單元質(zhì)檢卷十　計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布

1、 單元質(zhì)檢卷十計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.2021年八省新高考將實行“3+1+2”模式,即語文、數(shù)學(xué)、外語必選,物理、歷史二選一,政治、地理、化學(xué)、生物四選二,共有12種選課模式.某同學(xué)已選了物理,記事件A為“該同學(xué)選擇政治和地理”,事件B為“該同學(xué)選擇化學(xué)和地理”,則事件A與事件B()A.是互斥事件,不是對立事件B.是對立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是對立事件D.既不是互斥事件也不是對立事件2.(2021安徽安慶模擬)杭州亞運會三個吉祥物分

2、別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”,現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”這三個圖案的卡片(卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同)放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片,則一張為“琮琮”,一張為“宸宸”的概率是()A.23B.13C.29D.193.某公司研發(fā)5G項目時遇到一項技術(shù)難題,由甲、乙兩個部門分別獨立攻關(guān),已知甲部門攻克該技術(shù)難題的概率為0.8,乙部門攻克該技術(shù)難題的概率為0.7,則該公司攻克這項技術(shù)難題的概率為()A.0.56B.0.86C.0.94D.0.964.袋中裝有5個大小相同的球,其中有2個白球,2個黑球,1個紅球,現(xiàn)從袋中每次取出1球,取出后不放回,直到取到有兩種不同顏

3、色的球時即終止,用X表示終止取球時所需的取球次數(shù),則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是()A.115B.125C.135D.1455.一試驗田某種作物一株生長果實個數(shù)x服從正態(tài)分布N(90,2),且P(x70)=0.2,從試驗田中隨機抽取10株,果實個數(shù)在90,110的株數(shù)記作隨機變量X,且X服從二項分布,則X的方差為()A.3B.2.1C.0.3D.0.216.(2021福建福州一模)某次會議中,組委會要從6個國內(nèi)媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進(jìn)行提問,要求這三個媒體團中既有國內(nèi)媒體團又有國外媒體團,且國內(nèi)媒體團不能連續(xù)提問,則不同的提問方式的種數(shù)為()A.198B.268C.306D.

4、3787.(2021廣東茂名一模)某乒乓球訓(xùn)練館使用的球是A,B,C三種不同品牌標(biāo)準(zhǔn)比賽球,根據(jù)以往使用的記錄數(shù)據(jù):品牌名稱合格率購買球占比A98%0.2B99%0.6C97%0.2若這些球在盒子中是均勻混合的,且無區(qū)別的標(biāo)志,現(xiàn)從盒子中隨機地取一只球用于訓(xùn)練,則它是合格品的概率為()A.0.986B.0.984C.0.982D.0.9808.設(shè)隨機變量X的分布列如下:X0123P0.1a0.30.4則方差D(X)=()A.0B.1C.2D.39.甲罐中有5個紅球,2個白球和3個黑球,乙罐中有4個紅球,3個白球和3個黑球,先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,分別以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球

5、是紅球,白球和黑球的事件;再從乙罐中隨機取出一球,以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件,則下列結(jié)論中正確的是()A.P(B)=25B.P(B|A1)=511C.事件B與事件A1相互獨立D.A1,A2,A3不是兩兩互斥的事件10.從甲袋中摸出一個紅球的概率是13,從乙袋中摸出一個紅球的概率是12,從兩袋各摸出一個球,下列結(jié)論不正確的是()A.2個球都是紅球的概率為16B.2個球中恰有1個紅球的概率為12C.至少有1個紅球的概率為23D.2個球不都是紅球的概率為1311.在2x-x6的展開式中,下列說法正確的是()A.常數(shù)項為160B.第5項的二項式系數(shù)最大C.第3項的系數(shù)最大D.所有項的系數(shù)和為6

6、412.下列結(jié)論正確的是()A.若隨機變量X服從兩點分布,P(X=1)=12,則E(X)=1B.若隨機變量Y的方差D(Y)=3,則D(2Y+1)=6C.若隨機變量服從二項分布B4,13,則P(=3)=3281D.若隨機變量服從正態(tài)分布N(1,2),P(2)=0.82,則P(02)=0.64二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2021天津濱海新區(qū)模擬)有三臺車床加工同一型號的零件,第一臺加工的次品率為0.06,第二、三臺加工的次品率均為0.05,加工出來的零件混放在一起.已知第一、二、三臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的0.25,0.3,0.45,任取一個零件,是次品的概率為.1

