曲線積分及曲面積分習(xí)題課課件

1、第十章 曲線積分與曲面積分目錄 下頁(yè) 返回 結(jié)束 習(xí)題課例題選講基本內(nèi)容1一、曲線積分的計(jì)算法1.基本方法曲線積分第一類 (對(duì)弧長(zhǎng))第二類 (對(duì)坐標(biāo))(1) 統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2) 確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2(1) 寫出曲線L方程及相應(yīng)弧微分公式ds L為參數(shù)方程: L為直角坐標(biāo)方程： L為極坐標(biāo)方程：對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分解題步驟：首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3(2) 將L的表達(dá)式及弧微分公式直接代入曲線積分式, 化為定積分, 定出積分限.(注:下限小于上限)L為參數(shù)方程L為直角坐標(biāo)方程L為極坐標(biāo)方程首

2、頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4(1) 直接化為對(duì)參變量的定積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算方法：注: 下限對(duì)起點(diǎn), 上限對(duì)終點(diǎn)首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5(2) 利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 若 , 則積分只與L的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān),故可選取便于計(jì)算的路徑,如折線段、圓弧段、直線段(結(jié)合P、Q考慮).(3) 利用格林公式(適用于封閉曲線)化為定積分.注: 若曲線L不是封閉的,直接計(jì)算又困難, 可考慮添加 輔助曲線C, 使L+C為封閉曲線, 再利用格林公式.首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 6(4) 利用斯托克斯公式(適用空間封閉曲線積分).利用行列式記號(hào)可記為：首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7或：注: 格林公

3、式(斯托克斯公式)反映的是平面閉區(qū)域 D(空間曲面)上重積分(曲面積分)與邊界曲線 上曲線積分之關(guān)系.首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 8(1) 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算;(2) 利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件;2. 基本技巧對(duì)于曲線積分 ,下面四個(gè)條件等價(jià): 曲線積分與路徑無(wú)關(guān). 被積表達(dá)式是某個(gè)函數(shù)的全微分. 沿任何閉路線的曲線積分為零.首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 9(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.其中,為有向曲線L上點(diǎn)(x, y)處的切向量的方向角.(4) 利用斯托克斯公式;(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧); 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 10二、曲面積分的計(jì)算法1. 基本方法曲面

4、積分第一類( 對(duì)面積 )第二類( 對(duì)坐標(biāo) )轉(zhuǎn)化二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類: 始終非負(fù)第二類: 有向投影(3) 確定積分區(qū)域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11計(jì)算方法第一類( 對(duì)面積的曲面積分 )首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 12上側(cè)取正號(hào), 下側(cè)取負(fù)號(hào).第二類( 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 )前側(cè)取正號(hào)，后側(cè)取負(fù)號(hào).首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 13右側(cè)取正號(hào)，左側(cè)取負(fù)號(hào).注：對(duì)于封閉曲面, 可考慮用高斯公式.首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 142. 基本技巧(1) 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算(2) 利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的

5、技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)高斯公式反映的是空間閉區(qū)域上三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 15(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化其中,為有向曲面上點(diǎn)(x, y, z)處的法向量的方向角.首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 16三、例題選講解 利用極坐標(biāo),原式=說(shuō)明:若用參數(shù)方程計(jì)算,則首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 17首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 18解首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 19解 因在 上有故原式 = 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 20解法1 令則這說(shuō)明積分與路徑無(wú)關(guān), 故首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 21解法2 它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,(利用格林公式)則添加輔助線段首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 22提示:首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 23提示: 方法1利用對(duì)稱性首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 24設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?, 方向向上,則方法2利用斯托克斯公式首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 25且取下側(cè) , 提示: 以半球底面原式 =記半球域?yàn)?,高斯公式有為輔助面, 利用首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 26證 設(shè)(常向量)則首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 27解 取足夠小的正數(shù), 作曲面取下側(cè) 使其包在 內(nèi), 為 xoy 平面上夾于之間的部分, 且取下側(cè) ,則首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 28第二項(xiàng)添加輔助面, 再用高斯公式計(jì)算, 得首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè)