高中物理臨界問題的求解

1、臨界問題的求解趙斌（湖南省長沙市第六中學(xué)4100000）（注:本文載于 高中物理知識(shí)探究與思維方法 ） 臨界問題是物理現(xiàn)象中的常見現(xiàn)象。所謂臨界狀態(tài)就是物理現(xiàn)象從一種狀態(tài)變化成另一種狀態(tài)的中間過程，臨界狀態(tài)通常具有以下特點(diǎn)：瞬時(shí)性、 突變性、關(guān)聯(lián)性、極值性等。臨界狀態(tài)往往隱藏著關(guān)鍵性的隱含條件，是解題的切入口，在物理解題中起舉足輕重的作用。求解臨界問題通常有如下方法：極限法、假設(shè)法、數(shù)學(xué)分析法（包括解析法、幾何分析法等）、圖象法等。極限法：在題目中如出現(xiàn)“最大”、“最小”、“剛好”、“要使”等詞語時(shí)， 一般隱含著臨界問題。處理問題時(shí)，一般把物理問題（或過程） 設(shè)想為臨界狀態(tài)，從而使隱藏著的條件

2、暴露出來，達(dá)到求解的目的。假設(shè)法：有些物理過程中沒有明顯出現(xiàn)臨界問題的線索，但在變化過程中可能出現(xiàn)臨界問題， 解決辦法是采用假設(shè)法，把物理過程按變化的方向作進(jìn)一步的外推，從而判斷可能出現(xiàn)的情況。數(shù)學(xué)分析法；是一種很理性的分析方式，把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn) 化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)工具加以推導(dǎo)， 從而求出臨界問題， 用這種分析方法 一定要注意理論分析與物理實(shí)際緊密聯(lián)系起來，切忌純數(shù)學(xué)理論分析。圖象法：將物理過程的變化規(guī)律反映到物理圖象中，通過圖象分析求出臨界問題。下面列舉的是高中物理各知識(shí)系統(tǒng)中典型的臨界問題。一、運(yùn)動(dòng)學(xué)中的臨界問題例1、一列客車以速度Vi前進(jìn)，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方在同一軌道上有一列貨車 正在以速度V2

3、勻速前進(jìn)，且ViAV2,貨車車尾與客車車頭相距 S0,客車立 即剎車做勻減速運(yùn)動(dòng)， 而貨車仍保持勻速運(yùn)動(dòng)。 求客車的加速度a符合什么 條件兩車才不會(huì)撞上？分析：這一類問題一般用數(shù)學(xué)方法（解析法）來求解。若要客車不撞上 貨車，則要求客車盡可能快地減速，當(dāng)客車的速度減小到與貨車速度相等時(shí)兩車相對(duì)靜止，若以后客車?yán)^續(xù)減速，則兩車的距離又會(huì)增大；若以后客車 速度不變，則兩車將一直保持相對(duì)靜止。可見，兩車恰好相碰時(shí)速度相等是臨界狀態(tài)，即兩車不相碰的條件是：兩車速度相等時(shí)兩車的位移之差SWSo。下面用兩種方法求解。解法一：以客車開始剎車時(shí)兩車所在位置分別為兩車各自位移的起點(diǎn)，12則，客車：Si=Vitat

4、 ,貨車：S2=V2t, 2兩車不相撞的條件：v2 =V1 at, S| -s2 Ms0 。聯(lián)立以上各式有：a - （Vl -v2）2 。2s0V V,?解法二：客車減速到 V2的過程中客車的位移為：3=12t,2經(jīng)歷的時(shí)間為：t = v1二v2 ；貨車的位移為： s2 =v2t ,兩車不相撞則：S1 -s2 2）。2so歸納：正確分析物體的運(yùn)動(dòng)過程，找出臨界狀態(tài)是解題的關(guān)鍵。例2、甲乙兩地相距s=1.6km,摩托車的加速度為 ai=1.6m/s2,減速時(shí)的加速度為ai =6.4m/s2摩托車從甲地往乙地所用最短時(shí)間為多少？運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度為多少？分析：題目中并沒有說明摩托車由甲地往乙地是

