高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品等比數(shù)列

1、20092010學(xué)年度高三數(shù)學(xué)（人教版A版）第一輪復(fù)習(xí)資料第29講等比數(shù)列.【課標(biāo)要求】.通過實例，理解等比數(shù)列的概念；.探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和的公式；.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體 會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.【命題走向】等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點?？陀^性的試題 考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基 本的運(yùn)算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識為工具預(yù)測2010年高考對本講的考察為：（1）題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的12道客觀題目；（2）關(guān)于

2、等比數(shù)列的實際應(yīng)用問題或知識交匯題的解答題也是重點；（3）解決問題時注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價 轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考察考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力 三.【要點精講】1.等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等 于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù) 列的公比；公比通常用字母q表示（q#0）,即：an書：an=q（q#0）數(shù)列對 于數(shù)列（1） （2） （3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2, 5, - 1。（注2意：“從第二項起、“常數(shù)” q、等比數(shù)列的公比和項都不為零）.等比數(shù)列通項公式

3、為：an =a1 qn-L（a1 q 0） o說明：（1）由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當(dāng)公比d =1時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項公式知：若 an為等比數(shù)列，則am = qmJ1o an.等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù) G,使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項（兩 個符號相同的非零實數(shù)，都有兩個等比中項）.等比數(shù)列前n項和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列斜20,川2,|的前n項和是Sn =a1 +a2 +a3 +| + an,當(dāng)q,1時，Sn =a1（1q）或 Sn =曳二aq；當(dāng) q=1 時，Sn =na1（錯位相減法）。1-q1-q說明：（1） a1,q,

4、n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三個可求第四個；（2）注意求和公式中是 n 4通項公式中是q 不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時 q*1,必要時應(yīng)討論q = 1的情況。 四.【典例解析】題型1：等比數(shù)列的概念 TOC o 1-5 h z ，“斗，一，一 ，“1 ，一 ，-，例1 . “公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為 1的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；2“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac ； a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個命題中，正確的有()A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個解析：四個命題中只有最后一個是真命題。命題1中未考慮各項都為 0的

5、等差數(shù)列不是等比數(shù)列；命題2中可知an+1=anX - , an+1an未必成立，當(dāng)首項a10時，anan,即an+1an, HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 22此時該數(shù)列為遞增數(shù)列；命題3中，若a=b=0, cC R,此時有b2 =ac ,但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為b= ac ,則成為不必要也不充分條件。點評：該題通過一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。例2.命題1 ：若數(shù)列an的前n項和Sn=an+b(a w 1),則數(shù)列an是等比

6、數(shù)列；命題2：若數(shù)列an的前n項和Sn=an2+bn+c(a w 0),則數(shù)列an是等差數(shù)列；命題3:若數(shù)列an的前n項和Sn=na-n,則數(shù)列an既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；上述三個命題中，真命題有()A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個解析：由命題1得，a1=a+b,當(dāng)n2時，an=Sn_Sn 1=(a-1) - an 1 若an是等比數(shù)列，則 =a,即a 1)=a,所以只有當(dāng)b= 1且aw 0時，此數(shù)列才是等比數(shù)列。aa b由命題 2 得，a=a+b+c,當(dāng) n2 時，an=Sn- Sn 1=2na+b a,若an是等差數(shù)列，則 a2 一 a1=2a,即2a-c=2a,所以只有當(dāng)c=

7、0時，數(shù)列an才是等差數(shù)列。由命題3得，a1=a1,當(dāng)n2時，an=Sn- Sn 1=a 1,顯然an是一個常數(shù)列，即公差 為0的等差數(shù)列，因此只有當(dāng) a 10;即aw 1時數(shù)列an才又是等比數(shù)列。點評：等比數(shù)列中通項與求和公式間有很大的聯(lián)系，上述三個命題均涉及到Sn與an的關(guān)a1 當(dāng)n = 1時系，它們是an=t正確判斷數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必須用1sn -Sn，當(dāng)n之2時上述關(guān)系式，尤其注意首項與其他各項的關(guān)系。上述三個命題都不是真命題，選擇Ao題型2:等比數(shù)列的判定例3.已知等比數(shù)列(an )中a2 =1 ,則其前3項的和0的取值范圍是(D )(A) (-0,-1(B) (-0

