高中數(shù)學(xué)回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

1、3.1 回歸分析的基本思想 及其初步應(yīng)用課標(biāo)要求:1.了解殘差平方和、相關(guān)指數(shù)R2的概念.2.了解回歸分析的基本步驟.3.會用殘差平方和與相關(guān)指數(shù)R2對回歸模型擬合度進(jìn)行評判.4.了解簡單的非線性回歸分析方法.素養(yǎng)達(dá)成:通過殘差分析的學(xué)習(xí),使學(xué)生養(yǎng)成了建模能力、數(shù)據(jù)分析處理能力等.問題一：線性回歸模型課本 例題1練習(xí)冊P58例1、訓(xùn)練1-1練習(xí)冊P58例2、訓(xùn)練2-1問題三：非線性回歸方程（與回歸直線的聯(lián)系）課本P87例2 練習(xí)冊P59例3、訓(xùn)練3-1溫故知新兩個(gè)變量的關(guān)系不相關(guān)相關(guān)關(guān)系函數(shù)關(guān)系線性相關(guān)非線性相關(guān)函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。自變量取值一定

2、時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。1、定義： 1）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系；注對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析。2）：2、現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系。 如：人的身高與年齡； 產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量； 商品的銷售額與廣告費(fèi)； 家庭的支出與收入。等等負(fù)相關(guān)正相關(guān)例1、某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表所示.編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重.解：1、選取身高為

3、自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。根據(jù)最小二乘法估計(jì) 和 就是未知參數(shù)a和b的最好估計(jì)，于是有所以回歸方程是所以，對于身高為172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為 探究P4：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？ 樣本點(diǎn)呈條狀分布，身高和體重有較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用回歸方程來近似的刻畫它們之間的關(guān)系.解：散點(diǎn)圖：3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a簡單描述它們關(guān)系。 我們

4、可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差。思考P3產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？思考P3產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？隨機(jī)誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、其它因素的影響：影響體重 y 的因素不只是身高 x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長環(huán)境等因素；2、身高 x的觀測誤差。 線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。 在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y為預(yù)報(bào)變量。殘差數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 稱為相應(yīng)于點(diǎn)（xi，yi ） 的殘差

5、。例：編號為6的女大學(xué)生，計(jì)算隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）殘差平方和 把每一個(gè)殘差所得的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號表示為：稱為殘差平方和在例1中，殘差平方和約為128.361。表1-4列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義： 我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。編號12345678身高165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我們可以利用圖形來分析殘差特性，作

6、圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。殘若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點(diǎn) 錯(cuò)誤數(shù)據(jù) 模型問題 幾點(diǎn)說明： 第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2

7、來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1，表示解析變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)） 如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型?？偟膩碚f：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力。一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。

8、（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。例2、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價(jià)格x1416182022需求量Y1210753解：例2、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價(jià)格x1416182022需

9、求量Y1210753列出殘差表為0.994因而，擬合效果較好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4相關(guān)指數(shù)越大，效果越好殘差平方和越小，效果越好探索無止境 小結(jié)1.殘差平方和與模型擬合效果關(guān)系：2.相關(guān)指數(shù)與模型擬合效果關(guān)系1.2.3循環(huán)語句新課標(biāo)高二數(shù)學(xué) 選修2-33.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（二）復(fù)習(xí)回顧1、線性回歸模型：y=bx+a+e， (3)其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 2、數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱 為殘差。3、對每名女大學(xué)生計(jì)算這個(gè)差異，然后分別

10、將所得的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號表示為： 稱為殘差平方和，它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。4、兩個(gè)指標(biāo)：（1）類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用作 為 的估計(jì)量， 越小，預(yù)報(bào)精度越高。（2）我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其 計(jì)算公式是： R2 1，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差。表3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。 在研究兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。5、殘差分析與殘差圖的定義： 然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作

11、稱為殘差分析。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。殘差圖的制作及作用1、坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；2、若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；3、對于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點(diǎn) 錯(cuò)誤數(shù)據(jù) 模型問題 幾點(diǎn)說明： 第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本

