電動力學(xué)二三(分離變量法)

1、第三節(jié) 拉普拉斯方程 分離變量法1基本問題：電場由電勢描述電勢滿足泊松方程+邊界條件只有在界面形狀是比輕簡單的幾何曲面時，這類問題的解才能以解析形式給出，而且視這體情況不同而有不同解法本節(jié)和以下幾節(jié)我們研究幾種求解的解析方法具體的工作：解泊松方程2在許多實(shí)際問題中，靜電場是由帶電導(dǎo)體決定的例如電容器內(nèi)部的電場是由作為電極的兩個導(dǎo)體板上所帶電荷決定的電子光學(xué)系統(tǒng)的靜電透鏡內(nèi)部，電場是由分布于電極上的自由電荷決定的這些問題的特點(diǎn)：自由電荷只出現(xiàn)在一些導(dǎo)體的表面上，在空間中沒有其他自由電荷分布3選擇導(dǎo)體表面作為區(qū)域V的邊界，V內(nèi)部自由電荷密度0，泊松方程化為比較簡單的拉普拉斯方程它的通解可以用分離變

2、量法求出。拉氏方程在球坐標(biāo)中的通解為anm, bnm, cnm, dnm為任意常數(shù)4若該問題中具有對稱軸，取此軸為極軸，這種情形下通解為5例1 一個內(nèi)徑和外徑分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼，帶電荷Q，同心地包圍一個半徑為R1的導(dǎo)體球（R1 R2），使這個導(dǎo)體球接地。求空間各點(diǎn)的電勢和這個導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷。6這問題有球?qū)ΨQ性，電勢不依賴于角度和。設(shè)導(dǎo)體殼外和殼內(nèi)的電勢分別為解7邊界條件為：（1）內(nèi)導(dǎo)體接地（2）整個導(dǎo)體球殼為等勢體（3）球殼帶總電荷Q，8將通解代入邊界條件9由這些邊界條件得其中利用這些值得電勢的解導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷為10例2 電容率為的介質(zhì)球置于均勻外電場E0中，求電勢。11設(shè)球半徑

3、為R0，球外為真空（如圖）。這問題具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外電場E0方向的軸線，取此軸線為極軸。球內(nèi)區(qū)域的電勢解球外區(qū)域的電勢12邊界條件：（1）無窮遠(yuǎn)處，因而（2）R0處，2為有限值，因此（3）在介質(zhì)球面上，有13則有比較P1的系數(shù)得可解出其他Pn項(xiàng)的系數(shù)可解出為14所有常數(shù)已經(jīng)定出，因此本問題的解為在球內(nèi)總電場作用下，介質(zhì)的極化強(qiáng)度為 介質(zhì)球的總電偶極矩為 1表達(dá)式中的第二項(xiàng)正是這個電偶極矩所產(chǎn)生的電勢 15例3 半徑為R0的導(dǎo)體球置于均勻外電場E0中，求電勢和導(dǎo)體上的電荷面密度。16用導(dǎo)體表面邊界條件，照上例方法可解出導(dǎo)體球外電勢 導(dǎo)體面上電荷面密度為解17例4 導(dǎo)體尖劈帶電勢V，分析它的尖角附近的電場。18用柱坐標(biāo)系, 取z軸沿尖邊, 柱坐標(biāo)下的拉氏方程為設(shè)的特解為解19把的特解疊加為通解形式為則上式分解為兩個方程20在尖劈=0面上，=V與r無關(guān)，因此因r 0時 有限，得在尖劈=2-面上， =V與r無關(guān)，必須因此v的可能值為21考慮這些條件，可以重寫為了確定選定常數(shù)An, 還必須用某一大曲面包圍著電場存在的區(qū)域, 并給定這曲面上的邊界條件。22在尖角附近r 0 ，上式求和式的主要貢獻(xiàn)來自r