高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題-數(shù)列

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載2013高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題 一數(shù)列【高頻考點(diǎn)解讀】一、等差數(shù)列的性質(zhì).等差數(shù)列的定義：an-an,=d (d為常數(shù))(n之2);.等差數(shù)列通項(xiàng)公式：*an =a1 +(n -1)d =dn+a d(n= N ) 推廣： an =am +(n m)d .等差中項(xiàng)(1)如果a, A, b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).即：a=等或2A = a b(2)數(shù)列a。是等差數(shù)列 u 2an = an-1 an 1 (n - 2) U 2an 1 = an an 2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：二 nl0_ 二 口為皿工=dn2 (a1d)n =An2 Bn2222(其中A、B是常數(shù)，

2、所以當(dāng)d為時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0)特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n+1時(shí)，an4是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)= 竺二1a1an_)=(2n+1用書(shū)(項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)2數(shù)乘以中間項(xiàng)).等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：若an -an=d或2口中-an =d (常數(shù)n w N)u Gn是等差數(shù)列.(2)數(shù)列an 是等差數(shù)列 u 2an =an-1 +an由(n 22) u 2an書(shū)=an + an . 數(shù)列GJ是等差數(shù)列u an=kn+b (其中k,b是常數(shù))。(4)數(shù)列an是等差數(shù)列U Sn =An2 + Bn,(其中A、B是常數(shù))。.等差數(shù)列的證明方法定義法：若an

3、 -anq=d或an由-an =d (常數(shù)n w nu Ln )是等差數(shù)列.提醒：(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：為、d、n、an及 Sn,其中&、d稱作為基本元素。只要已知這 5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求 出其余2個(gè)，即知3求2。(2)設(shè)項(xiàng)技巧：一般可設(shè)通項(xiàng)an =a1 (n -1)d奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，a-2d,a-d,a,a+d,a +2d(公差為d );偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，a-3d,a-d,a + d,a + 3d ,(注意；公差為2d)學(xué)習(xí)必備歡迎下載8.等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)公差d #0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 冬=&+61月=門十&一是關(guān)于門的一次

4、函數(shù)，且斜率為公 差d ;前n和& =nai +3d =-n2 +(a1 -d)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.222(2)若公差d 0,則為遞增等差數(shù)列，若公差d am 3k )仍為 等差數(shù)列(7)設(shè)數(shù)列In是等差數(shù)列，d為公差，S奇是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，Sn是前n項(xiàng)的和.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，n a a2n 二Sgf =a1 a3 a5 丁 an/=nan2n a2 a2nG禺 一 a? a4 a6 a2n - nan 12S禺一 S奇=nan 1 - nan = n 4 1 - a0 =ndS 奇nananS偶 nan 1 an 12、當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n+1時(shí)，則S2n1- S

5、偶=(2n 1)an+1S =(n 1R+1第 n 15=S 一 S偶=an+1S偶=nan+16禺n(其中an+1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng))(8)、bn的前n和分別為An、Bn,且4=f(n), Bn則含= f(2E(9)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sm = n ,前m項(xiàng)和Sn = m ,則前m+n項(xiàng)和n = T：m n學(xué)習(xí)必備歡迎下載(10)求&的最值法一：因等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的 最值，但要注意數(shù)列的特殊性nwN*。法二：(1) “首正”的遞減等差數(shù)列中，的項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和一.an 0 一 即當(dāng)ai0, d 0,由J可得Sn達(dá)到最大值時(shí)

6、的n值.5n書(shū)-0“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，的項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。 a 0即 當(dāng)ai0,由n 可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值.9n 4 - 0或求匕n：中正負(fù)分界項(xiàng)法三：直接利用二次函數(shù)的對(duì)稱性：由于等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的圖像是過(guò)原點(diǎn)的 二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對(duì)稱軸最近的整數(shù)時(shí)， Sn取最大值(或最小值) 若S p = S q則其對(duì)稱軸為n = BU2二、等比數(shù)列的性質(zhì).等比數(shù)列的止義： =q (q 00 )(n之2,且nW N ), q稱為公比 an J.通項(xiàng)公式:an =aiqnJL =曳4 = A Bn q # 0, A B #0 ), 推廣：an =amqn”, q.等比中項(xiàng)(

7、1)如果a,A,b成等比數(shù)列，那么 A叫做a與b的等差中項(xiàng).即： A2 = ab或A = . ab注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)(兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù))(2)數(shù)列Ln是等比數(shù)列U an2=anWn4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和&公式:(1)當(dāng) q =1 時(shí)，Sn =na1(2)當(dāng) q#1 時(shí),Sna1 1 qn _ a, -anq1-q 1 一qa1 a11 -q 1 -qqn 二A-A Bn =ABn - A學(xué)習(xí)必備歡迎下載(A,B, A,B為常數(shù)).等比數(shù)列的判定方法(1)用定義：對(duì)任意的n,都有a =qan或生土 =q(q為常數(shù)，an * 0) u an為等 an比數(shù)