7、4.已知(3x-1)6=a0+a1x+a6x6,則a1+a2+a6=.15.杭州亞運會啟動志愿者招募工作,甲、乙等6人報名參加了A,B,C三個項目的志愿者工作,因工作需要,每個項目僅需1名志愿者,每人至多參加一個項目,若甲不能參加A,B項目,乙不能參加B,C項目,那么共有種不同的選拔志愿者的方法.(用數(shù)字作答)16.(2021浙江富陽中學(xué)模擬)已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目,且每門科目是否通過相互獨立.若某考生報考甲大學(xué),每門科目通過的概率分別為13,23,12,該考生報考乙大學(xué),每門科目通過的概率均為12,設(shè)A為事件“該考生報考乙大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)至少通過二門科目”,則事件A發(fā)生

8、的概率為,設(shè)X為該考生通過甲大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)科目數(shù),則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為.三、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)為了謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程,增進(jìn)學(xué)生對黨史的了解,某班級開展黨史知識競賽活動,現(xiàn)把50名學(xué)生的成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值并估計這50名學(xué)生的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);(2)用分層抽樣的方法從成績在80,90),90,100兩組學(xué)生中抽取5人進(jìn)行培訓(xùn),再從這5人中隨機抽取2人參加校級黨史知識競賽,求這2人來自不同小組的概率.18.(12分)(2021北京平谷一模)某牛奶

9、企業(yè)針對生產(chǎn)的鮮奶和酸奶,在一地區(qū)進(jìn)行了質(zhì)量滿意調(diào)查,現(xiàn)從消費者人群中隨機抽取500人次作為樣本,得到下表:滿意度老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶鮮奶酸奶鮮奶滿意100120120100150120不滿意503030505080(1)從樣本中任取1個人,求這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶質(zhì)量滿意的概率;(2)從該地區(qū)的老年人中抽取2人,青年人中隨機選取1人,估計這三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿意的概率.19.(12分)(2021新高考,18)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽,有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答,若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一

10、類問題中再隨機抽取一個問題回答,無論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計得分,求X的分布列;(2)為使累計得分的期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.20.(12分)某公司年會舉行抽獎活動,每位員工均有一次抽獎機會.活動規(guī)則如下:一只盒子里裝有大小相同的6個小球,其中3個白球,2個紅球,1個黑球,抽獎時從中依次摸出3個小球.若所得的小球

11、同色,則獲得一等獎,獎金為300元;若所得的小球顏色互不相同,則獲得二等獎,獎金為200元;若所得的小球恰有2個同色,則獲得三等獎,獎金為100元.(1)求小張在這次活動中獲得的獎金數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)若每個人獲獎與否互不影響,求該公司某部門3個人中至少有2個人獲二等獎的概率.21.(12分)在中學(xué)生綜合素質(zhì)評價某個維度的測評中,分優(yōu)秀、合格、尚待改進(jìn)三個等級進(jìn)行學(xué)生互評.某校高一年級有男生500人,女生400人,為了了解性別對該維度測評結(jié)果的影響,采用分層隨機抽樣方法從高一年級抽取了45名學(xué)生的測評結(jié)果,并作出頻數(shù)統(tǒng)計表如下:表一:男生男生等級優(yōu)秀合格尚待改進(jìn)頻數(shù)15x5表二:女生

12、女生等級優(yōu)秀合格尚待改進(jìn)頻數(shù)153y(1)求x,y的值;(2)從表一、表二中所有尚待改進(jìn)的學(xué)生中隨機抽取3人進(jìn)行交談,記其中抽取的女生人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列及均值;(3)由表中統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下列22列聯(lián)表,依據(jù)=0.1的獨立性檢驗,能否認(rèn)為測評結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)聯(lián).測評結(jié)果男生女生合計優(yōu)秀非優(yōu)秀合計45參考公式:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.參考數(shù)據(jù):0.100.050.01x2.7063.8416.63522.(12分)(2021安徽合肥模擬)某調(diào)查組從一養(yǎng)魚示范村的養(yǎng)魚塘內(nèi)隨機捕撈兩次,上午進(jìn)行第一次捕撈,捕撈到60條魚,共1

