高三數(shù)學(xué)培養(yǎng)直覺思維,提高學(xué)生素質(zhì)

1、培養(yǎng)直覺思維，提高學(xué)生素質(zhì)湖南寧鄉(xiāng)一中黎國之(地址：湖南寧鄉(xiāng)縣玉潭鎮(zhèn)二環(huán)西路100號，郵箱郵編410600)數(shù)學(xué)思維包括邏輯思維和直覺思維兩種形式，邏輯思維嚴(yán)格遵守數(shù)學(xué)概念和 邏輯演繹的規(guī)則，而直覺思維不受固定的邏輯規(guī)則約束，它直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)， 是一種跳躍式的預(yù)見，因此大大縮短思考時間。雖然邏輯思維在數(shù)學(xué)思維中始終 占據(jù)著主導(dǎo)地位，但直覺是思維活動中最活躍、最積極、最具有創(chuàng)造性的思維， 兩者具有辨證互補的關(guān)系，即所謂“大膽假設(shè)，小心求證”。事實上，自然科學(xué)史上的許多發(fā)現(xiàn)和發(fā)明，文學(xué)藝術(shù)方面的許多生花妙筆，政治領(lǐng)域的許多不朽佳 構(gòu)，經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的許多經(jīng)典杰作，軍事史上許多奇謀異略，刑事偵查方面的許

2、多巧 推妙斷，往往都離不開直覺思維的作用。因此，作為選拔人才的高考命題人，很 自然要考慮對考生直覺思維能力的考查。 筆者經(jīng)過對近幾年高考數(shù)學(xué)試卷的分析 證實了這一點?？梢?，在平時的教育教學(xué)中高度重視直覺思維的培養(yǎng)乃是順理成 章的事情，是真正意義上的素質(zhì)教育。培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺思維，可以從特殊結(jié)構(gòu)(包括代數(shù)式的結(jié)構(gòu)、圖形的結(jié)構(gòu)、問 題的結(jié)構(gòu))、特殊數(shù)值、特殊位置、變化趨勢、變化極限、范圍估計、運算結(jié)果、 特殊聯(lián)系等方面來進(jìn)行。下面以解填空題選擇題為例分類說明。一、從特殊結(jié)構(gòu)入手【例題11 一個正四面體，各棱長均為 應(yīng)，則對棱的距離為多少？此題情境設(shè)置簡潔，解決方法也多，通?？梢钥紤]作出對棱的公垂線段再

3、轉(zhuǎn) 化為直角三角形求解。不過若能意識到把這個正四面體置于一個正方體結(jié)構(gòu)中 (如圖1),則瞬間得到結(jié)果，就是該正方體的棱長，為 1?！纠}2】已知a,bWR,且a+b+1=0,那么(a22+(b32的最小值是22我們當(dāng)然可以用消兀的萬法求解，不過由式子(a-2) +(b-3)的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到兩點的距離公式J(x-X2)2+(y1-y2 f ,則式子(a-2(b-3)2可以看作是直線 a+b+1=0上的動點P (a,b)到定點Q (2, 3)的距離的平方，由點到直線距 離公式知|(a-2(b-3)l =(艮上3口 =18。所以答案為 18。-min 2二、從特殊數(shù)值入手1【例題3、已知sin x+co

4、s x =,冗 x E 2冗，則tan x的值為()5 TOC o 1-5 h z A B 、一或一C、一一 D 、一 33443由題目中出現(xiàn)的數(shù)字3、4、5是勾股數(shù)以及x的范圍，直接意識到 sin x = _3 ,cos x =-, 從而得至U tanx =-, 選 C。554【例題4】、4ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（）A、3J3B 、1 C 、1 D 1882本題選自某一著名的數(shù)學(xué)期刊，作者提供了下列“標(biāo)準(zhǔn)”解法，特抄錄如下供讀者比較：設(shè) y=cosAcosBcosC 則 2y=cos （A+B + cos （A-B） cosC , .cos2C- cos （A-B） c

5、osC+2y=Q 構(gòu)造一元二次方程 x2- cos （A-B） x+2y=0, 則cosC是一元二次方程的根，由 cosC是實數(shù)知：= cos 2 （A-B） -8y 0, TOC o 1-5 h z 21即 8y&cos （A-B） 1, - y GS2 b、&C、SiS2& D、S206我們固然可以用直接法算出答案來，標(biāo)準(zhǔn)答案也正是這樣做的，但是顯然時 間會花得多。憑直覺你可以估計到：它們的期望值相同，離開期望值比較近的數(shù) 據(jù)越多，則方差一一等價于標(biāo)準(zhǔn)差會越?。∷赃x Bo五、從變化極限入手 TOC o 1-5 h z 【例題9】、在 ABC中，角A、B C所對邊長分別為a、b、c,若c-

