高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用電子教案第二版數(shù)學(xué)系ch23課件

1、本節(jié)要點一、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 牛牛文庫文檔分享第1頁，共19頁。一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、連續(xù), 則其反函內(nèi)單調(diào), 連續(xù): 若設(shè) 在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo), 且 今來討論 的可導(dǎo)性. 給 以增量 由 的數(shù) 在對應(yīng)的區(qū)間單調(diào)性, 知 牛牛文庫文檔分享第2頁，共19頁。變形得到又由函數(shù)的連續(xù)性, 當(dāng) 時必有 從而有 牛牛文庫文檔分享第3頁，共19頁。由此說明了函數(shù) 在 處可導(dǎo), 且有簡單地說, 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). 牛牛文庫文檔分享第4頁，共19頁。例2.15 求反正弦函數(shù)解 是 的反函數(shù).注意到在區(qū)間 內(nèi)， 從而有所以. 在區(qū)間 內(nèi)點點可導(dǎo), 且有而

2、 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 并且 的導(dǎo)數(shù). 牛牛文庫文檔分享第5頁，共19頁。 牛牛文庫文檔分享第6頁，共19頁。例2.16 求反正切函數(shù)解 函數(shù) 是 在 區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且所以 在 內(nèi)每一點可導(dǎo), 且有:有的導(dǎo)數(shù). 牛牛文庫文檔分享第7頁，共19頁。注意到： 從而有同理可得其它幾個反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: 牛牛文庫文檔分享第8頁，共19頁。例2.17 求對數(shù)函數(shù)解 是 的反注意到, 特別地, 當(dāng) 時, 有函數(shù), 且直接函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且的導(dǎo)數(shù).從而有 牛牛文庫文檔分享第9頁，共19頁。三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在眾多的函數(shù)中, 我們遇見的更多的是復(fù)合函數(shù). 例如函數(shù)

3、, 這是一個極為簡單的函數(shù), 但我們要求它的導(dǎo)數(shù)就沒那么簡單. 事實上, 由導(dǎo)數(shù)的乘積公式, 得 牛牛文庫文檔分享第10頁，共19頁。 對一個如此簡單的函數(shù), 求其導(dǎo)數(shù)都那么困難, 這就提示我們有必要討論復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則. 利用相應(yīng)的法則來簡化某些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算. 牛牛文庫文檔分享第11頁，共19頁。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 如果函數(shù) 在點 可導(dǎo),證 設(shè)自變量 在 處有增量 , 則函數(shù)而函數(shù) 在 處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù) 在 處可導(dǎo), 并且有關(guān)系有增量 相應(yīng)地, 函數(shù)有增量 （2.4） 牛牛文庫文檔分享第12頁，共19頁。當(dāng) 時, 有由函數(shù) 的可導(dǎo)性, 得函數(shù)在 是連續(xù)的, 因又此當(dāng) 時, 有 由此得（2.5） 牛牛文庫文檔分享第13頁，共19頁。由此得到:復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式常常表示為（2.6）公式（2.6）稱為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 牛牛文庫文檔分享第14頁，共19頁。此公式可以作進一步的推廣: 若均為可導(dǎo)函數(shù), 則相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 牛牛文庫文檔分享第15頁，共19頁。例2.18 求函數(shù)解而成, 故此由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式, 得的導(dǎo)數(shù).可以看成由復(fù)合 牛牛文庫文檔分享第16頁，共19頁。例2.19 求函數(shù)解 因的導(dǎo)數(shù).可視為 復(fù)合而成, 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式（2.6）得: 牛牛文庫文檔分享第17