2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(理科) 及答案解析

1、第2頁(共17頁)第 頁（共17頁）絕密啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）理科數(shù)學(xué)答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（5分）設(shè)集合A=-1,1,2,3,5,B=2,3,4,C=xGR|lWxV3，則（AQC）UB=（A.2B.2,3C.-1,2,3D.1,2,3,42.（5分）設(shè)變量x,y滿足約束條件x-y4-20,工則目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y的最大

2、值為（）A2B3C5D6（5分）設(shè)xGR，則“x2-5xV0”是“|x-1|V1”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件（5分）閱讀如圖的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出S的值為（）否否是輸出結(jié)束JS=S+t-2J1-1,S=0A5B8C24D29(5分)已知拋物線y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為1.若l與雙曲線W-當(dāng)=1(a0,ba2b20)的兩條漸近線分別交于點A和點B,且|AB|=4|0F|(0為原點)，則雙曲線的離心率為()A.-/2B.3C.2D.56(5分)已知a=log52,b=log0.50.50.52,c=O.502，則a,b,c的大小關(guān)

3、系為()A.aVcVbB.aVbVcC.bVcVaD.cVaVb7(5分)已知函數(shù)f(x)=Asin(3X+)(A0,30,|d|Vn)是奇函數(shù)，將y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g(x).若g(x)的最小正周期為2n,且g(羋)=血，則f(誓)=()TOC o 1-5 h z48A.-2B.-C.：龍D.2(5分)已知aGR.設(shè)函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的不等式f(x)LKalns,ulMO在R上恒成立，則a的取值范圍為()A0,1B0,2C0,eD1,e二、填空題：本大題共6小題,每小題5分,共30分.TOC o 1-5 h z（5分）i是

4、虛數(shù)單位，則|善|的值為.1+1（5分）（2xi）8的展開式中的常數(shù)項為.8x3（5分）已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為匚瓦若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.（k=2+2cos日,（5分）設(shè)aER,直線ax-y+2=0和圓（0為參數(shù)）相切，則a的Ly=l+2sin9值為13.(5分)設(shè)x0,y0,x+2y=5，則(SHX2y+l)的最小值為（5分）在四邊形ABCD中，ADBC,AB=2運，AD=5，ZA=30，點E在線段CB的延長線上，且AE=BE，則BDAE=三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說

5、明，證明過程或演算步驟.（13分）在AABC中，內(nèi)角A,B，C所對的邊分別為a,b，c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC（I）求cosB的值；（II）求sin（2B+）的值.o9（13分）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為彳.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立（I）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（II）設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”求事件M發(fā)生的概率.（13分）如圖，AE丄平面ABCD,CFAE,ADB

6、C,AD丄AB,AB=AD=1,AE=BC=2.（I）求證：BF平面ADE；（II）求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；（HI）若二面角E-BD-F的余弦值為寺求線段CF的長.第 頁（共17頁）第 頁（共17頁）22（13分）設(shè)橢圓青七=1（ab0）的左焦點為F,上頂點為B.已知橢圓的短軸長為4,離心率為（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)點P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點M為直線PB與x軸的交點，點N在y軸的負半軸上.若|ON|=|OF|（0為原點），且0P丄MN,求直線PB的斜率.(14分)設(shè)a是等差數(shù)列，b是等比數(shù)列.已知3=4,耳=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.nn1122

7、33求a和b的通項公式；nn1,2krL0,b0)的兩條漸近線分別交于點A和點B,且|AB|=4|0F|(0為原點),.：|AB|=Z,|0F|=1,.：二4,：b=2a,aac=.：+/=吊，雙曲線的離心率為e=a故選：D.【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，考查拋物線、雙曲線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.6【分析】本題先將a、b、c的大小與1作個比較，發(fā)現(xiàn)b1,a、c都小于1.再對a、c的表達式進行變形，判斷a、c之間的大小【解答】解：由題意，可知：a=log52V1,b=log050.2=1口呂石=1口電-：5=log25log24=2.Tc=O.5

8、0Xl,/.b最大，a、c都小于1.J_a=log52=Tc=o.50.2=(評=轉(zhuǎn)=話而log25log24=260*log2SaVc,/aVcVb.故選：A.【點評】本題主要考查對數(shù)、指數(shù)的大小比較,這里盡量借助于整數(shù)1作為中間量來比較.本題屬基礎(chǔ)題.7【分析】根據(jù)條件求出d和3的值，結(jié)合函數(shù)變換關(guān)系求出g(x)的解析式，結(jié)合條件求出A的值,利用代入法進行求解即可.【解答】解：(x)是奇函數(shù)，.d=0,則f(x)=Asin(3x)將y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g(x).即g(x)=Asin(*3x)g(x)的最小正周期為2n,2兀=