12、點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。6、注意回歸模型的適用范圍：（1）回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。樣本數(shù)據(jù)來自哪個(gè)總體的，預(yù)報(bào)時(shí)也僅適用于這個(gè)總體。（2）模型的時(shí)效性。利用不同時(shí)間段的樣本數(shù)據(jù)建立的模型，只有用來對那段時(shí)間范圍的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)。（3）建立模型時(shí)自變量的取值范圍決定了預(yù)報(bào)時(shí)模型的適用范圍，通常不能超出太

13、多。（4）在回歸模型中，因變量的值不能由自變量的值完全確定。正如前面已經(jīng)指出的，某個(gè)女大學(xué)生的身高為172cm，我們不能利用所建立的模型預(yù)測她的體重，只能給出身高為172cm的女大學(xué)生的平均體重的預(yù)測值。7、一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過

14、大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。例1 在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價(jià)格x1416182022需求量Y1210753解：例1 在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價(jià)格x1416182022需求量Y1210753列出殘差表為0.994因而，擬合效果較好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4案例2 一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：（1

15、）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預(yù)測溫度為28oC時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？ 溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325非線性回歸問題假設(shè)線性回歸方程為 ：=bx+a選 模 型由計(jì)算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73 相關(guān)指數(shù)R2=r20.8642=0.7464估計(jì)參數(shù) 解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù) 為預(yù)報(bào)變量y。選變量所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。探索新知畫散點(diǎn)圖050100150200250300350036912151821242730333639方案

16、1分析和預(yù)測當(dāng)x=28時(shí)，y =19.8728-463.73 93一元線性模型奇怪？9366 ?模型不好？ y=bx2+a 變換 y=bt+a非線性關(guān)系 線性關(guān)系方案2問題選用y=bx2+a ，還是y=bx2+cx+a ？問題3 產(chǎn)卵數(shù)氣溫問題2如何求a、b ？合作探究 t=x2二次函數(shù)模型方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y和t之間的線性

17、回歸方程為y=0.367t-202.543，相關(guān)指數(shù)R2=0.802將t=x2代入線性回歸方程得： y=0.367x2 -202.543當(dāng)x=28時(shí)，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。t問題 變換 y=bx+a非線性關(guān)系 線性關(guān)系問題如何選取指數(shù)函數(shù)的底?產(chǎn)卵數(shù)氣溫指數(shù)函數(shù)模型方案3合作探究對數(shù)方案3解答溫度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325xz當(dāng)x=28oC 時(shí)，y 44 ，指數(shù)回歸模型中溫度

18、解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化由計(jì)算器得：z關(guān)于x的線性回歸方程為 對數(shù)變換：在 中兩邊取常用對數(shù)得令 ，則 就轉(zhuǎn)換為z=bx+a.相關(guān)指數(shù)R2=0.98最好的模型是哪個(gè)? 產(chǎn)卵數(shù)氣溫產(chǎn)卵數(shù)氣溫線性模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型比一比函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型0.80指數(shù)函數(shù)模型0.98最好的模型是哪個(gè)?回歸分析（二）則回歸方程的殘差計(jì)算公式分別為：由計(jì)算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968因此模型（1）的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于模型（2）。下面模型(1)(2)分別是前面的指數(shù)和二次函數(shù)模型：總 結(jié) 對于給定的樣本點(diǎn)兩個(gè)含有未知參數(shù)的模型：其中a和b都是未知參數(shù)。擬合效果比較的步驟為：（1）分別建立對應(yīng)于兩個(gè)模型的回歸方程與 其中 和 分別是參數(shù)a和b的估計(jì)值；（2）分別計(jì)算兩個(gè)回歸方程的殘差平方和與（3）若 則 的效果比 的好；反之， 的效果不如 的好。練習(xí)：為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化，繁殖的個(gè)數(shù)，收集數(shù)據(jù)