8、列2(2)等比中項(xiàng)：an =an#anA (anan#0) u an為等比數(shù)列通項(xiàng)公式：an =A Bn(AE/0)u an為等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式：Sn =A-AEn或Sn =ABn-A(A,B,A,B為常數(shù))u an為等比數(shù)列.等比數(shù)列的證明方法a依據(jù)止義：右 =q (q #0 )(n至2,且n w N )或2門書(shū)=42門 an為等比數(shù)列 an.注思(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：為、q、n、an及 Sn,其中aq稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出 其余2個(gè)，即知3求2。(2)為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項(xiàng)的技巧，一般可設(shè)為通項(xiàng)；an=a1qn如奇

9、數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，W：,a,aq,aq2(公比為q,中間項(xiàng)用a表示)； q q8.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)當(dāng)q #1時(shí)等比數(shù)列通項(xiàng)公式20=2德2=曳4=慶舊慶60)是關(guān)于n的帶有系數(shù)的 q類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q前 n 項(xiàng)和 Sn =a1q La_ad a1 _aqn _ A_A Bn=ABnA,系數(shù) 1 -q 1 -q 1 -q 1 -q和常數(shù)項(xiàng)是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q學(xué)習(xí)必備歡迎下載 對(duì)任何m,nw N*,在等比數(shù)列an中，有an =amqn：特別的，當(dāng)m=1時(shí),便得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.因此，此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性。(3)右 m+n=s+t (m, n,

10、s, tw N )，貝U an am = as at.特力的，當(dāng) n+m=2k 時(shí)，得2 an am =ak注：ai d =a2 an=a3an/ 列an,bn為等比數(shù)列，則數(shù)列X,k,an,ank,k,an，bn 亙 (k為非零 anbn常數(shù))均為等比數(shù)列.(5)數(shù)列an為等比數(shù)列，每隔k(kw N*)項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,am k , am 2k , am -3k , )仍為等比數(shù)列(6)如果an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)og a an是等差數(shù)列 若an為等比數(shù)列，則數(shù)列Sn , S2n -Sn , $3n - Tn,成等比數(shù)列(8)若an為等比數(shù)列，則數(shù)列a1 a2 an ,an書(shū)a

11、攵 a2n ,a2n+ a2 n電a3n成等比數(shù)列當(dāng)q 1時(shí)，當(dāng)0q 0,則4為遞增數(shù)列a10,則an為遞減數(shù)列獨(dú)0,則aQ為遞減數(shù)列，40,則aQ為遞增數(shù)列當(dāng)q=1時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列(此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列)；當(dāng)q0時(shí)，該數(shù)列為才i動(dòng)數(shù)列.(10)在等比數(shù)列an中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (M N*)時(shí)，丸，.S偶q(11)若an是公比為q的等比數(shù)列，則Sn+ =Sn +qn 6m三、遞推數(shù)列類型 1 an 1 = anf (n)學(xué)習(xí)必備歡迎下載解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an書(shū)-an = f（n）,利用累加法（逐差相加法）求解。例:已知數(shù)列 Ln滿足 a1 =- , an$ =an +2-，求 an。n

12、n類型 2 an.i. =f（n）an解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 一=f（n）,利用累乘法（逐商相乘法）求解。an例:已知數(shù)列Gn滿足& =2 , an書(shū)=-n-an ,求an。n 1類型 3 an噂 = pan+q （其中 p, q 均為常數(shù)，（pq（p -1） #0）。例:已知數(shù)列以中, ai =1 , a n-+i 2an +3,求 a n.類型 4 an. = pan+qn (其中 p, q 均為常數(shù)，(pq( p 1)(q 1) 第 0)（an = pan+rqn ,其中 p, q, r 均為常數(shù)）。例:已知數(shù)列an）中，4 =5 , an書(shū)an+（1嚴(yán)，求an632類型5遞推公式為S

13、n與an的關(guān)系式。（或Sn = f（an）解法：這種類型一般利用:S (n=1)an -八Sn -S, (n 之 2)例：已知數(shù)列Gn）前n項(xiàng)和Sn =4-an -1.2 n -2（1）求an書(shū)與an的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式an.類型6遞推關(guān)系形如an = Aan （A,B,C為非零的常數(shù)）Ban C這種類型的解法是將式子兩邊同時(shí)取倒數(shù)，把數(shù)列的倒數(shù)看成是一個(gè)新數(shù)列便可順利地轉(zhuǎn)化為類型2的解法.2a例、已知數(shù)列為滿足&=2自由=一匚,求為.an 2【高頻強(qiáng)化】 考點(diǎn)一：數(shù)列的對(duì)稱性原理學(xué)習(xí)必備歡迎下載例1.等差數(shù)列an前四項(xiàng)和為40,末四項(xiàng)和為72,所有項(xiàng)和為140,則該數(shù)列 TOC o 1-

