(x-0.3), x-0.4 0.2a

14、依題意 (a+ )(x-0.3)0.5a(1+20%), x-0.4 0.2a 整理得: 10 x2-11x+30.解得: x0.5 或 x0.6. 0.55x0.75, 0.6x0.75, 最低電價(jià)應(yīng)定為 0.6元/kwh. 例8 某摩托車生產(chǎn)企業(yè), 上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為 1 萬元/輛, 出廠價(jià)為 1.2 萬元/輛, 年銷售量為 1000 輛. 本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求, 計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次, 適度增加投入成本. 若每輛車投入成本增加的比例為 x(0 x1), 則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為 0.75x, 同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為 0.6x, 已知年利潤(rùn) =(出廠價(jià)-投入成本)年銷售量. (

15、1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn) y 與投入成本增加的比例 x 的關(guān)系式; (2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年有所增加, 問投入成本增加的比例 x 應(yīng)在什么范圍內(nèi)?解: (1)依題意得:y=1.2(1+0.75x)-1(1+x)1000(1+0.6x),整理得: y=-60 x2+20 x+200(0 x0, 0 x0, 0 x1, 即解得: 0 x . 13故投入成本增加的比例 x 應(yīng)滿足 0 x .13此即為所求關(guān)系式. 例9 甲、乙兩地相距 s 千米, 汽車從甲地勻速行駛到乙地, 速度不得超過 c 千米/時(shí), 已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成: 可變部分與速度 v(千

16、米/時(shí))的平方成正比, 比例系數(shù)為 b, 固定部分為 a 元. (1)把全程運(yùn)輸成本 y(元)表示為速度 v(千米/時(shí))的函數(shù), 并指出這個(gè)函數(shù)的定義域; (2)為了使全程運(yùn)輸成本最小, 汽車應(yīng)以多大速度行駛? 解: (1)依題意知, 汽車從甲地勻速行駛到乙地用時(shí) 小時(shí),sv其中 0bc2, 因而 a-bcva-bc20. 也即當(dāng) v=c 時(shí), 全程運(yùn)輸成本 y 最小. 綜上所述, 為使全程運(yùn)輸成本 y 最小, 若 c, 則當(dāng) v= 時(shí), 全程運(yùn)輸成本 y 最小; baba c-v0, c, ba若 c, 當(dāng) v(0, c 時(shí), 有: bas( +bv)-s( +bc)avac=s( - )+

17、(bv-bc)avac故s( +bv)s( +bc), avac當(dāng) c 時(shí), 行駛速度為 c 千米/小時(shí). ba當(dāng) c 時(shí), 行駛速度為 千米/小時(shí); baba 例10 某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為 40 元/個(gè), 出廠價(jià)為 60元/個(gè), 日銷售量為 1000 個(gè). 為適應(yīng)市場(chǎng)需求, 計(jì)劃提高蛋糕檔次, 適度增加成本. 若每個(gè)蛋糕成本增加的百分率為 x(0 x1), 則每個(gè)蛋糕的出廠價(jià)相應(yīng)提高的百分率為 0.5x, 同時(shí)預(yù)計(jì)日銷售量增加的百分率為 0.8x, 已知日利潤(rùn)=(出廠價(jià)-成本)日銷售量. (1)寫出 y 與 x 的關(guān)系式; (2)為使日利潤(rùn)有所增加, 問 x 應(yīng)在什么范圍內(nèi)?解: (

18、1)依題意得:y=60(1+0.5x)-40(1+x)1000(1+0.8x),整理得: y=-8000 x2+6000 x+20000(0 x0, 0 x0, 0 x1, 即解得: 0 x . 34答: 為使日利潤(rùn)有所增加, x 應(yīng)滿足 0 xb0, 記 h= a2-b2 , 設(shè) P 的坐標(biāo)為 (0, y), 則 P 到三鎮(zhèn)距離的平方和 f(y)=2(b2+y2)+(h-y)2=3(y- )2+ h2+2b2 . 23h3當(dāng) y= 時(shí), 函數(shù) f(y) 取得最小值.h3點(diǎn) P 的坐標(biāo)是(0, a2-b2 ). 13 故當(dāng) y=y* 時(shí), 函數(shù) g(y) 取最小值. (2)解法一 P 到三鎮(zhèn)的