8、,0 jU(1D(C)b*)(D)(-加卜尸)【解1】：,一等比數(shù)列(an9a2=1 ，當(dāng)公比為1時，a1=a2=%=1, S3 = 3 ；當(dāng)公比為T時，a=1 =10=T , 0=T 從而淘汰(A) (B) (C)故選D; TOC o 1-5 h z 11_1【斛 2】：二,等比數(shù)列（an J43 a2 =1 ，S3 =a1+a2+a3 =a2 1 + q + 0 時，S3 =1+q+之1+2 ；q 一=3； q q11當(dāng)公比 q0 時，S3 =1 - -q - 1 -2 j1 -q 一一 = -1 2,an =Sn -Sn= kn2 +n -k(n-1)2 +(n -1) = 2kn-k+

9、1 (* )經(jīng)驗，n=1, (*)式成立，, an=2knk+12(n) - am,a2m,a4m成等比數(shù)列，, a2m =am.a4m，2即(4kmk+1) =(2km k+1)(8km k+1),整理得：mk(k1)=0,對任意的mN1*1成立，/. k=0或k=1題型3：等比數(shù)列的通項公式及應(yīng)用例5. 一個等比數(shù)列有三項，如果把第二項加上4,那么所得的三項就成為等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第三項加上32,那么所得的三項又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為a, aq, aq2;則 2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32);解得 a=2, q=

10、3 或 a= 2 , q= 5；9故所求的等比數(shù)列為 2, 6,18或2 , - , 50。999點評：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量a1，q,先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁。例6. （2009山東卷文）等比數(shù)列 an的前n項和為Sn ,已知對任意的nW N均在函數(shù)y = bx +r（b A0且b #1,b,r均為常數(shù)）的圖像上.（1）求r的值；n 1.（11）當(dāng)b=2時，記 bn = （nwN ） 求數(shù)列bn的前n項和Tn4烝解：因為對任意的nw N十點（n,Sn）,均在函數(shù)y=bx+r（b0且b#1,b,r均為常數(shù)）的圖

11、像上.所以得Sn =bn +r,當(dāng) n=1 時，sn =S =b+r,當(dāng) n 一2 時，%-Sbn r -（bn,r） = bn - bn=（b - 1）bn，又因為 an為等比數(shù)列，所以r=-1,公比為b, 所以an =（b 1）bn(2)當(dāng) b=2 時，an=(b1)bn,=2n,，bn=S=* TOC o 1-5 h z 4an4 22234n1貝U T=n11n22242n11234一 n n 12Tn =3 27 2 F7 . 小,112111.2n 12n 2相減，得一Tn = -2 + =+ -4 +工 +1M +222232425c (1 一 )12n 1n 12n 2123

12、(1 2山 _ n_1 _ 32d 12n 2 一 4I - -21 n 12n - 2n 1n 32n 1一 3Sn求an的基本題型，并運(yùn)所以Tn =3 2【命題立意】：本題主要考查了等比數(shù)列的定義 ，通項公式，以及已知用錯位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對應(yīng)項乘積所得新數(shù)列的前n項和Tn.例7. （ 1） （ 2009安徽卷文）已知數(shù)列仆的前n項和二跳十窈,數(shù)列X 的前n項和:a la）求數(shù)列4與4的通項公式；(n)設(shè)%二”也，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n3時，闈與a1(n =1)【思路】由a =4， - 可求出an和bn,這是數(shù)列中求通項的常用方法之一，在求Sn -Sn 1 (n _2)L-出an

13、和bn后，進(jìn)而得到Cn,接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法口【解析】(1)由于a1 = s =4當(dāng) n 之2 時，an = sn sn=(2n2 +2n) 2(n 1)2 +2(n 一1) = 4n, am = 4n(n w N*)又當(dāng) x n 時 bn =Tn -Tn(2-6m)-(2 - 刈). 20 =bn1. 1 . n 1,數(shù)列bn項與等比數(shù)列，其首項為1,公比為一二bn =(-) 22(2)由(HDC1 =a； b =16n2 ,(I、，2Cn .1Cn16(n 1)2 (：)(n 1)J16n2 (-廣(n 1)22n22由 Cni :二 1得 9_DCn2n0,-. n