14、5 h z 共有()A.9 項(xiàng)B.12 項(xiàng)C.10 項(xiàng)D.13 項(xiàng)例2.在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a、a99是方程x2-10 x+16=0的兩個(gè)根，則a40 a50 a60的值為()A.32B.64C.毛4D.2561 例3.已知萬(wàn)程(x2 -2x+m)(x2-2x+n) =0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差4列，則 m n =()313(A) 1(B) -(C) -(D)-428考點(diǎn)二；函數(shù)法例1.已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an=26-2n,若要使此數(shù)列的前n項(xiàng)之和Sn最大，則n的值是()A.12B.13C.12 或 13D.14例2.已知an是遞增數(shù)列，對(duì)任意的n玳*,都有an=n2+M恒成立，則汕勺取

15、值范圍是()A. (2，+% B. (0, +內(nèi) C. ( 2,D. ( 3, 十% 例3.數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n+a,要使an是等比數(shù)列，則a的值為(A.0B.1C.-1D.2例4.設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y困都有f(x) f(y)=f(x+y),1D. J，若a17aMM玳)，則數(shù)歹加刖n項(xiàng)和Sn的取值范圍是(A. 1, 2) B. , 2 C.1，1) 222學(xué)習(xí)必備歡迎下載x例5.設(shè)函數(shù)f (x) = +sinx的所有正的極小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為 Xn. 2(I )求數(shù)列4的通項(xiàng)公式；(II )設(shè)Xn的前n項(xiàng)和為Sn ,求sin Sn?？键c(diǎn)三：周期

16、數(shù)列例1.若數(shù)列an滿足an+1 = =2a n -1,(0 三 an,1,1、)2，,A.?(-三 an 1),C.-7一 6 一右a1 = ，則a2 006的值為(例2：數(shù)列an的通項(xiàng)公式52 ,其前n項(xiàng)和為Sn,則S2012等于(A.1006B.2012C.503D.0考點(diǎn)四：數(shù)列分段和原理例1:等比數(shù)列前n項(xiàng)和為54,前2n項(xiàng)和為60,66642C 663則前3n項(xiàng)和為()-2(D) 603例2：在等差數(shù)列an中，a1+a2+a3=3,a28+a29+a30=165 ,則此數(shù)列前30項(xiàng)的和學(xué)習(xí)必備歡迎下載 TOC o 1-5 h z 等于（）A.810B.840C.870D.900考點(diǎn)

17、五：數(shù)列累加法例 1:在數(shù)列an中，a1=2, a = an+ln（1+ ）,則 an =（）nA. 2+ln n B. 2+（n1）lnnC . 2 + nlnn D. 1 + n+lnn例 2.:在數(shù)列an中，a1 =2,an書(shū)=an +2n 1,求an.考點(diǎn)六：定義法 TOC o 1-5 h z 例1.已知數(shù)列an中,a3=2,a7=1,又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，則a11等于（）an 1A.0B.1C.-D.-13例 2.數(shù)列an中，ai ,a2 a1，a3 a2,., an -an是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列， 3則an等于（）131212（A） 3（1 ）（B） | （1 4）（C） 1（1

18、5）（D） | （12323333一白）3_ ，一 一 11例3:設(shè)數(shù)列an滿足切=0且=1.一 an 11 - an（I ）求an的通項(xiàng)公式； Ja.4_n（H ）設(shè)bn =尸一,記 Sn = 2 bk ,證明：Sn 1.nkm學(xué)習(xí)必備歡迎下載 TOC o 1-5 h z 一 ，一一， 一111 -例4:已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a(awR),且，一，一成等 a1a2a4比數(shù)列.(I )求數(shù)舛an的通項(xiàng)公式；1111, 1一 .(H )對(duì)n w N ,試比較 一 十=+不+n與一的大小.a2a2a2a2 a1考點(diǎn)七：遞推法：anS (n=1) -Sn工，(nA 2)例1.數(shù)歹1%的前n項(xiàng)為Sn, Sn =2斗-3n(nw N *).(1)證明：數(shù)列an+3是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列Qn的通項(xiàng)公式an.學(xué)習(xí)必備歡迎下載例2.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為&,已知ai =1,SH = 4an+2(I)設(shè)bn =an邛-2an,證明數(shù)列bn是等比數(shù)列(II)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。