19、最遠(yuǎn)距離是 g(y)= b2+y2 |h-y| b2+y2 |h-y| 時(shí), b2+y2 |h-y| 時(shí). 由 b2+y2 |h-y| 解得: y . h2-b2 2h 記 y*= , 則 h2-b2 2h g(y)= b2+y2 |h-y| yy* 時(shí), yy* 時(shí). 當(dāng) y* 0 即 hb(此時(shí) a22b2)時(shí), b2+y2 在 y*, +) 上是增函數(shù), 而 |h-y| 在 (-, y* 上是減函數(shù), 當(dāng) y* 0 即 hb(此時(shí)a2b, 故當(dāng) y=0 時(shí), 函數(shù) g(y) 取最小值. 當(dāng) a22b2 時(shí), P 點(diǎn)在原點(diǎn). 綜上所述, 當(dāng) a22b2 時(shí), P 點(diǎn)在(0, )處; a2-

20、2b2 2 a2-b2 故當(dāng) y=y* 時(shí), 函數(shù) g(y) 取最小值. (2)解法二 P 到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離是 g(y)= b2+y2 |h-y| b2+y2 |h-y| 時(shí), b2+y2 |h-y| 時(shí). 由 b2+y2 |h-y| 解得: y . h2-b2 2h 記 y*= , 則 h2-b2 2h g(y)= b2+y2 |h-y| yy* 時(shí), yy* 時(shí). 當(dāng) y* 0 即 hb 時(shí), z=g(y) 的圖象如圖(a), 故當(dāng) y=0 時(shí), 函數(shù) g(y) 取最小值. 當(dāng) y*0 即 hb 時(shí), z=g(y) 的圖象如圖(b), y* y z o h b 圖(a) g(y) y* y

21、 z o h b 圖(b) g(y) 當(dāng) P 在射線 MA 上時(shí), 記 P 為 P1, 當(dāng) P 在射線 MA 的反向延長(zhǎng)線上時(shí), 記 P 為 P2.這時(shí) P 到三點(diǎn) A, B, C 的最遠(yuǎn)距離為 P1C 或 P2A, (2)解法三 ABC 中, AB=AC=a, ABC 的外心 M 在射線 AO 上, 其坐標(biāo)為(0, ), 且AM=BM=CM. a2-2b2 2 a2-b2 若 hb(此時(shí) a22b2), 則點(diǎn) M 在線段 AO 上, 如圖(c). AB(-b, 0) C(b, 0) P1 oxyM .圖(c) P2 .且 P1CMC, P2AMA.點(diǎn) P 與 M 重合時(shí), P 到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距

22、離最小. 若 hb(此時(shí) a22b2), 則點(diǎn) M 在線段 AO 外, 如圖(d). 這時(shí) P 到三點(diǎn) A, B, C 的最遠(yuǎn)距離為 P1C 或 P2A, 且 P1COC, P2AOC. 點(diǎn) P 與 BC 邊 O 重合時(shí), P 到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小, 為 b. AB(-b, 0) C(b, 0) oxyM .圖(d) P2 .P1 .綜上所述, . 再見 ; ; orz25msr ; 旁邊的水槽里洗洗手吃飯去吧！我姆媽說了，要趁熱吃?。　彼麄兌记宄赜浿?，每次小青姐姐過來幫著看攤兒時(shí)，臉上都是汗津津的。一次，耿老爹對(duì)她說：“青丫頭，你不用著急趕路的，飯涼不了！”耿英也說：“娘娘打包得那么好，怎么能涼了呢！”小青笑著說：“好，那我明兒個(gè)再送過來時(shí)走慢點(diǎn)兒！”可是，當(dāng)小青姐姐下次把飯送來的時(shí)候，她那張俊俏的臉蛋上，照樣還是汗津津、紅撲撲的大騾車緩緩走到當(dāng)年的地?cái)們呵皶r(shí)，兄妹三人不約而同默默站住了：往事歷歷在目啊！大白騾不解人意，不斷地晃動(dòng)著大腦袋，似乎不愿意停下來。耿正抬頭看看，明晃晃的日頭幾乎移動(dòng)到正當(dāng)頭了。他知道大白騾這個(gè)時(shí)候已經(jīng)有些累了，需要歇息一下，喝點(diǎn)兒水，吃點(diǎn)兒草料了，就憐惜地拍拍它的肩背，對(duì)弟弟妹妹說