5、如何運(yùn)動(dòng)的，從甲地往 乙地所用時(shí)間最短這一臨界狀態(tài)是解決問題的突破口。學(xué)推導(dǎo)法，也可以用圖象分析法等。t2,減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t3,總時(shí)間為t,則:Vm = a1t1 = a2t3s2 = vmt21、二二 ai21s3 - - a2t32分析的方法可以用數(shù)ti,勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為解法一：用數(shù)學(xué)推導(dǎo)法。設(shè)摩托車加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2聯(lián)立以上六式并代入數(shù)據(jù)得：t； -1.6tti -1600 = 0要使以上方程有解，須判別式A0,即：2 =（1.6t） -4xi6000,所以t之50s,即最短時(shí)間為50s。故有：ti280ti+1600 = 0,解得：ti =40s,t2 =0,t3=10s。可見摩托車從甲

6、地到乙地先加速40 s后緊接著減速10s達(dá)到乙地所用時(shí)間最短，勻速時(shí)間為零。最大速度為：Vm =a1ti =1.6M40m/s = 64m/s。解法二：用圖象分析法。建立如圖1所示的圖象，圖象中梯形的“面積”Vmtit2即為甲乙兩地的距離，在保證“面積”不變的情 況下要使運(yùn)動(dòng)時(shí)間變小，只有把梯形變成三角形。a2t2t = ti t2聯(lián)立以上三式得：最短時(shí)間為 速度為v m =64m/s。歸納：比較以上兩種分析方法, 法。t=50s,最大圖象法比解析法簡單，是一種可取的方二、平衡狀態(tài)的臨界問題例1、傾角為3 =30度的斜面上放置一個(gè)重 200N的物體，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 =通/3,要使物

7、體恰好能沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng)，所加的力至少為多大？方向如何？分析；由于施力的方向沒定，先假定一個(gè)方向：與斜面成ot角向上，物體的受力分析如圖 2所示。解：x 方向：F cosct = f +mgsin 6y 方向：F sin 口 + N = mg cosH其中 F=NN聯(lián)立以上三式求解得：F =mg/（cosu +-sina） =-0mg一 ,其3 2sin（： i）中6 =60。當(dāng)口 =30時(shí)F有極值：Fmin =100j3N。例2、如圖3所示，用光滑的粗鐵絲做成一個(gè)直角三角形ABC, BC邊水平，/ABC =汽，AB及AC上分別套有用細(xì)繩 連著的小環(huán)P、Q。當(dāng)它們相對(duì)靜止時(shí)，細(xì)線與 AB邊所

8、成的夾角 日的變化 范圍是多少？分析：題設(shè)中沒有說明 P、Q質(zhì)量的大小，可用假設(shè)法來判斷這個(gè)問題 中可能出現(xiàn)的臨界狀態(tài)。若Q的重力大于P的重力，則可不計(jì) P的重力，P的平衡轉(zhuǎn)化為二力 平衡，此時(shí)細(xì)繩的拉力與 AB對(duì)環(huán)P的支持力幾乎在同一直線上垂直于 AB的方向，即日接近n /2。若P的重力遠(yuǎn)大于 Q的重力，則可不計(jì)Q的重力，Q的平衡轉(zhuǎn)化為二力 平衡，此時(shí)繩的拉力與 AC對(duì)環(huán)Q支持力幾乎在同一直線上垂直于AC的方向，即日接近a。綜上分析，日的變化范圍是：6k日冗/2。歸納：對(duì)于平衡狀態(tài)問題，正確進(jìn)行受力分析是找到臨界條件、尋找問 題突破口的關(guān)鍵。若題設(shè)中某些力是末知的， 可根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行恰當(dāng)而

9、又合理的假設(shè)。三、動(dòng)力學(xué)中的臨界問題例1、如圖4所示，斜面體的質(zhì)量為M = 2kg ,質(zhì)量為m =1kg的物體放在傾角為 3 =370的斜面上，斜面與物體間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0 =0.2 ,地面光滑。現(xiàn)對(duì)斜面體施加一水平推力 F ,要使物體相 滑動(dòng)摩擦力)對(duì)斜面靜止不動(dòng)，力 F應(yīng)為多大?（取g =10m/s2,設(shè)最大靜摩擦力等于分析：采用極限分析方法，把 F推向兩個(gè)極端來分析，當(dāng) F很小時(shí)，物 體將相對(duì)斜面下滑；當(dāng) F很大時(shí)，物體將相對(duì)斜面上滑，因此 F不能太小 也不能太大，F(xiàn)的取值是一個(gè)范圍。解：設(shè)物體處于相對(duì)斜面下滑的臨界狀態(tài)。推力為 F ,此時(shí)物體的受力 情況如圖5所示，則 N sin 二-

