數(shù)學(xué)建模中的優(yōu)化模型

1、 現(xiàn)實(shí)(xinsh)世界中普遍存在著優(yōu)化問題. 建立(jinl)靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù). 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法. 靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)).簡單的優(yōu)化模型(靜態(tài)優(yōu)化)共二十四頁1. 存貯(cn zh)模型問 題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求(xqi)時要付貯存費(fèi). 該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出.已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元. 試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小.要求不只是回答問題，而且要建立

2、生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系.共二十四頁問題(wnt)分析與思考 每天生產(chǎn)(shngchn)一次, 每次100件,無貯存費(fèi),準(zhǔn)備費(fèi)5000元.日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元. 10天生產(chǎn)一次, 每次1000件，貯存費(fèi)900+800+100 =4500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元. 50天生產(chǎn)一次,每次5000件, 貯存費(fèi)4900+4800+100 =122500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元.平均每天費(fèi)用950元平均每天費(fèi)用2550元10天生產(chǎn)一次,平均每天費(fèi)用最小嗎?每天費(fèi)用5000元共二十四頁 這是一個優(yōu)化問題(wnt)，關(guān)鍵在建

3、立目標(biāo)函數(shù).顯然不能用一個(y )周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù).目標(biāo)函數(shù)每天總費(fèi)用的平均值. 周期短，產(chǎn)量小 周期長，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小.共二十四頁模 型 假 設(shè)1. 產(chǎn)品(chnpn)每天的需求量為常數(shù) r；2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備(zhnbi)費(fèi)為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為 c2；3. T天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量 為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計(jì)）；建 模 目 的設(shè) r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天總費(fèi)用的平均值最小.4. 為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理.共二十四頁模

4、 型 建 立0tq貯存量表示為時間(shjin)的函數(shù) q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q, q(t)以需求(xqi)速率r遞減，q(T)=0.一周期總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費(fèi)為A=QT/2共二十四頁模型(mxng)求解求 T 使模型(mxng)解釋定性分析敏感性分析參數(shù)c1,c2, r的微小變化對T,Q的影響T對c1的(相對)敏感度 c1增加1%, T增加0.5%S(T,c2)=-1/2, S(T,r)=-1/2c2或r增加1%, T減少0.5%共二十四頁經(jīng)濟(jì)批量(p lin)訂貨公式（EOQ公式） 用于訂貨(dng hu)供應(yīng)情況:不允許缺貨的存貯

5、模型模型應(yīng)用T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) 回答原問題c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量 r，每次訂貨費(fèi) c1, 每天每件貯存費(fèi) c2 , T天訂貨一次(周期), 每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時，Q件立即到貨.思考: 為什么與前面計(jì)算的C=950元有差別?共二十四頁允許(ynx)缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨(qu hu)，造成損失.原模型假設(shè)：貯存量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨).現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費(fèi) c3 , 缺貨需補(bǔ)足.T周期T, t=T1貯存量降到零一周期總費(fèi)用一周期貯存費(fèi)一周

6、期缺貨費(fèi)共二十四頁每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)(mbio)函數(shù)）一周期總費(fèi)用求 T ,Q 使為與不允許(ynx)缺貨的存貯模型相比，T記作T , Q記作Q.允許缺貨的存貯模型共二十四頁不允許缺貨(qu hu)模型記允許缺貨(qu hu)模型不允許缺貨共二十四頁允許(ynx)缺貨模型0qQrT1tT注意(zh y)：缺貨需補(bǔ)足Q每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R （或訂貨量）Q不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量) 共二十四頁2. 冰山(bngshn)運(yùn)輸背景(bijng) 波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米0.1英鎊. 專家建議從9600千米遠(yuǎn)的南極用拖船運(yùn)送冰山，取代淡化海水. 從經(jīng)濟(jì)角度研究