9、2n,得3=2,則g(x)=Asinx,f(x)=Asin2x,若g(則g()=Asin=A=l2即A=2,4442則f(x)=2sin2x，則f()=2sin(2XJ=2sin；=2X-#=：2,故選：C.【點評】本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解，結(jié)合條件求出A,3和d的值是解決本題的關(guān)鍵.8【分析】分2段代解析式后，分離參數(shù)a,再構(gòu)造函數(shù)求最值可得.【解答】解：當(dāng)x=1時，f(1)=1-2a+2a=10恒成立；2當(dāng)xV1時，f(x)=x2_2ax+2aM0o2aM恒成立，x-1(1-人/、K2K2(1-X-1)2(1-K)22(1-K)+1令g(x)=一=-=-=-1-/1-x1-x2)

10、W-(2.(ip)y-2)=0，.2aMg(x)=0,.a0.max當(dāng)x1時，f(x)=x-alnx$OoaW恒成立，Ins1口葢-L_書-工丄令h(x)=，則h(x)=(Ins)2(Ielk)當(dāng)xe時，h(x)0,h(x)遞增，當(dāng)1VxVe時，h(x)VO,h(x)遞減,.x=e時，h(x)取得最小值h(e)=e,.aWh(x).=e,綜上a的取值范圍是0,e.故選：C.【點評】本題考查了函數(shù)恒成立，屬中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9【分析】本題可根據(jù)復(fù)數(shù)定義及模的概念及基本運算進行計算解答】解：由題意，可知：5-1T+il+T=(l+i)(1-i)|=|2-3i

11、|=2=13.故答案為：【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)定義及模的概念及基本運算.本題屬基礎(chǔ)題.10【分析】本題可根據(jù)二項式的展開式的通項進行計算，然后令x的指數(shù)為0即可得到r的值，代入r的值即可算出常數(shù)項.【解答】解：由題意，可知：此二項式的展開式的通項為：T=；(2x)8-r=28-r0,y0,x+2y=5,則x+1）血+1Ssy+x+Sy+l2邀+E壬丘、&由基本不等式有13【分析】利用基本不等式求最值1-23時；等號成立,故的最小值為4爲(wèi)故答案為：43點評】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用,屬于中檔題14【分析】利用AD和AB作為基底表示向量BD和AE,然后計算數(shù)量積即可.【解答】解:AE

12、=BE,ADBC,NA=30,在等腰三角形ABE中，ZBEA=120,又AB=23,.AE=2,西二血，怔二AB+班，.血二血卡也又亦二BAW=-AB+AD,BDAE=-應(yīng)十AD)-(AB-|-AD)=-血=-12-X5Xx25=-1故答案為：-1點評】本題考查了平面向量基本定理和平面向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是選好基底，屬中檔題三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15【分析】（I）根據(jù)正余弦定理可得;（II）根據(jù)二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得.【解答】解（I）在三角形ABC中，由正弦定理=，得bsinC=csinB，又由sinhsinC3csinB

13、=4asinC,得3bsinC=4asinC,(II)由(I)得sinB=日%=計目，從而sin2B=2sinBcosB=-=|,即3b=4a.又因為b+c=2a,得匕=昔，c=，由余弦定理可得7cos2B=cos2B-sin2B=r,o故sin()=sin2Bcos+cos2Bsin=-套-$卜-二66S28216點評】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和的正弦公式,二倍角的正余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識考查運算求解能力屬中檔題16【分析】（I）甲上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率均p9為可，故XB（可），可求分布列及期望；（II）設(shè)乙同學(xué)上

14、學(xué)期間的三天中7：30到校的天數(shù)為Y,則YB（3,芻），且M=X=3,Y=1UX=2,Y=0，由題意知X=3,Y=1與X=2,Y=0互斥，且X=3與Y=1,X=2與Y=0相互獨立，利用相互對立事件的個概率公式可求【解答】解：（I）甲上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概第11頁（共17頁）率均為魯，故XB(3,尋)，從而P(X=k)=*(寺)*,k=0,1,2,3.所以，隨機變量X的分布列為:X012322?g4_8_隨機變量X的期望E（X）=3X斗=2.（II）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30到校的天數(shù)為Y,則YB（3,芻）,且M=X=3,Y=1UX=2,Y=0，由題意

15、知X=3,Y=1與X=2,Y=0互斥，且X=3與Y=1,X=2與Y=0相互獨立，由(I)知,P(M)=P(X=3,Y=1UX=2,Y=0=P(X=3,Y=1+PX=2,Y=0=P（X=3）P（Y=1）+P（X=2）P（Y=0）=279927243【點評】本題主要考查了離散型隨機變量的分布列與期望,互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式,考查運算概率公式解決實際問題的能力.17【分析】（I）以A為坐標(biāo)原點，分別以AB,AD,AE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得A,B,C,D,E的坐標(biāo)，設(shè)CF=h（h0）,得F（1,2,h）.可得雨二0,0）是平面ADE的法向量，再求出麗二（Q,扮，由

16、耶西二0,且直線BF平面ADE,得BF平面ADE；（II）求出郵二（-1,-厶2）,再求出平面BDE的法向量，利用數(shù)量積求夾角公式得直線CE與平面BDE所成角的余弦值，進一步得到直線CE與平面BDE所成角的正弦值；（皿）求出平面BDF的法向量，由兩平面法向量所成角的余弦值為+列式求線段CF的長.【解答（I）證明：以A為坐標(biāo)原點，分別以AB,AD,AE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）.2-第 頁（共17頁）第 頁(共17頁)設(shè)CF=h(h0),則F(1,2,h).則AB=(1,Q,Q)是平面AD

17、E的法向量，又不二(q,乙h)，可得麗正屯又直線BF平面ADE,.BF平面ADE；(II)解：依題意,亦二(-1,1,Q),缸二(-1,Q,CE=(-1,-2,刃.4.直線CE與平面BDE所成角的正弦值為寺;(UI)解：設(shè)祜(弧口為平面BDF的法向量,線段CF的長為號點評】本題考查直線與平面平行的判定,考查空間想象能力與思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求解線面角與二面角的大小,是中檔題18【分析】（I）由題意可得b=2,運用離心率公式和a,b,c的關(guān)系，可得a,c,進而得到所求橢圓方程；（II）B（0,2）,設(shè)PB的方程為y=kx+2，聯(lián)立橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，M的坐標(biāo),由0P丄MN,運用斜率之

18、積為-1,解方程即可得到所求值.【解答】解：（I）由題意可得2b=4,即b=2.pJe=-,a2-b2=c2,a5解得a=5,c=1,可得橢圓方程為二;=1;(II)B(0,2),設(shè)PB的方程為y=kx+2,代入橢圓方程4x2+5y2=20，可得(4+5k2)x2+20kx=0,解得x=i或x=0,4+5k2即有P（i黑第),2y=kx+2,令y=0,可得M(-亍，0),又N（0,-1）,0P丄MN,可得愛寺=-1,解得k=土警,可得PB的斜率為土生許.點評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，求交點，考查化簡運算能力，屬于中檔題19【分析】（I）設(shè)等差數(shù)列a的公差為d,等比數(shù)列

19、b的公比為q,利用等差數(shù)列、nn等比數(shù)列的通項公式列出方程組，能求出a和b的通項公式.TOC o 1-5 h znn(II)(i)由ajf(C2，-1)=且(b-1),能求出數(shù)列a2r_(n-1)的通項公式.n2止2止2=2匸(ii)匸a.c.=Xa.+a.(c.-1)=匸aT+Za1i.1=11=11=11=1o+tsxr-D，由此能求出結(jié)果.i=i【解答】解：(I)設(shè)等差數(shù)列a的公差為d,等比數(shù)列b的公比為q,nn依題意有：.：a=4+(n-1)X3=3n+1,nb=6X2n-1=3X2nn1,(II)(i)V數(shù)列c滿足q=1,c=n1ni尹：口0,f(x)單調(diào)遞增;(II)記h(x)=f(x)+g(x)(牛-工)，依題意及(I),得到g(x)=ex(cosx-sinx),由h(x)V0,得h(x)在區(qū)間f上單調(diào)遞減，有h(x)Nh(422=f()=0,從而得到當(dāng)xe三時，f(x)+g(x)(冷-x)N0；2422(HI)依題意，u(x)=f(x)-1=0,即巳人co站二1，記y=X-2nn，則yennnnnn第 頁(共17頁)第17頁（共17頁）-77-),且f(y)=e-2nn(xeN).由f(y)=e-2nnWi=f(y)及(I),得nn0y$丫0,由(II)知，當(dāng)xe(-