10、J N cosr - ma對(duì)m ： iN cosu N sin - mg = 0對(duì)(m +M ) ： F =(M +m)a聯(lián)立以上三式代入數(shù)據(jù)得：a=4.78m/s2, F=14.3N。歸納：求解此類問題的關(guān)鍵點(diǎn)是正確進(jìn)行受力分析，找出臨臨界條件,列出動(dòng)學(xué)方程和平衡方程。建立坐標(biāo)系時(shí)，要注意以加速度方向?yàn)?x正方向。設(shè)物體處于相對(duì)斜面向上滑的臨界狀態(tài),推力為F ,此時(shí)物體的受力如圖6所示，則 N sin 二 N cos = ma對(duì)m ： iN cosi - 1N sin - mg = 0對(duì)(m +M ) ： F = (M +m)a聯(lián)立三式并代入數(shù)據(jù)得：a = 11.2m/s2,F=33.6N。

11、所以推力的范圍是：14.3N F arctan N時(shí)，物體加速下滑，(4)當(dāng)9 =90時(shí)，f =0,a = g ,物體做自由落體運(yùn)動(dòng)。綜合以上幾種假設(shè)易知D正確。B點(diǎn),歸納：進(jìn)行合理假設(shè)是找出問題的臨介條件的重要手段。例3、一物體由靜止開始沿不同長度的光滑斜面滑到水平面上的這些斜面的起點(diǎn)都在豎直墻壁處，如圖8所示，已知B點(diǎn)距墻角的距離為 b ,要使小物體從斜面的起點(diǎn)滑到B點(diǎn)所用的時(shí)間最短，求斜面的起點(diǎn)距地面的高度是多少？最短時(shí)間是多少？分析：用數(shù)學(xué)分析方法。設(shè)小物體從A點(diǎn)沿傾角為則 AB 長為：s = b/cos ,加速度為：agsin 6 ,則有上t2gscos 二 2.r4b解得：t =

12、J。 g sin 2由以上結(jié)果分析可知：當(dāng) 日=45即h =b時(shí)，下滑的時(shí)間最短，最時(shí)間為：tmin = 2 b/ g。歸納：數(shù)學(xué)法是解題的重要工具。例4、如圖9所示，在豎直平面內(nèi)有一固定點(diǎn) O, O點(diǎn)系一長為l的輕 繩繩的另一端系一質(zhì)量為 m的小球，把小球拉離平衡位置使繩與豎直方向的夾角為 伏日Y兀/ 2),然后讓小球繞 O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)， 現(xiàn)在O點(diǎn)的正下方A點(diǎn)釘一鐵釘，要使小球能擺到原來的高度， 則鐵 釘A與O點(diǎn)的距離l x必須滿足什么條件？分析：小球若能擺到最高位置，意味著小球達(dá)到最高 點(diǎn)時(shí)的速度為零。小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓周的一部分，那么 圓周上哪些位置小球的速度可能為零？先來分析這個(gè)

13、問 題。找圓周上三個(gè)特殊位置和二個(gè)一般位置來分析，這五 個(gè)位置的受力情況如圖 1所示，對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程為：2位置 1： F1 mg = m；2位置 2： F2 -mgcosB = m v2-2位置3： F3 = m ；2位置 4： f4 +mgcos8 = m l置 5： F5 mg = m2要使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則繩對(duì)小球的拉力必須大于或等于零，即F之0,在1、2、3三個(gè)位置小球的速度可以為零，而在4、5位置小球的速度不能為零，否則小球?qū)?huì)離開圓周，若小球保持做圓周運(yùn)動(dòng)，由 兩式可知，當(dāng) F=0時(shí)，有v0。由上面的分析可知；要使小球在圓 周上運(yùn)動(dòng)，且在某點(diǎn)的速度等于零，則這些位置只