13、05 kg,稱重后計算得出這60條魚質(zhì)量(單位:kg)的平方和為200.41,下午進(jìn)行第二次捕撈,捕撈到40條魚,共66 kg,稱重后計算得出這40條魚質(zhì)量(單位:kg)的平方和為117.(1)請根據(jù)以上信息,求所捕撈100條魚質(zhì)量的平均數(shù)z和方差s2;(2)根據(jù)以往經(jīng)驗,可以認(rèn)為該魚塘魚質(zhì)量X服從正態(tài)分布N(,2),用z作為的估計值,用s2作為2的估計值.隨機從該魚塘捕撈一條魚,其質(zhì)量在1.21,3.21的概率是多少?(3)某批發(fā)商從該村魚塘購買了1 000條魚,若從該魚塘隨機捕撈,記為捕撈的魚的質(zhì)量在1.21,3.21的條數(shù),利用(2)的結(jié)果,求的數(shù)學(xué)期望.附:(1)數(shù)據(jù)t1,t2,tn的

14、方差s2=1ni=1n(ti-t)2=1n(i=1nti2-nt2);(2)若隨機變量X服從正態(tài)分布N(,2),則P(-X+)0.682 7;P(-2X+2)0.954 5;P(-3X+3)0.997 3.單元質(zhì)檢卷十計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布1.A解析:事件A與事件B不能同時發(fā)生,是互斥事件.該同學(xué)還可以選擇化學(xué)和政治,故事件A與事件B不是對立事件.故選A.2.C解析:記印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片分別為A,B,C,則樣本點分別為(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9種情況,其中一張為“琮琮”,一張為“

15、宸宸”的共2種情況,所以所求的概率P=29.故選C.3.C解析:根據(jù)題意得,P=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94.故選C.4.A解析:X的可能取值為2,3,P(X=3)=2514+2514=15,P(X=2)=1-P(X=3)=45,E(X)=452+153=115,故選A.5.B解析:xN(90,2),且P(x110)=0.2,P(90 x110)=0.5-0.2=0.3,XB(10,0.3),X的方差為100.3(1-0.3)=2.1.故選B.6.A解析:分兩種情況.若選兩個國內(nèi)媒體一個國外媒體,有C62C31A22=90種不同提問方式;若選兩個外國媒體一個國內(nèi)媒體,有C61C3

16、2A33=108種不同提問方式,根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有90+108=198種提問方式.故選A.7.B解析:將A,B,C分別記為第1,第2,第3個品牌,設(shè)事件M1表示“取到的球是第i個品牌(i=1,2,3)”,事件N表示“取到的是一個合格品”,其中M1,M2,M3兩兩互斥,所以P(N)=P(M1N)+P(M2N)+P(M3N)=P(M1)P(N|M1)+P(M2)P(N|M2)+P(M3)P(N|M3)=0.980.2+0.990.6+0.970.2=0.984,所以它是合格品的概率為0.984.故選B.8.B解析:由題得,a=1-0.1-0.3-0.4=0.2,E(X)=10.2+20.3

17、+30.4=2,E(X2)=10.2+40.3+90.4=5,D(X)=E(X2)-E(X)2=5-4=1.故選B.9.B解析:易見A1,A2,A3是兩兩互斥的事件,故D不正確,P(B|A1)=511,故B正確,P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510511+210411+310411=922,故A不正確,事件B與事件A1不相互獨立,故C不正確,故選B.10.D解析:對于A,2個球都是紅球的概率為1312=16,故選項A正確;對于B,2個球中恰有1個紅球的概率為131-12+1-1312=12,故選項B正確;對于C,至少有一個紅球包括兩個都是紅球和恰有1個紅球,結(jié)合選項A,B

18、可知,至少有一個紅球的概率為16+12=23,故選項C正確;對于D,2個球不都是紅球的對立事件為2個球都是紅球,所以2個球不都是紅球的概率為1-16=56,故選項D不正確.故選D.11.C解析:展開式的通項為Tr+1=C6r2x6-r(-x)r=26-r(-1)rC6rx2r-6.由2r-6=0,得r=3,所以常數(shù)項為23(-1)3C63=-160,故A錯誤;展開式共有7項,所以第4項二項式系數(shù)最大,故B錯誤;由通項公式可得r為偶數(shù)時,系數(shù)才有可能取到最大值,當(dāng)r=2時,該項系數(shù)最大為240,故C正確;令x=1,得a0+a1+a2+a6=(2-1)6=1,所有項的系數(shù)和為1,故D錯誤.故選C.

