函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題賞析

1、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題賞析作者:日期:近年高考試卷中的N型函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題賞析近些年來，有不少的 N型函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題出現(xiàn)在不同年份、不同省區(qū)與全國(guó)的高考試卷中，這不能不成為高考的熱門話題和需要我們研究并指導(dǎo)高三學(xué)生進(jìn)行科學(xué)備考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。什么是N型函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題呢， 就是含參函數(shù)y f(x)在其定義域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)， 有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2并將其定義域分成三個(gè)單調(diào)區(qū)間，通常是“增減增”或“減增減”，在此條件的基礎(chǔ)上，方程f(x) 0或f(x) m的根的個(gè)數(shù)與參數(shù)取值范圍相關(guān)的問題。這里注意：函數(shù) y f(x)在其靠近定義域兩端點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值會(huì)很大或很小(即一端足夠大，大于極大值；一端足夠小，小于極

2、小值)。N型函數(shù)有哪些呢？ 一可能是三次函數(shù)f(x) ax3 bx2 cx d (a 0),二可能是函數(shù)f(x) ax2 bx ln(x t) (a 0),它們?cè)诙x域內(nèi)都必須有兩個(gè)極值點(diǎn)。2例1、(2006年福建局考卷)已知函數(shù)f(x) x 8x, g(x) 61n x m。(l)求f(x)在區(qū)間t,t 1上的最大值h;(n)是否存在實(shí)數(shù) m ,使得y f(x)的圖象與y g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由。_解析：(I)略；(n)構(gòu)作函數(shù)(x) f (x) g(x) x 8x 6ln x m , x 0；求導(dǎo)得：(x) 2x一處一6 2(x

3、1)(x 3) , x 0,函數(shù)單調(diào)性與極值列表如下: xxx(0,1)1(1,3)3(3,)(x)00(x)/極大m 7極小 m 6ln 3 15/依題意，轉(zhuǎn)化為函數(shù)(x)圖象與x軸的交點(diǎn)為3時(shí)情形，當(dāng)x充分接近0時(shí)，(x) 0,當(dāng)x極大 m 7 0充分大時(shí)，(x) 0,為此有：7 m 15 61n 3。極小 m 6ln 3 15 0故m的取值范圍為(7,15 61n3)。例2、(2008年四川高考卷)已知 x 3是函數(shù)f(x) aln(1 x) x2 10 x的一個(gè)極值點(diǎn)。(i)求 a ;(n)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；(m)若直線y b與函數(shù)y f(x)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍

4、。解析：(i) (n)略;(出)由(n)知,22 x2 4x 3 f x 2(x 1)(x 3) 丫 , x1 x1,故函數(shù)單調(diào)性與極值情況如下表:x(1,1)1(1,3)3(3,)f(x)00f(x)/f極大 161n 2 9f 極小 321n 2 21/因此，f 16162 10 16161n 2 9 f 1 , f e2 132 1121 f 3 ,所以在f x的三個(gè)單調(diào)區(qū)間1,1,1,3 , 3, 上，直線y b與y f x的圖象有三個(gè)交點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)f 3b的取值范圍為 321n 2 21,16ln 2 9。例3、(2009年陜西高考卷文)已知函數(shù)f(x) x3 3ax 1,a 0。r

5、2f x 161n 1 x x 10 x,x1,(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)若f (x)在x1處取得極值，直線 y m與y f (x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍。解析：(I)略；(n)因?yàn)閒(x)在x1處取得極大值，所以 f 13 ( 1)2 3a 0,得：a 1,繼而 f (x) x3 3x 1 , f (x)3x2 3 由 f (x) 0解得 x11,x2 1。如下表因?yàn)橹本€y m與函數(shù)y f(x)的圖象有個(gè)不同的交點(diǎn)，又f ( 3)19x(,1)1(1,1)1(1,)f (x)00f(x)/f極大1f極小3/以轉(zhuǎn)化為一個(gè)N型函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)問題，即方程f(x)0或

