初中數(shù)學(xué)素材-九大幾何模型

1、初中數(shù)學(xué)九大幾何模型C【條件】：OAB和厶OCD均為等邊三角形;一、手拉手模型旋轉(zhuǎn)型全等D【結(jié)論】：厶0AC9A0BD；ZAEB=60；30E平分ZAED【條件】：OAB和厶OCD均為等腰直角三角形;【結(jié)論】：厶0AC9A0BD；ZAEB=90；30E平分ZAED3）頂角相等的兩任意等腰三角形【條件】OAB和厶OCD均為等腰三角形;且ZCOD=ZAOB【結(jié)論】：厶0AC9A0BD；ZAEB=ZAOB；DEABB圖2圖10E平分ZAED【結(jié)論】：右圖中厶OCDsOABAOACsAOBD；延長AC交BD于點E,必有ZBEC=ZBOA2）特殊情況將厶OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置A【條件】：CDAB,ZA0

2、B=90【結(jié)論】：右圖中厶OCDsOABAOACsAOBD；延長AC交BD于點E,必有ZBEC=ZBOA；BDODOB=tanZOCD；BD丄AC；ACOCOA連接AD、BC，必有AD2+BC2=AB2+CD2；S三、模型三、對角互補模型1）全等型-90【條件】：ZAOB=ZDCE=90；OC平分ZAOBBCD【結(jié)論】CD=CE:。D+OEF20C；S&ce=S證明提示：作垂直，如圖2,證明CDM9ACEN過點C作CF丄OC,如圖3,證明ODC9AFEC圖2B+SOCD1圖1=OC2OCE2當(dāng)ZDCE的一邊交AO的延長線于D時（如圖4）：圖32）全等型-120【條件】：ZA0B=2ZDCE=1

3、20:0C平分ZAOBJ3【結(jié)論】：CD=CE；OD+OE=OC:S二S+S二OC2DCEOCDOCE4證明提示：可參考“全等型-90”證法一;如右下圖：在0B上取一點F,使0F=0C，證明A0CF為等邊三角形。(3)全等型-任意角a【條件】：ZA0B=2a,ZDCE=180-2a:CD=CE；【結(jié)論】：0C平分ZA0B:0D+0E=20Ccosa；S=S+S=OC2-sina-cosaDCEOCDOCE當(dāng)ZDCE的一邊交A0的延長線于D時(如右下圖)：TOC o 1-5 h z原結(jié)論變成：;?？蓞⒖忌鲜龅诜N方法進行證明。請思考初始條件的變化對模型的影響。對角互補模型總結(jié)：常見初始條件：四邊形

4、對角互補，注意兩點：四點共圓有直角三角形斜邊中線;初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別注意0C平分ZAOB時，ZCDE=ZCED=ZCOA=ZCOB如何引導(dǎo)？CD四、模型四：角含半角模型90（1）角含半角模型90-1【條件】：正方形ABCD:ZEAF=45；【結(jié)論】：EF=DF+BE；ACEF的周長為正方形ABCD周長的一半;也可以這樣：【結(jié)論】：ZEAF=45；【條件】：正方形ABCD:EF=DF+BE；2）角含半角模型90-2【條件】正方形ABCD；ZEAF=45；【結(jié)論】：EF=DF-BE；3）角含半角模型90-3【條件】：RtAABC；ZDAE=45；【結(jié)論】：BD2+CE2二DE

5、2（如圖1）若ZDAE旋轉(zhuǎn)到ABC外部時，結(jié)論BD2+CE2二DE2仍然成立（如圖2）ABECF（4）角含半角模型90變形【條件】：正方形ABCD:ZEAF=45【結(jié)論】AHE為等腰直角三角形；證明：連接AC（方法不唯一）VZDAC=ZEAF=45,.ZDAH=ZCAE,又.ZACB=ZADB=45.DAHsACAE,.AHEsAADC,AAHE為等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型（1）倍長中線類模型-1【條件】：矩形ABCD:BD=BE；DF=EF；【結(jié)論】：AF丄CF模型提?。河衅叫芯€ADBE:平行線間線段有中點DF=EF；可以構(gòu)造“8”字全等ADFHEFo（2）倍長中線類模型-2【條件