14、能在圓周水平直徑以下的 這部分圓周上（包括水平直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），在這個(gè)問題中，水平直徑的兩個(gè)端點(diǎn)就是臨界點(diǎn)。所以，該題中要求小球能擺到原來的高度，則釘子的位置與小球釋放時(shí) 的位置在同一等高線上是臨界位置，釘子的位置只能在這一等高線以上，即l X l cos日。歸納：在豎直圓周上運(yùn)動(dòng)的問題較復(fù)雜，分析這類問題的關(guān)鍵是分析物 體在不同位置時(shí)的受力情況，然后建立動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行討論分析。實(shí)際上， 要使小球在繩子的拉力作用下能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，必須具備的條件就是繩子的拉力大于或恰好等于零，由此可以得出小球達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)v之jgr這一速度臨界條件。四、振動(dòng)和波中的臨界問題例1、把一根長度為10c

15、m的輕彈簧下端固定，上端連一個(gè)質(zhì)量為m的物塊P ,在P的上面再放一個(gè)質(zhì)量也是 m的物塊Q,系統(tǒng)靜止后，彈簧的 長度為6cm，如圖11所示。如果迅速撤去 Q,物塊P將在豎直方向做簡諧 運(yùn)動(dòng)，此后彈簧的最大長度是多少？分析：由題意可知在撤去 Q后物塊P將在豎直方向做簡諧運(yùn)動(dòng)，即以 平衡位置為中心做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，找到平衡位置和確定振動(dòng)的振幅是求解問題的Q-P圖11要使物塊 B關(guān)鍵：平衡位置在重力和彈力平衡的位置， 由題設(shè)條件可知， 平衡位置在彈簧長度為 8cm的位置；P剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈 簧的長度是6cm ,可知振幅是2cm。根據(jù)對(duì)稱性可知彈簧 的最大長度為10cm。例2、質(zhì)量分別為 mA =2kg和mB

16、 =3kg的兩物塊A、B用輕彈簧相連后豎直放在水平面上，現(xiàn)用力 F把物塊向 下壓而使之處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖 12所示，然后突然撤去外力, 能離開地面，則壓力 F至少要為多大（設(shè)該過程在彈性限度內(nèi)進(jìn)行）？分析：先假設(shè) B是不動(dòng)的，則撤去壓力 F后，A將在豎直平面內(nèi)做簡諧運(yùn)動(dòng)，平衡位置在彈簧壓縮量為x0 =口收 的位置；若要物k體B能被拉離地面，則彈簧至少要被拉長x = mg ,可見Ak物體的振幅為：A=x+x0 = （mB+mA）g ,所以壓力F至少為： kF =kA = (mB +mA)g = 5R。歸納：由以上兩例分析可知：求解這一類問題一要正確進(jìn)行受力分析，二要靈活運(yùn)用簡諧運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性的特點(diǎn)。

17、例3、一列橫波沿x軸傳播，a、b是x軸上的兩點(diǎn)，相距s = 6m , t = 0時(shí)b點(diǎn)恰好振動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)，而a點(diǎn)正好經(jīng)過平衡位置向上振動(dòng)，已知這列波的頻率為25Hz。試求該波的最大波速。分析：該題沒有說明 a、b在x軸上的距離與波長的關(guān)系以及波的傳播方向，也就是存在一個(gè)波的傳播方向及波速不確定的問題，波可能是沿x軸正方向傳播，也可能是沿 x軸負(fù)方向傳播；若a、b在x軸上的距離小于一 個(gè)波長則波速最大。 TOC o 1-5 h z 34s解：右波沿a t b方向傳播：s = n九十一九，二九=,44n 34sf 600 波速為： v =九 f =m/ s , （ n =30）4n 3 4n 3當(dāng)