6、f (x) m有三個(gè)根的問題,列相應(yīng)不等式組,f極大0或f極小m f極大，解出參數(shù)范圍,f極小0如下圖。xix2xix2f極大yf (x)f(x)f(3) 17 1,結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是(3, 1)。有三個(gè)不同交點(diǎn)的問題，都可評(píng)述：以上三例為兩個(gè)函數(shù)圖象(或一條直線與一個(gè)函數(shù)圖象)例4、(2007年全國(guó)高考n卷)已知函數(shù) f(x) X3 X。(I)求曲線y f (x)在點(diǎn)M (t, f(t)處的切線方程；(n)設(shè)a 0,如果過點(diǎn)(a, b)可作曲線y f (x)的三條切線，證明： a b f(a)。解析：(l)切線方程為：y (3t2 1)x 2t3。(n)如果有一條切線過

7、點(diǎn)(a, b),則存在t,使b (3t2 1)a 2t3,即2t3 3at2 a b 0。于是，若過點(diǎn)(a, b)可作曲線y f(x)的三條切線，則方程 2t3 3at2 a b 0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根。記 g(t) 2t3 3at2 a b ,則 g (t) 6t2 6at 6t(t a)。當(dāng)t變化時(shí)，g(t), g (t)變化情況如下表：t(,0)0(0, a)a(a,)g (t)00g(t)/極大值a b極小值b f (a)/由g(t)的單調(diào)性，當(dāng)極大值 a b 0或極小值b f (a) 0時(shí)，方程g(t) 0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；3a當(dāng)a b 0時(shí)，解萬程g(t) 0得t 0, t 即方程g

8、(t) 0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；2a-當(dāng)b f (a) 0時(shí)，解萬程g(t) 0得t , t a,即方程g(t) 0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.2綜上，如果過 (a, b)可作曲線 y f(x)三條切線，即g(t) 0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則a b 0 ，即 a b f (a)。b f (a) 0例5、(2010年湖北高考卷,文)設(shè)函數(shù)f (x) x2 ax2 bx c ,其中a 0 ,曲線y f (x)2在點(diǎn)p(0, f (0)處的切線方程為 y 1。(I)確定b,c的值;(n)設(shè)曲線y f(x)在點(diǎn)(”, f(x)及(X2, f(X2)處的切線都過點(diǎn)(0,2).證明：當(dāng)x x2時(shí), f (%) f

9、 d);(出)若過點(diǎn)(0,2)可作曲線y f (x)的三條不同切線，求 a的取值范圍。解析：(I) (n)略；(出)f (x) -x3 -x2 1,f(x) x2 ax。 TOC o 1-5 h z 32由于點(diǎn)(t,f(t)處的切線方程為y f(t) f (t)(x t),而點(diǎn)(0,2)在切線上，所以,23 a 2,，一，、23a 22 f (t) f (t)(0 t),化簡(jiǎn)得一t t 1 0,即t滿足的萬程為tt 1 0。3232過點(diǎn)(0,2)可作y f(x)的三條切線，等價(jià)于方程2 f(t) f (t)(0 t)有三個(gè)相異的實(shí)根，即. a o等價(jià)于萬程一t3 -t2 1 0有三個(gè)相異的實(shí)根

10、。 322 3 a 222a設(shè) g(t) -t t 1 ,則 g (t) 2t at。令 g (t) 2t at = 0 得 x10, x2- (a 0)322列表如下：t(.0)0(0,1)2a2哆)g (t)十0一0十g(t)極大值13極小值1 24 TOC o 1-5 h z ,23 a 2 23 a 2由g(t) -t-t1的單調(diào)性知，要使g(t) -t-t1=0有三個(gè)相異的實(shí)根，當(dāng)且僅2323_當(dāng)1 0, 1 0,即a 23/3。故a的取值范圍是(23/3,)。 2419 9例6、( 2008年湖南圖考卷文)已知函數(shù) f(x) x x xcx有三個(gè)極值點(diǎn)。42(I)證明： 27 c