14、 1 +應(yīng)即 n 3又n23時(n +?2 1成立，即“吐0恒成立. 2nCn因此，當(dāng)且僅當(dāng)n3時，Cn+ 7時，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論。(3)已知 an是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a = 0, a2=3,an+an= (an-1+2) (an-2+2), n= 3, 4, 5,.(I)求 a3；(n)證明 an = an-2+ 2, n=3, 4, 5,；(m)求 an的通項公式及其前 n項和0。解析：(1) 一 an為等差數(shù)列， bn為等比數(shù)列，2a2 a a4= 2a3,b2b4= b3 .已知 a2 + a4= b3, b2b4= a3,2 b3 = 2a3 , a3=

15、b3 .得 b3 = 2b32.11 bw0 . . b3, a3.24a3=-知 an的公差為4d=-3, 810 955 S10 = 10a- +d 二28由b=1, b3= 1知bn的公比為2當(dāng)一普噌（2 + 同(2)(I)設(shè)公比為 q,公差為d,等比數(shù)列1, a1，a2, ,an,2,等差數(shù)列1,b1,b2,以，2。貝U A1 = a1 = 1 , q A2= 1 , q , 1 , q2 A3= 1 , q - 1 - q2 1 , q3又= an+2= 1 , qn+1= 2 得 qn+1 = 2,2 n (1 n) n ，、An = q q , - q = q= 22 (n=1,

16、 2, 3)2又,bn+2=1+ (n+1) d= 2(n+1) d= 1+d i+2+d+1+2d *1+d+1+0*(n) AnBn,當(dāng) n7 時證明：當(dāng)n = 7時，235=8。X7, AnBn3Bn,則當(dāng)n=k+1 時，Ak 書22 2k又 Ak+1= V2 2* Bk書3.3 1=-k 且 Ak Bk22 TOC o 1-5 h z -3.3.3八3.3Ak+1Bk+122k k (v2 - 1) k22222又.k=8, 9, 10 ，Ak+ i-Bk+i0,綜上所述，AnBn成立.(I)解：由題設(shè)得a3a4= 10,且a3、a,均為非負(fù)整數(shù)，所以 a3的可能的值為1,2, 5,

17、10. TOC o 1-5 h z 一3右23=1,則a4=10, a5=,與題設(shè)矛盾.2-_35右a3=5,則 a4= 2, a5= ,與題設(shè)矛盾.2一 一一 3右a3 = 10,則a4=1, a5= 60, a6=,與題設(shè)矛盾.5所以a3=2.(n )用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=3, a3=a1+2,等式成立；假設(shè)當(dāng) n=k (k3)時等式成立，即 ak= ak2+2,由題設(shè) ak+1ak= (ak1+2) , ( ak2 + 2),因為 ak= ak 2+ 20,所以 ak+ = ak-+2,也就是說，當(dāng)n=k+ 1時，等式ak+1 = ak-1+2成立；根據(jù)和，對于所有n3,有an+產(chǎn)an

18、-1+2。(出)解：由 a2k 1= a2( k-1)-1+2, a=0,及 a2k = a2 *-1)+ 2, a2= 3 得 a2k-1 = 2 (k 1), a2k= 2k+1, k= 1, 2, 3,，即 an=n+ ( 1) n, n=1, 2, 3,。n(n +1)，當(dāng)n為偶數(shù)，所以Sn=0),由題意得：&+a2+a3=21，即 2223+3q+3q =21,q +q-6=0 ,求得 q=2(q= 3舍去),所以 a3+a4+a5=q (a1+a2+a3)=4 父 21 = 84,故選 C。(2)答不：bb2bn =4應(yīng)燈？-n (nv17) n N N );解：在等差數(shù)列 an中