18、n =0時(shí)波速最大， m max = 200m/s。14s右波沿b t a方向傳播： s = n九+九，九=,44n 1波速為： v =九 f = 4sf = 600 m/s , （ n TP ） 4n 1 4n 1當(dāng)n =0時(shí)波速最大， m max = 600m/s。歸納：對(duì)于波動(dòng)問題，由于其運(yùn)動(dòng)規(guī)律有周期性的變化，在一般求解中 往往含有多個(gè)解，若題中有了其他條件的限制， 就有了符合條件的特定解（最 大或最?。诒绢}中就是求波的上限值（也可以說是臨界值）。若題目給出的是波傳播方向上兩點(diǎn)的傳播時(shí)間，求波的傳播速度則其波速有下限值，即有最小值。求解波動(dòng)問題一定要注意以下兩點(diǎn)，一是兩大特性：波動(dòng)

19、的周期性（空間和時(shí)間的周期），波傳播方向的不確定性；二是三大關(guān)系：質(zhì)點(diǎn)間 距離與波長的關(guān)系，傳播時(shí)間與周期的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波傳播方向的關(guān)系。五、電磁學(xué)中的臨界問題例1： A、B表示真空中相距為 d的平行金屬板，極板長為 L ,加上電 壓后，其間的電場可視為勻強(qiáng)電場，在 t = 0時(shí)，將圖13所示的方形波加在 A、B上，且U a=U , U b = 0,此時(shí)恰有一帶電微粒沿兩板中央飛入電場。微粒質(zhì)量為m （不計(jì) 重力），帶電量為q ,速度 大小為v ,離開電場時(shí)恰 能平行于金屬板飛出，求（1）所加交變電壓U 0的 取值范圍，（2）所加電壓 的頻率應(yīng)滿足什么條件？分析：若要粒子恰能 平行于金

20、屬板方向飛出，就要粒子在離開電場時(shí)只有平行于金屬板的速度， 而垂直于金屬板方向的速度為零。帶電粒子在進(jìn)入電場以后只受電場力作用，但電場力是周期性地變化的，在這種周期性電場力的作用下，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)可以分為這樣兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)：垂直于電場方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)；平行于電場方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)（加速度大小不變）。平行于電場方向的運(yùn)動(dòng)是比較復(fù)雜的：第一個(gè)半周內(nèi)，粒子做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，第二個(gè)半周內(nèi)，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，末速度變?yōu)榱?；第三、四個(gè)半周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)依次重復(fù)第一、二兩個(gè)半周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。由粒子的運(yùn)動(dòng)情況分析可知，要使粒子能平行于金屬板飛出，必須滿足二個(gè)條件：一是粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間只能 是電壓周期的

21、整數(shù)倍，即 t=nT ,這樣才能證證粒子離開電場時(shí)只具有平行于金屬板方向的速度；二是粒子不能落到極板B上，在電場中平行于電場方向運(yùn)動(dòng)的距離要小于極板間距離的一半，即y d /2。這兩個(gè)條件就是問題的臨界條件。解：由上面的分析有臨界條件：t = nT ,j dsY 一,2qE a =mqUomd1 Ts =-a(-)22naT22n :4結(jié)合垂直于電場方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和平行于電場方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律:Lt =一, v2 22nmd vrnv聯(lián)乂以上各式倚：U0Y2、f =，(n = 1,2,3)。qL2L歸納；處理這類問題的關(guān)鍵是正確進(jìn)行受力分析，確定物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,特別注意速度的變化和加速度的變化，

22、界條件。例2、金屬板M、N平行放置, 板間加有平行于板面的勻強(qiáng)磁場，如圖 電子束從M、 N兩板正中再結(jié)合題目所給的約束找出問題的臨兩板間距為14所示, 間以速度d = 4cm ,板長 d = 4cm , 兩板之間用導(dǎo)線相連。當(dāng)v = 8 M107 m / s沿平行于板的方向射入板間， 結(jié)果在板的周圍末發(fā)現(xiàn)電子飛出板間，由此可知板間的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B必須符合什么條件？ 分析：由題意可知，電子沒有飛出板間，則 一定是打在了極板上。兩板間無電場，只有磁場， 電子在磁場中只受到向左的洛侖茲力作用。根據(jù)代入數(shù)據(jù)得：Bimv =4.6 104T eR電子的受力情況，電子只能在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由于極

