高中數(shù)學(xué)變量間的相關(guān)關(guān)系課文知識(shí)點(diǎn)解析新課標(biāo)人教版必修3A

1、變量間的相關(guān)關(guān)系課文知識(shí)點(diǎn)解析全析提示相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異 同點(diǎn)：相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的 關(guān)系.不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確 定的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非 確定關(guān)系.函數(shù)關(guān)系是自變量與 函數(shù)值之間的關(guān)系，這種關(guān)系是 兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系；而相關(guān) 關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量 的關(guān)系.相關(guān)關(guān)系是進(jìn)行回歸分析 的基礎(chǔ)，同時(shí)，也是散點(diǎn)圖的基 礎(chǔ).若要考察變量（隨機(jī)變量） a與（非隨機(jī)變量）b的相關(guān)性， 則b為因變量，a為自變量.畫散 點(diǎn)圖時(shí)，自變量（隨機(jī)變量）在 x軸上，因變量（非隨機(jī)變量） 在y軸上.了解相關(guān)變量的正負(fù)相關(guān)性在我們的生活生產(chǎn)中有著重 要的實(shí)際意義.當(dāng)運(yùn)用直線近似表示施化 肥量與水稻產(chǎn)

2、量的關(guān)系時(shí)，學(xué)生 可能選擇能反映直線變化的兩 個(gè)點(diǎn)，例如（15, 330）, （45,相關(guān)關(guān)系的概念：自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定 的隨機(jī)性，則兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系對(duì)相關(guān)關(guān)系的理解應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：其一是相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同.因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)系是一種非常確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī) 變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系.而函數(shù)關(guān)系可以看成是兩個(gè)非隨機(jī)變 量之間的關(guān)系.因此，不能把相關(guān)關(guān)系等同于函數(shù)關(guān)系.其二是函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān) 系，也可能是伴隨關(guān)系.例如，有人發(fā)現(xiàn)，對(duì)于在校兒童，鞋的大小 與閱讀能力有很弓II的相關(guān)關(guān)系 .然而，

3、學(xué)會(huì)新詞并不能使腳變大，而 是涉及到第三個(gè)因素一一年齡.當(dāng)兒童長(zhǎng)大一些，他們的閱讀能力會(huì) 提高而且由于長(zhǎng)大腳也變大.其三是在現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系，如何判斷和描述 相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)揮著非常重要的作用.變量之間的相關(guān)關(guān)系帶有 不確定性，這需要通過收集大量的數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā) 現(xiàn)規(guī)律，才能作出科學(xué)的判斷 .對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析例如，施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù):施化肥量x15202530354045水稻廠量y330345365405445450455觀察表中數(shù)據(jù)，大體上隨著施化肥量的增加，水稻的產(chǎn)量也在增加.只是表中兩者之間的關(guān)系表現(xiàn)的不是很

4、真切，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.我們可以作統(tǒng)計(jì)圖、表，以便對(duì)兩者有一個(gè)直觀的印象和判斷 散點(diǎn)圖是研究相關(guān)關(guān)系最常用的一種統(tǒng)計(jì)圖.我們把表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形，叫做散點(diǎn)圖.上例的散點(diǎn)圖如圖2 31.圖 23 1從散點(diǎn)圖可以看出兩變量的確存在一定關(guān)系，可見散點(diǎn)圖能形 象地反映各對(duì)數(shù)據(jù)的密切程度 .從散點(diǎn)圖可以看出因變量隨自變量的增大而增大，圖中的點(diǎn)分布在左下角到右上角的區(qū)域，這種相關(guān)關(guān)系稱作正相關(guān).若因變量隨自變量的增大而減小則稱作負(fù)相關(guān)，負(fù)相關(guān)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布 在左上角到右下角的區(qū)域.進(jìn)一步觀察，發(fā)現(xiàn)圖中的點(diǎn)分布在一條直線附近，這說明這一 正相關(guān)可以用這一直線來逼近 .如圖232

5、.如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就 稱這兩變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系.這條直線叫做這兩個(gè)變量的回歸直線，回歸直線的方程叫做回歸方程.上例的回歸直線方程是?=4.75 X+256.79.如何求回歸直線方程呢 ？(1)求回歸直線方程的思想方法觀察散點(diǎn)圖的特征，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近.類似圖中的直線可畫出不止一條.那么，其中的哪一條直線最能代表變量 x與y之間的關(guān)系呢？引導(dǎo)學(xué)生分析，最能代表變量x與y之間關(guān)系的直線的特征即直線與 n個(gè)點(diǎn)的偏差的平方和最小，其過程簡(jiǎn)要分 析如下：設(shè)所求的直線方程為 ？=bx+a,其中a、b是待定系數(shù).則？i=bxi+a (i=1, 2,，

