3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、參數(shù)方程漢中市南鄭區(qū)大河坎中學(xué) 趙敏衛(wèi)直線和圓錐曲線的參數(shù)方程（四）北師大版 高中數(shù)學(xué) 選修4-4 第二章參數(shù)方程第2節(jié)雙曲線的參數(shù)方程1動(dòng)點(diǎn)的軌跡 如圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a,b(a=5,b=3)為半徑作兩個(gè)圓，兩圓與x軸交于A、B，大圓半徑為OP，作如下輔助線：問題：觀看“幾何畫板”動(dòng)態(tài)演示 過點(diǎn)B作小圓切線BC與OP的延長線(或反向延長向)交于點(diǎn)Q過點(diǎn)P作大圓切線與x軸交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作x軸垂線ND， 當(dāng)半徑OP繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是什么？軌跡表示什么曲線？過點(diǎn)Q作ND的垂線與ND交于點(diǎn)M。2軌跡的參數(shù)方程 設(shè)參： 設(shè)半徑OP從OX軸正向?yàn)槠鹗嘉恢媚鏁r(shí)針轉(zhuǎn)過的角

2、度為 (為參數(shù))，即POA=，動(dòng)點(diǎn)M坐標(biāo)為M(x,y)。在RTOBQ中，有：BQ=OBtan=3tan又因?yàn)樗詣?dòng)點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程為：分析：在RTOPN中，有：X=ON, y=MN=BQ所以有結(jié)論：參數(shù)范圍還是0o360o嗎？問題：3參數(shù)的取值范圍 分析：當(dāng)OP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)：參數(shù)范圍還是0o360o嗎？問題：此時(shí)參數(shù)：為銳角OP延長線與BC的交點(diǎn)Q：P在第一象限Q在第一象限M軌跡第一象限存在結(jié)論：0o90o成立4參數(shù)的取值范圍 分析：當(dāng)OP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)：參數(shù)范圍還是0o360o嗎？問題：此時(shí)參數(shù)：等于0oOP延長線與BC的交點(diǎn)Q：點(diǎn)P與點(diǎn)A重合點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合M

3、軌跡在X軸上 存在結(jié)論：=0o成立5參數(shù)的取值范圍 分析：當(dāng)OP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)：參數(shù)范圍還是0o360o嗎？問題：此時(shí)參數(shù)：等于90oOP延長線與BC的交點(diǎn)Q：交點(diǎn)M不存在 不存在結(jié)論： 90o6參數(shù)的取值范圍 分析：當(dāng)OP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)：參數(shù)范圍還是0o360o嗎？問題：此時(shí)參數(shù)：為鈍角OP反向延長與BC交點(diǎn)Q：P在第二象限Q在第四象限M軌跡第三象限存在結(jié)論：90o180o成立7參數(shù)的取值范圍 分析：當(dāng)OP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)：參數(shù)范圍還是0o360o嗎？問題：此時(shí)參數(shù)：等于180oOP反向延長與BC交點(diǎn)Q：點(diǎn)P在X軸上 點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合M軌跡在X軸上 存在

4、結(jié)論：=180o成立8參數(shù)的取值范圍 分析：當(dāng)OP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)：參數(shù)范圍還是0o360o嗎？問題：此時(shí)參數(shù)：180o270oOP反向延長與BC交點(diǎn)Q：P在第三象限Q在第一象限M軌跡第二象限存在結(jié)論：180o270o成立9參數(shù)的取值范圍 分析：當(dāng)OP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)：參數(shù)范圍還是0o360o嗎？問題：此時(shí)參數(shù)：等于270oOP延長線與BC的交點(diǎn)Q：交點(diǎn)M不存在 不存在結(jié)論： 270o10參數(shù)的取值范圍 分析：當(dāng)OP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)：參數(shù)范圍還是0o360o嗎？問題：此時(shí)參數(shù)：270o360oOP延長線與BC的交點(diǎn)Q：P在第四象限Q在第四象限M軌跡第四象限存

5、在結(jié)論：270o360o成立11參數(shù)的取值范圍 分析：參數(shù)0o,360o) 且90o、270o 。參數(shù)范圍還是0o360o嗎？問題：結(jié)論： 由以上的幾種取值情況我們可以直觀的看到，當(dāng)=90o、=270o 時(shí)交點(diǎn)M不存在，因此無軌跡。另一方面，我們從軌跡的參數(shù)方程：tan成立，則k180o+90o；Cos0，則k180o+90o。自身要求可以得到：所以要求90o且270o 。12參數(shù)方程化為普通方程問題：所以我們說：將參數(shù)方程：解：由參數(shù)方程可得：是雙曲線的參數(shù)方程它表示中心在原點(diǎn)，實(shí)半軸長為5，虛半軸長為3的雙曲線。普通方程為：化為普通方程。上式兩邊平方后相減得：13雙曲線參數(shù)方程 的參數(shù)方程是雙曲線的參數(shù)方程是雙曲線參數(shù)0o,360o) 且90o、270o 。14課堂小結(jié) 1、雙曲線參數(shù)方