23、板的制約， TOC o 1-5 h z 電子打在極板上的位置只能是 M上，當(dāng)電子打在 M的上端時(shí)對(duì)應(yīng)最小的半 徑，當(dāng)電子打在 M板的下端時(shí)對(duì)應(yīng)最大的半徑，這兩種情況就是問題的臨 界狀態(tài)，求出這兩種臨界狀態(tài)對(duì)應(yīng)的圓半徑就可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，可見磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小是一個(gè)范圍。解：如圖15所示，當(dāng)半徑最小時(shí)：,1_ d mvR1 =一 二一，2 eB1當(dāng)半徑最大時(shí):R2 = (R2 -d)2 + d2得 R2 = d , 24,并去掉B板。求速度 t的表達(dá)式。mv mv3R2 =，代入數(shù)據(jù)得：B2 = = 9.1m10T ,eB2eR2所以磁感應(yīng)強(qiáng)度 B符合的條件是：9.1x10T B d07m/

24、s范圍的電子。若兩平行板之間不加磁場， 電子將打在B板的P;現(xiàn)兩平行板間加一垂直于紙面向里、磁感應(yīng)弓雖度為B = 9.1m10，T的勻強(qiáng)磁場。已知電子質(zhì)量為m = 9.1 =101 kg ,電子電量e = 1.6父10-19C ,不計(jì)電子的重力和電子間的相互作用力，且電子打到板上均被吸收， 并轉(zhuǎn)移到大地。(1)問是否有電子打到 B板？如有則電子擊中 B板的范圍如何？并求 出其長度。(2)令v=3.2x107m/s,若B板的右側(cè)加一與B板成60角斜向下 方的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為 E (圖16中沒有畫出) 最大的電子從P點(diǎn)出發(fā)至打到 A板上所經(jīng)歷的時(shí)間分析：題設(shè)中給定了電子的速度范圍，這些垂直于磁

25、場方向進(jìn)入的電子只有速度達(dá)到一定值才可以打到B板上，打到B板上的電子的最小軌道半徑為 d ,這是該題的一個(gè)臨界狀態(tài)。解：(1)設(shè)能打到B板上的電子的最小速度為v,由牛頓第二定律及向心力公式得：mv2edBrevB =，即： v =1.6父10 m/s。Rm可見有電子打在 B板上。對(duì)應(yīng)速度為 v的電子 恰能打在M 點(diǎn)，M點(diǎn)距P點(diǎn)的距離為 P M = d。當(dāng)電子的速度為最大時(shí)，設(shè)它能打在B板上的N點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的半徑為R,這是該題的另一個(gè)臨界 狀態(tài)，如圖16所示。由牛頓第二定律及向心力公 式得：2evB=7，即： R=2.0 MlO,m。 ReB又由圖16中的幾何關(guān)系有：圖17R = 2d , /PON

26、 =30PN =R1cos30) =0.268x10、。所以電子打在 B板上的長度為：N M = P M P N0. 7 3 120 m(2)由(1)可知R = 2d ,即粒子運(yùn)動(dòng)軌跡 PN所對(duì)的圓心角為 30, 則電子沿平行于電場的方向進(jìn)入電場，所以電子在電場中先作減速運(yùn)動(dòng)，然后反向作勻加速運(yùn)動(dòng)，再次進(jìn)入磁場，最后打在A板上。由于電子返回磁場時(shí)速度大小沒變，所以圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑不會(huì)變，在圖 17中由幾何關(guān) 系不難發(fā)現(xiàn)：電子最后打在 A板上時(shí)其軌跡恰好與 A板相切，這是該題的 又一個(gè)關(guān)鍵性的臨界狀態(tài)。T 二 m由P t N的時(shí)間：t1 =,12 6eB在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t2 = 2 -=迎

27、，a eET 二 m . m二 2mv由Nt A的時(shí)間：t3 = =，總時(shí)間為：t= 十 。6 3eB2eB eE歸納：該題涉及的知識(shí)點(diǎn)雖不多，但是一道難度較大的題，如何確定電 子的運(yùn)動(dòng)過程和可能的軌跡是難點(diǎn)，解決辦法就是找出關(guān)鍵性的臨界狀態(tài)， 從而確定電子在相應(yīng)的臨界狀態(tài)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再恰當(dāng)?shù)乩梦锢碇R(shí)和幾何知識(shí)來求解。六、光學(xué)中的臨界問題例1、如圖18所示，M是一直立的平面鏡，P1P2是豎直放置的米尺，AB是一遮光板，在米尺上開一小孔s,某人眼睛緊貼小孔 s可從M中看到米尺的某部分的像。(1)試畫圖標(biāo)明人眼睛通過平面鏡能看到米尺在AB下面的部位。(2)為使人眼不能通過 S在M中看到米尺在