19、12.D解析:由條件可知,P(X=0)=1-P(X=1)=12,E(X)=012+112=12,故A錯誤;D(2Y+1)=4D(Y)=12,故B錯誤;若隨機變量服從二項分布B4,13,則P(=3)=C4313323=881,故C錯誤;根據(jù)對稱性可知,正態(tài)分布曲線關(guān)于x=1對稱,所以P(02)=1-2(1-P(2)=0.64,故D正確.故選D.13.0.052 5解析:依題意,任取一個零件,它是次品的概率為0.250.06+0.30.05+0.450.05=0.052 5.14.63解析:令x=0,可得a0=1,令x=1,可得a0+a1+a2+a6=(31-1)6=64,所以a1+a2+a6=6

20、4-1=63.15.52解析:根據(jù)題意,分4種情況討論.甲乙都不參加志愿活動,在剩下的4人中任選3人參加即可,有A43=24種選拔方法;甲參加但乙不參加志愿活動,甲只能參加C項目,在剩下的4人中任選2人參加A,B項目,有A42=12種選拔方法;乙參加但甲不參加志愿活動,乙只能參加A項目,在剩下的4人中任選2人參加B,C項目,有A42=12種選拔方法;甲乙都參加志愿活動,在剩下的4人中任選1人參加B項目,有A41=4種選拔方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,則不同的選拔志愿者的方法種數(shù)為24+12+12+4=52.16.1232解析:(1)由題知,事件A為該考生報考乙大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)通過二門科目或通過三門

21、科目,所以P(A)=C3212212+C33123=12.(2)由題意可得,X的值可能為0,1,2,3.P(X=0)=231312=19;P(X=1)=131312+232312+231312=718;P(X=2)=132312+131312+232312=718;P(X=3)=132312=19.即隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=019+1718+2718+319=32.17.解(1)根據(jù)頻率分布直方圖得(0.004+0.006+a+0.030+0.024+0.016)10=1,解得a=0.020.平均成績?yōu)?450.004+550.006+650.020+750.030+850.024+9

22、50.016)10=76.2.(2)來自80,90)小組的有3人,記為a1,a2,a3,來自90,100小組的有2人,記為b1,b2,從5人中隨機抽取2人,樣本點為(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10個,這2人來自不同組的樣本點有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6個,所以這2人來自不同小組的概率為P=610=35.18.解(1)設(shè)這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶滿意為事件A,總?cè)舜螢?00人,對酸奶質(zhì)量滿意的人

23、數(shù)為100+120+150=370,所以P(A)=370500=3750.(2)由頻率估計概率,設(shè)“抽取的老年人中對鮮奶質(zhì)量滿意”為事件B,則抽取的老年人中對鮮奶質(zhì)量滿意的概率為P(B)=45,設(shè)“抽取的青年人中對鮮奶質(zhì)量滿意”為事件C,則抽取青年人中對鮮奶質(zhì)量滿意的概率為P(C)=35.故抽取這三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿意的概率P=C2145351-45+4521-35=56125,所以這三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿意的概率為56125.19.解 (1)X=0,20,100.P(X=0)=1-0.8=0.2=15,P(X=20)=0.8(1-0.6)=4525=825,P(X=10

24、0)=0.80.6=4535=1225.所以X的分布列為X020100P158251225(2)若小明先回答A類問題,期望為E(X).則E(X)=015+20825+1001225=2725.若小明先回答B(yǎng)類問題,Y為小明的累計得分,Y=0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4=25,P(Y=80)=0.6(1-0.8)=3515=325,P(Y=100)=0.60.8=3545=1225.E(Y)=025+80325+1001225=2885.因為E(X)E(Y),所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.20.解 (1)小張在這次活動中獲得的獎金數(shù)X的所有可能取值為100,200,300.P(X=300)=C33C63=120,P(X=200)=C31C21C11C63=620=310,P(X=100)=C32C31+C22C41C63=9+420=1320,或P(X=100)=1-P(X=200)-P(X=300)=1320所以獎金數(shù)X的概率分布列為X100200300P1320310120獎金數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1001320+200310+300120=140.(2)設(shè)3個人中獲二等獎的人數(shù)為Y,則YB3,310,所以P(Y=k)=C3k310k71