19、,由 a10= 0,得 a1 + a19= a2 + a18= 0 = an + a2。-n= an+1 + a19-n= 2a10= 0,所以 a + a2+ an + a19=0, 即 a1+a2+ an= - a19 a18 一an+1,又a【=一 a19, a2=- a18)a19-n=- an+1 ai + a2+,+ an= a19一a18 一 an+i=ai + a2 + ,+ a9-n)若29=0,同理可得 a1+a2+ an= a1 +a2+a17-n,相應(yīng)地等比數(shù)列 bn中，則可得：b1b23bn= b1b23b17n (nv17, nCN )。點評：本題考查了等比數(shù)列的相

20、關(guān)概念及其有關(guān)計算能力。例10. (1)設(shè)首項為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前 n項和為80,前2n項和為6560,且前n 項中數(shù)值最大的項為 54,求此數(shù)列的首項和公比 q。1(2)在1和n+1之間插入n個正數(shù)，使這n+2個數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n個n數(shù)之積。(3)設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，項數(shù)是偶數(shù)，它的所有項的和等于偶數(shù)項和的4倍，且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍，問數(shù)列l(wèi)g an的前多少項和最大？(lg2=03,lg3=0.4)解析：(1)設(shè)等比數(shù)列 an的前n項和為Sn,依題意設(shè)：a10, Sn=80 , S2n=6560。 S2nW 2s , ，qwa1(1 - q2

21、n)-=6560。1 -qa1 1 -qn從而-80,且1 -q兩式相除得1+qn=82 ,即qn=81。-a1=q-10即q1,從而等比數(shù)列 an為遞增數(shù)列，故前 n項中數(shù)值最大的項為第n項。1- a1qn-1=54，從而(q 1)qn-1=qn-qn-1=54。qn-1=81 -54=27- q=qnh 1q81=3 o27一 a1=q一 1=2故此數(shù)列的首為2,公比為3。(2)解法1:設(shè)插入的n個數(shù)為x1，x2，xn,且公比為q,n,則 n 1 = 1qnqn 1 二 n(n 1), xk = - qk, k =1,2, nnTn2xn11 2 .=一q qn n1 nq nn(n 1)

22、2n 1 -=(1)2on1解法2：設(shè)插入的n個數(shù)為x1，x2，xn, x0 =-,xn由=n+1 n.n 1Xo Xn 1 =x1 xn = x2 Xn=nTn =X1 X2XnTn2 =(XXn) (X2Xn/) ：(XnX1)=(0 1)nn)2。,一、， r .一 *(3)斛法一 ：-設(shè)公比為q,項數(shù)為2m,mC N ,依題意有:_ / 2 m 4、_/ 2 mai (q -1)a1q (q1) q 1q2 -1，、，3、 2 .3、內(nèi))，(a1q ) =9(aq +a1q )化簡彳導(dǎo)q +1 24，、aq =9(1+q),_1解彳導(dǎo)產(chǎn)- 3,a1 =108設(shè)數(shù)列l(wèi)g an前n項和為S

23、n,則 Sn=lga1+lga1q2+ +lgaqn 1=lga1n q1+2+ +(n 1,11,八 c= nlga1+ n(n 1) lgq=n(2lg2+lg3)n(n 1)lg3(一2)n +(2lg2+ 31g3) n-72lg2 -lg3可見，當(dāng)n=2一時，&最大,lg372lg2 -lg3而 2lg34 0.3 7 0.42 0.4=5,故lg an的前5項和最大,解法二1接前,a1二1081lgan=lg108(1 )n11 =lg108+(n-1)lg-, 33數(shù)列l(wèi)g an是以lg108為首項,以lg 13為公差的等差數(shù)列,=5.5 ,令 lganRQ 彳導(dǎo) 2lg2-(n

24、-4)lg3 蕓0 ,n 2lg 2+4lg3 _ 2-0.3+4-0.40.4lg3由于nC N*,可見數(shù)列l(wèi)g an的前5項和最大。點評：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量a1,q ,先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項等距”的兩項積相等，這在解題中常用到。題型6:等差、等比綜合問題例11.已知公比為q(0 q 1)的無窮等比數(shù)列an各項的和為9,無窮等比數(shù)列a2n 各項的和為81。5(I )求數(shù)列an的首項a1和公比q ；(n )對給定的k(k =1,2,3, n),設(shè)T(k)是首項為ak,公差為2ak 1的等差數(shù)列.求數(shù)列T(k)的前