11、5;39 2. _ ,. .一x -xcx有三個(gè)極值點(diǎn)，也即2(n)若存在c,使函數(shù)f (x)在區(qū)間a, a 2上單調(diào)遞減，求a的取值范圍。解析：(I)證明：因?yàn)楹瘮?shù) f (x) 1x4432f (x) x 3x 9x c 0有二個(gè)互異的實(shí)根。設(shè)g(x) x3 3x2 9x c,則g(x) 3x2 6x 9 3(x 3)(x 1),其單調(diào)性與極值如下表:x(,3)3(3,1)1(1,)g(x)00g(x)/g極大27 cg極小5 c/由于g(x) 0有三個(gè)不同實(shí)根，所以g( 3) 0且g(1) 0。即 27 27 27 c 0,且13 9c 0,解得 c 27,且 c 5,故 27 c 5。(

12、II)略。評(píng)述：例4、例5為過某定點(diǎn)可作曲線(或函數(shù)圖像)的三條切線的條件問題，此問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)N型函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)問題，即方程 f(x) 0或f(x) m有三個(gè)根的問題。而例 6則是原 函數(shù)f(x)有三個(gè)極值點(diǎn)的問題，它等同于其導(dǎo)函數(shù) f (x)(是N型函數(shù))有三個(gè)零點(diǎn)問題，即可轉(zhuǎn) 化為方程f (x) 0有三個(gè)根的問題。例7、(2005年全國(guó)高考n卷文)設(shè) a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x) x3 x2 x a。(i)求f (x)的極值；(n)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線 y f (x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。 TOC o 1-5 h z 21解析：(I) f (x) 3x2 2x 1,令 f(x) 0,

13、則 x1- , x2 1。3當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f (x)變化情況如下表:x(-OO, ) 313(-1, 1) 31(1, +)f (x)+0一0+f(x)，-5極大值一a 27極小值a 1 TOC o 1-5 h z 5一. f(x)的極大值是f( 一) a,極小值是f (1) a 1327.-322(II)函數(shù)f(x) x x x a (x 1) (x 1) a 1 ,由此可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有f(x)0,取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有 f (x) 0,所以曲線y = f (x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)。結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知：55 .當(dāng)f (x)的極大值 a 0即a (1, +8)時(shí)，它的

14、極大值也大1于0,因此曲線y = f (x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，匕在( 8,一 )上。35一綜上所述，當(dāng)a (,)u(1,)時(shí)，曲線y= f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。2739 2例8、(2009年江西tWj考文)設(shè)函數(shù) f (x) x x 6x a o2(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù) x , f (x) m恒成立，求 m的最大值；(2)若方程f(x) 0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求 a的取值范圍。 TOC o 1-5 h z 3 o 33斛析：(1)求導(dǎo)得：f (x) 3(x 3x 2) 3(x ),對(duì)于任實(shí)數(shù)x, f (x) m2443恒成立等價(jià)于 m f (x)min ,故m的最大值為 一。4(2)因 f(x

15、) 3(x2 3x 2) 3(x 1)(x 2),令 f(x) 0 ,則 x 1 , x2 2。當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f (x)變化情況如下表:x( 一 0, 1)1(1, 2)2(2 , +叼f (x)+0一0+f(x)，-5極大值- a2極小值2 a.f(x)的極大值是f(i) a,極小值是f (2) 2 a且函數(shù)f(x)定義域?yàn)?，)，依 255題意知，f(1)鼻a 0或f(2) 2 a 0,故a的取值范圍為(,2) J (-,)。評(píng)述：N型函數(shù)零點(diǎn)問題的核心就是找出零點(diǎn)個(gè)數(shù)的相關(guān)條件，即f (x) 0有三個(gè)根，須滿足 ,極大 ； f(x) 0有兩個(gè)根，須滿足f極大0或f極小0; f (x) 0有一個(gè)根，須滿足f極小0f極大0或f極小0 (如下圖二所示)。若f(x) m(m 0),則可以轉(zhuǎn)化為：g(x) f(x) m 0。1 因一圖二n型函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)k山的題型是在函數(shù)定義域優(yōu)先情況下把函數(shù)單調(diào)性、極值與函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù) 條件很好結(jié)合并求參數(shù)范圍的題型。作用：考查函數(shù)單調(diào)性；考查函數(shù)極