6、a等于AC 邊上的高，那么sin C A +cosC +A的值是（）22A 1 B 、1 C 、1 D 、-1 23進(jìn)行極限分析，At00時，點Ct A ,此時高h(yuǎn)T0,CTa,那么C t 1 8 0 At 00 所以 sin C-A +cosCA t sin 900 +cos00 =1 ,選 A。22【例題10、（06遼寧文11）與方程y = e2x-2ex+1（x之0）的曲線關(guān)于直線y=x 對稱的曲線方程為（）A y = ln（1+7x）B 、y = ln（1-VX）C y - - ln（1 % x） D y - - ln（1 -、x）用趨勢判斷法：顯然已知曲線方程可以化為y = （ex-

7、1）2（x20）,是個增函數(shù)。 再令xt y,那么yT Z,那么根據(jù)反函數(shù)的定義，在正確選項中當(dāng) yT 時 應(yīng)該有xt收,只有A符合。六、從范圍估計入手【例題11、（07浙江文8）甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“ 3局2勝”，即以先贏2局者為勝，根據(jù)以往經(jīng)驗，每局比賽中甲獲勝的概率為0.6,則本次比賽中甲獲勝的概率為（）A、0.216B 、0.36 C 、0.432 D 、0.648據(jù)看“標(biāo)準(zhǔn)”解法一一甲獲月t分兩種情況：甲：乙 二2: 0,其概率為0.6 X 0.6=0.36 ,甲：乙二2: 1,其概率為C；0.6黑0.4黑0.6 = 0.288,所以甲獲勝的 概率為 0.36+0.28

8、8=0.648 ,選 D。現(xiàn)在再用直覺法來解：因為這種比賽沒有平局，2人獲勝的概率之和為1,而甲獲勝的概率比乙大，應(yīng)該超過 0.5,只有選Do【例題12（07湖北理9）連續(xù)投擲兩次骰子的點數(shù)為 m,n ,記向量b= （m, n） 與向量a= （1,-1）的夾角為日，則日w10%1的概率是（）.2A、1212憑直覺可用估值法，畫個草圖（圖 4）,立刻 發(fā)現(xiàn)在/AOB范圍內(nèi)（含在OB上）的向量b的個 數(shù)超過一半些許，選C,完全沒有必要計算。圖4七、從運算結(jié)果入手【例題13、（97全國理科）函數(shù)y =sin（三2x）+cos2x的最小正周期是（3A 二 B 、 n C 、 2冗D 、 4元2因為as

9、inx+bcoscox = Asin（6x +中），所以函數(shù)y的周期只與與有關(guān)，這里 切=2 ,所以選B,根本不必計算。727【例題 14】、右（12x） =a）+ax+ax 卅|+&x ,則 |注 l+la |+|a2|訓(xùn)+ |a7|=（）A -1 B 、1 C 、0 D 、37直覺告訴我們，從結(jié)果看，展開式系數(shù)取絕對值以后，其和會相當(dāng)大，選 Do 或者退化判斷法：將7次改為1次；還有一個更加絕妙的主意：干脆把問題轉(zhuǎn)化 為已知（1+2x）7 =a0+a1x+a2x2+| + a7x7,求 a0+a1+a2 + a7 ,這與原問題完 全等價！所以結(jié)果為37 ,選D。八、從特殊聯(lián)系入手x 0,【

10、例題15、（97年高考）不等式組3-x 2-x的解集是（）3 + x廠2+xA、x|04xY2B 、x|0 xY2.5C、1x|0Y x/6）D 、ix|04 xY 3?這四個值中會是哪一個呢？直覺：它必定是方程3-x3 x代入驗證:直接求解肯定不是最佳策H&;四個選項左端都是 0,只有右端的值不同，在2不是，3不是，2.5也不是，所以選 C【例題16、四個平面，最多可以把空間分成幾部分？（A. 8 B . 14 C . 15 D . 16這個問題等價于：一個西瓜切4刀，假設(shè)在此過程中西瓜不散落，則最多可 以切成幾塊？前3刀沿橫、縱、豎三個方向切成8塊應(yīng)該沒有問題，第4刀怎么切呢？要 得到最多的塊數(shù)，應(yīng)