28、 AB的下部位，可在M上貼一遮光紙，試在圖中確定出所貼紙的最小尺寸及位置。分析：(1)標(biāo)明人眼睛通過平面鏡能看到米尺 在AB下面的部位，必須找出其邊界光線。根據(jù)光 路可逆原理，若將人眼看成是點(diǎn)光源，則從 s射出 的光線經(jīng)M反射后能照射到的區(qū)域就是能被人看 得到的區(qū)域。為確定這個(gè)區(qū)域，在圖18中先根據(jù)平面鏡成像的對(duì)稱性畫出人眼的像s,其中一條邊界線就是s A連線所對(duì)應(yīng)的入射光線，s A連線與M相交于a點(diǎn)，與P1 P2相交于c點(diǎn)，連接as；另一條邊界線是sA的連線所對(duì)應(yīng)的反射光線，sA的連線與M相交于b點(diǎn), 連接sb延長交P1 P2于d點(diǎn)，則cd段即為人眼能觀察到的范圍。最后在 as,bs , c

29、a, db上并標(biāo)上表示光的傳播方向的箭頭。(2)由于米尺上的cd段只能通過M的ab部分反射才能達(dá)到 s處，故 只要在ab部分貼上遮光紙，S處的眼睛就不能從 M中看到AB以下米尺的 任何部位。歸納：利用光路可逆原理進(jìn)行逆向思維是解決光學(xué)問題的一個(gè)重要手段，將眼睛做為發(fā)光體把問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)光源發(fā)出的光經(jīng)平面鏡反射后所能 照射到的范圍問題，從而使問題得以簡化。 確定邊界線即臨界條件是求解觀 察范圍的關(guān)鍵。例2、(05北京)如圖19所示，用折射率為 n的透明介質(zhì)做成內(nèi)、外半 徑分別為a、b的的空心球，當(dāng)一束平行光射向此球殼，經(jīng)球殼外、內(nèi)表面 兩次折射，而能進(jìn)入空心球殼的入射平行光束的橫截面積是多大?分

30、析：根據(jù)對(duì)稱性可知所求光束的橫 截面是一個(gè)圓面。所以關(guān)鍵是求出這個(gè)圓 的半徑R ,即找出邊界光線。圖19界角，在AOEB中由正弦定理得:bs i nr(C是臨界角)，sinCsin i n= .， sin r解：設(shè)入射光線AB為所求光束的臨界 光線，入射角為i ,經(jīng)球殼外表面折射后 折射角為r ,因?yàn)锳B是臨界光線，所以 射向內(nèi)表面的光線的入射角恰好等于臨所以，bnsin r sin i由幾何關(guān)系有：R = bsini = a ,進(jìn)入空心球殼的入射平行光束的橫截22面積ZE： S = nR =na 。F 圖20歸納：在折射問題中邊界光線與臨界角有不可分割的密切關(guān)系，充分利 用幾何關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵。體驗(yàn)：1、一跳傘運(yùn)動(dòng)員從350m高空離開飛機(jī)落下，為了以最 短時(shí)間落到地面，開始末張開降落傘而自由下落一段距離后 才張開傘，張開傘后跳傘運(yùn)動(dòng)員以2m/s2的加速度勻減速下降，到達(dá)地面時(shí)速度為 4m/s ,求：(1)跳傘運(yùn)動(dòng)員自由下落的時(shí)間；(2)跳傘運(yùn)動(dòng)員在距地面多高處開始張傘?(3)跳傘運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)多長時(shí)間？2、如圖20所示，已知物體 A的重力為G ,重物與豎直墻面的動(dòng)摩擦 因數(shù)為科，外力F與豎直方向夾角為9 ,要使物體 A不掉下來而處于靜止 狀態(tài)