7、冰山運(yùn)輸?shù)目尚行?建模準(zhǔn)備1. 日租金和最大運(yùn)量船 型小 中 大日租金（英鎊） 最大運(yùn)量（米3）4.06.28.05105106107共二十四頁2. 燃料消耗（英鎊(yn bn)/千米）3. 融化(rnghu)速率（米/天）與南極距離 (千米)船速(千米/小時) 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山體積(米3)船速(千米/小時) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模準(zhǔn)備共二十四頁建模目的(md)選擇船型和船速，使冰山(bngshn)到達(dá)目的地后每立方米

8、水的費(fèi)用最低，并與淡化海水的費(fèi)用比較.模型假設(shè) 航行過程中船速不變，總距離9600千米. 冰山呈球形，球面各點(diǎn)融化速率相同.到達(dá)目的地后,每立方米冰可融化0.85立方米水.建模分析目的地水體積運(yùn)輸過程融化規(guī)律總費(fèi)用目的地冰體積初始冰山體積燃料消耗租金船型, 船速船型船型, 船速船型共二十四頁第t天融化速率模型(mxng)建立1. 冰山(bngshn)融化規(guī)律 船速u (千米/小時)與南極距離d(千米)融化速率r(米/天）r是 u 的線性函數(shù)d4000時r與d無關(guān)航行 t 天, d=24ut 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd共二十

9、四頁1. 冰山融化(rnghu)規(guī)律 冰山初始半徑R0，航行t天時半徑冰山初始體積t天時體積總航行(hngxng)天數(shù)選定u,V0, 航行t天時冰山體積到達(dá)目的地時冰山體積共二十四頁2. 燃料(rnlio)消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗(xioho) q1(英鎊/千米)q1對u線性, 對lgV 線性選定u,V0, 航行第t天燃料消耗 q (英鎊/天)燃料消耗總費(fèi)用共二十四頁 V0 5 105 106 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 3. 運(yùn)送(yn sn)每立方米水費(fèi)用 冰山

10、初始(ch sh)體積V0的日租金 f(V0)（英鎊）航行天數(shù)總?cè)剂舷馁M(fèi)用拖船租金費(fèi)用冰山運(yùn)輸總費(fèi)用共二十四頁冰山(bngshn)到達(dá)目的地后得到的水體積3. 運(yùn)送(yn sn)每立方米水費(fèi)用 冰山運(yùn)輸總費(fèi)用運(yùn)送每立方米水費(fèi)用 到達(dá)目的地時冰山體積共二十四頁模型(mxng)求解選擇船型和船速,使冰山(bngshn)到達(dá)目的地后每立方米水的費(fèi)用最低求 u,V0使Y(u,V0)最小u=45(千米/小時), V0= 107 (米3)， Y(u,V0)最小V0只能取離散值經(jīng)驗(yàn)公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18

11、340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5106取幾組（V0，u）用枚舉法計(jì)算共二十四頁結(jié)果(ji gu)分析由于未考慮影響航行的種種不利因素，冰山(bngshn)到達(dá)目的地后實(shí)際體積會顯著小于V(u,V0).有關(guān)部門認(rèn)為，只有當(dāng)計(jì)算出的Y(u,V0)顯著低于淡化海水的成本時，才考慮其可行性.大型拖船V0= 107 (米3),船速 u=45(千米/小時),冰山到達(dá)目的地后每立方米水的費(fèi)用 Y(u,V0)約0.065(英鎊).雖然0.065英鎊略低于淡化海水的成本0.1英鎊，但是模型假設(shè)和構(gòu)造非常簡化與粗糙.共二十四頁冰 山 運(yùn) 輸 模型(mxng)來自實(shí)際問題的可行性研究. 收集數(shù)據(jù)是建模的重要(zhngyo)準(zhǔn)備工作. 根據(jù)數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)公式是建模的基礎(chǔ).共二十四頁內(nèi)容摘要現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在(cnzi)著優(yōu)化問題.。建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù).。簡單的優(yōu)化模型(靜態(tài)優(yōu)化)。配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)。一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小.。需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)