6、】：平行四邊形ABCD，BC=2AB:AM=DM:CE丄AB；【結(jié)論】：ZEMD=3ZMEA輔助線：有平行ABCD，有中點AM=DM，延長EM，構(gòu)造AMEADMF，連接CM構(gòu)造模型六：相似三角形360旋轉(zhuǎn)模型（1）相似三角形（等腰直角）360旋轉(zhuǎn)模型-倍長中線法【條件】：厶ADE、AABC均為等腰直角三角形；EF=CF；【結(jié)論】：DF=BF；DF丄BF輔助線：延長DF到點G，使FG=DF，連接CG、BG、BD，證明BDG為等腰直角三角形;突破點：ABD9ACBG；難點：證明ZBAO=ZBCGE2）相似三角形（等腰直角）360旋轉(zhuǎn)模型-補全法C【條件】：厶ADE、AABC均為等腰直角三角形；EF

7、=CF；【結(jié)論】：DF=BF；DF丄BF輔助線：構(gòu)造等腰直角AEGAAHC；輔助線思路：將DF與BF轉(zhuǎn)化到CG與EFoAEBCC3）任意相似直角三角形360旋轉(zhuǎn)模型-補全法【條件】：厶OABsODC:Z0AB=Z0DC=90:BE=CE；【結(jié)論】：AE=DE:ZAED=2ZABO型。轉(zhuǎn)化AE與DE到CG與BH，難點在轉(zhuǎn)化ZAED。AC輔助線：延長BA到G,使AG=AB，延長CD到點H使DH=CD，補全OGB、AOCH構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模H將厶AMDsABC繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證明厶ABMsAOD,使用兩邊成比例且夾角相等，此處難點在1）最短路程模型一（將軍飲馬類）4）任意相似直角三角形360旋轉(zhuǎn)模型-倍長法【條件

8、】：厶OABsODC:ZOAB=ZODC=90:BE=CE；【結(jié)論】：AE=DE；ZAED=2ZABO輔助線：延長DE至M,使ME=DE，將結(jié)論的兩個條件轉(zhuǎn)化為證明AMDABO,此為難點,總結(jié)：右四圖為常見的軸對稱類最短路程問題最后都轉(zhuǎn)化到：“兩點之間，線段最短：解決；D特點：動點在直線上；起點，終點固定lll1l22）最短路程模型二（點到直線類1）【條件】：0C平分ZAOB；M為0B上一定點；P為0C動點；Q為0B上一動點;【問題】：求MP+PQ最小時，P、Q的位置?輔助線：將作Q關(guān)于0C對稱點Q，轉(zhuǎn)化PQ=PQ,過點M作MH丄0A,則MP+PQ=MP+PQMH(垂線段最短)P3）最短路程模

9、型二（點到直線類2）【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n)【問題】n為何值時，PB+冒PA最小?求解方法：x軸上取C（2,0）,使sinZOAC=；過B作BD丄AC,交y軸于點E,即為1所求；條件】：4）最短路程模型三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）線段0A=4,OB=2:OB繞點0在平面內(nèi)360旋轉(zhuǎn);問題】：AB的最大值，最小值分別為多少?以點O為圓心，OB為半徑作圓，如圖所示，將問題轉(zhuǎn)化為三角形兩邊之和大于第三邊，/最大值位置最大值：OA+OB；最小值:OA-OB結(jié)論】：【條件】：線段OA=4，OB=2；以點O為圓心，OB，OC為半徑作圓;點P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部（含邊界）一點；【結(jié)論】：

10、若PA的最大值為10,則OC=_&；若卩人的最小值為1,貝yOC=3【條件】：RtAOBC,ZOBC=30；若PA的最小值為2，則PC的取值范圍是0PC2OC=2:。A=1；點P為BC上動點（可與端點重合）;AOBC繞點O旋轉(zhuǎn)1【結(jié)論】：PA最大值為OA+OB=1+2J3；PA的最小值為尸OB二OA二J3-1如下圖，圓的最小半徑為O到BC垂線段長。B模型八：二倍角模型【條件】：在厶ABC中，ZB=2ZC；輔助線：以BC的垂直平分線為對稱軸，作點A的對稱點A,連接AA、BA、CA、則BA=AA=CA（注意這個結(jié)論）此種輔助線作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之一，不是唯一作法。模型九：相似三角形模型1）相似三角形模型-基本型平行類：DEBC；AD結(jié)論：ABAE_DEAC_BC2）相似三角形模型-斜交型【條件】：如右圖,ZAED=ZACB=90【結(jié)論】：AEXAB=ACXAD圖(1)圖(2)【條件】：如右圖，ZACE=ZABC；【結(jié)論】：AC2=AEXAB第四個圖還存在射影定理：AEXEC=BCXAC；BC2=BEXBA；CE2=AEXBE；(3)相似三角形模型-一線三等角型【條件】：(1)圖：ZABC=ZACE=ZCDE=90；圖：ZABC=ZACE=ZCDE=60；圖：ZA