6、n).于是得到各個(gè)偏差yi - ?i =yi ( bxi+a) (i=1, 2,，n).顯見，偏差yi- ?i的符號(hào)有正有負(fù)，若將它們相加會(huì)造成相互 抵消，所以它們的和不能代表幾個(gè)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程 度，故采用n個(gè)偏差的平方和 Q= (y1 bx1a) 2+ (y2bx2a) 2+ + (ynbxna) 2表示n個(gè)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程度nn455)確定一條直線；也可能取 一條直線，使得直線一側(cè)和另一 側(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同； 還可能多 取幾組點(diǎn)，確定幾條直線方程， 再分別算出各條直線斜率、截距 的算術(shù)平均值，作為所求直線的 斜率、截距.但這些方法缺乏理 論支持，不可靠.實(shí)際上，求

7、回歸直線方程的 關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻 畫“從整體上看各點(diǎn)與此直線的 距離最小”.在學(xué)習(xí)回歸方程的內(nèi)容時(shí)， 同學(xué)們可以積極探索用多種方 法確定線性回歸直線.在此基礎(chǔ) 上，去體會(huì)、理解最小二乘法的 思想，根據(jù)給出的公式求線性回 歸方程.感興趣的話，可嘗試推 導(dǎo)線性回歸方程.n X1 =Xl+X2+X3+x n(i =1, i W2,，n).上述式子展開后，是一個(gè)關(guān)于a、b的二次多項(xiàng)式，應(yīng)用配方法, 可求出使Q為最小彳I時(shí)的a、b的值，即n (Xi -X)(yi -y) bn _ 2工(Xi -x) iia = ybX.n、Xi yi -nX yi =1n22jXi -nxi 1b是回歸方程的

8、斜率，a是截距.樣本相關(guān)系數(shù)：r =n、(Xi -X)(yi -y) i 1一 1n其中x=1為， n y- 1 1 y= yi. n id求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小的方 法叫最小二乘法.Jnn、(Xi -x)2v (yi -y)2 i 1i 1叫做變量y與x之間的樣本 相關(guān)系數(shù)(簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù))，用 它來衡量它們之間的線性相關(guān) 程度.| r| wi,且|r|越接近于1,記Q= (yi -bXi -a)2 (向?qū)W生說明Z 的意義). i 1i 1（2）回歸直線方程的求法利用計(jì)算機(jī)求回歸方程（Excel軟件）：在Excel的工作表中添 加“圖表”得到散點(diǎn)圖后，用鼠標(biāo)選中散點(diǎn)

9、，單擊鼠標(biāo)右鍵，單擊“添加趨勢(shì)線”，在出現(xiàn)的對(duì)話框中單擊類型標(biāo)簽，選擇“線型（L）”,單擊“選項(xiàng)”標(biāo)簽，選中“顯示公式”單選框，最后點(diǎn)擊“確定”即 可.如上例可得圖2 3 3.利用科學(xué)計(jì)算器求回歸方程：大多科學(xué)計(jì)算器都有回歸計(jì)算（REG模式），但不同的計(jì)算器參數(shù)可能不同，這里不作詳細(xì)介紹，一般在輸入數(shù)據(jù)后按相應(yīng)按鍵可直接得到a和b,這樣就可以寫出回歸方程？=bx+a,非常簡(jiǎn)便，使用前一定要看好計(jì)算器的使用說明書.求相關(guān)變量的回歸直線的意義：回歸直線方程在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用回歸直線方程可以把非確定性問題轉(zhuǎn)化成 確定性問題，把“無序”變?yōu)椤坝行颉?，并?duì)情況進(jìn)行估測(cè)、補(bǔ)充 .因此，學(xué)過回歸直線方程以后，應(yīng)能積極應(yīng)用回歸直線方程解決一 些相關(guān)的實(shí)際問題，去進(jìn)一步體會(huì)回歸直線的應(yīng)用價(jià)值相關(guān)程度越大；|r|越接近于0, 相關(guān)程度越小.統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為，相關(guān)變量的相 關(guān)系數(shù)r 1, 0.75 1時(shí)，兩 變量負(fù)相關(guān)很強(qiáng)；r 0.75 , 1時(shí)，兩變量 正相關(guān)很強(qiáng)；r C （ 0.75 , 0.3 或0.3 , 0.75）時(shí)，兩變量相關(guān) 性一般；r 6 0.25 , 0.25 1時(shí)， 兩變量相關(guān)很弱.由學(xué)生計(jì)算本