模糊控制技術(shù)-課件(2)

1、第章模糊邏輯的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.1 模糊集合及其表示方法2.2 模糊語(yǔ)言邏輯及其算子2.3 模糊關(guān)系與模糊邏輯推理2.4 解模糊判決方法2.1 模糊集合及其表示方法2.1.1 經(jīng)典集合 集合可以表達(dá)概念。符合某概念的對(duì)象的全體就構(gòu)成此概念的外延，一個(gè)概念所包含的那些區(qū)別于其他概念的全體本質(zhì)屬性就是這概念的內(nèi)涵。用集合論的觀點(diǎn)來(lái)看，內(nèi)涵是集合的定義，外延就是組成集合的所有元素。一個(gè)概念的外延就是一個(gè)集合。集合中的個(gè)體稱為元素，通常用小寫字母u、v表示； 集合的全體又稱為論域，通常用大寫字母U、V表示； uU，表示元素u在集合論域U內(nèi)。一個(gè)集合如果由有限個(gè)元素組成，則稱為有限集合，不是有限集合的集合稱

2、為無(wú)限集合。集合可以是連續(xù)的，也可以是離散的。 在普通集合中，任何一個(gè)元素或個(gè)體與任何一個(gè)集合之間的關(guān)系只有“屬于”和“不屬于”兩種情況，兩者必居其一，而且只居其一，絕對(duì)不允許模棱兩可。例如，“大于100的自然數(shù)”是一個(gè)清晰的概念，該概念的內(nèi)涵和外延均是明確的。1. 經(jīng)典集合定義 依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，可以把不同的事物歸于這一類，或不歸于這一類。 集合是具有某種特定屬性的對(duì)象的全體。2. 表示方法（1） 列舉法（適用于具有有限元素的集合）。（2） 定義法（適用于具有很多元素而不能一一列舉的集合），用集合中元素的性質(zhì)來(lái)描述，例如，所有奇數(shù)的集合A=x|x為奇數(shù)。（3） 特征函數(shù)表示法，利用經(jīng)典

3、集合非此即彼的明晰性來(lái)表示，例如某集合A，某元素x，其特征函數(shù)為（2.1） 扎德（L.A.Zadeh）提出一種表示集合的方法。例如，小于10的數(shù)構(gòu)成偶數(shù)集合A，可表示為以上表示方法為列舉法，等號(hào)右邊不表示分?jǐn)?shù)之和，各分?jǐn)?shù)的分母表示集合中的元素，其分子表示該元素對(duì)于集合A的特征函數(shù)。 2.1.2 模糊集合1. 模糊集合的定義 在現(xiàn)實(shí)世界中，有很多事物的分類邊界是不分明的，或者說(shuō)是難以明確劃分的。比如，將一群人劃分為“高”和“不高”兩類，就不好硬性規(guī)定一個(gè)劃分的標(biāo)準(zhǔn)。如果硬性規(guī)定1.80 m以上的人算“高個(gè)子”，否則不算，那么兩個(gè)本來(lái)身高“基本一樣”的人，例如一個(gè)身高1.80 m，另一個(gè)身高1.7

4、9 m，按照上述劃分個(gè)子的規(guī)定，卻被認(rèn)為一個(gè)“高”，一個(gè)“不高”，這就有悖于常理，因?yàn)檫@兩個(gè)人在任何人看來(lái)都是“差不多高”。這種概念外延的不確定性稱為模糊性。 由此可見(jiàn)，普通集合在表達(dá)概念方面有它的局限性。普通集合只能表達(dá)“非此即彼”的概念，而不能表達(dá)“亦此亦彼”的現(xiàn)象。為此，美國(guó)加州大學(xué)控制專家扎德（L.A.Zadeh）教授創(chuàng)立了模糊集合論，提出用模糊集合來(lái)刻畫模糊概念。定義2.1 模糊集合（Fuzzy Sets）：論域U上的模糊集合F是指，對(duì)于論域（Universe of Discuss）U中的任意元素uU，都指定了0，1閉區(qū)間中的某個(gè)數(shù)F(u)0，1與之對(duì)應(yīng)，稱為 u 對(duì) F 的隸屬度（

5、Degree of Membership），通常將模糊集合表示為 。這就定義了一個(gè)映射F：FU0，1iF(u)（2.2） 這個(gè)映射稱為模糊集合的隸屬函數(shù)（Membership Function）。本書在不混淆的情況下，將模糊集合簡(jiǎn)記為F。 上述定義表明，論域U上的模糊集合F由隸屬函數(shù)F(u)來(lái)表征，F(xiàn)(u)的取值范圍為閉區(qū)間0，1，F(xiàn)(u)的大小反映了u對(duì)于集合F的從屬程度。F(u)的值接近于1，表示u從屬于F的程度很高；F(u)的值接近于0，表示u從屬于F的程度很低?？梢?jiàn)，模糊集合完全由隸屬函數(shù)所描述。當(dāng)F(u)的值域?yàn)?，1時(shí)，F(xiàn)銳化成一個(gè)經(jīng)典集合的特征函數(shù)，模糊集合F便銳化成一個(gè)經(jīng)典集合

6、。由此不難看出，經(jīng)典集合是模糊集合的特殊形式，模糊集合是經(jīng)典集合的概念推廣。 現(xiàn)在我們以人的年齡為論域，討論“年輕”、“中年”、“老年”這三個(gè)模糊集合的劃分情況，分別用模糊集合A、B、C來(lái)表示。它們的論域都是1，100，論域中的元素是u，我們規(guī)定模糊集合A、B、C的隸屬函數(shù)A(u)、B(u)、C(u)如圖2.1所示。圖2.1 “年輕”、“中年”、“老年”的隸屬函數(shù)如果u1=30，u1對(duì)A的隸屬度A(u1)=0.75，這意味著30歲的人屬于“年輕”的程度是0.75。如果u2=40，u2既屬于A集合又屬于B集合，A(u2)=0.25，B(u2)=0.50，這說(shuō)明40歲的人已不太年輕，比較接近中年，

7、但屬于中年的程度還不太大，只有0.50。再比如u3=50，B(u3)=1.00，這說(shuō)明50歲正值中年，但即將走向“老年”。對(duì)比普通集合，用閾值來(lái)劃分三個(gè)年齡段的方法，顯然模糊集合能夠比較準(zhǔn)確、更加真實(shí)地描述人們頭腦中的原有概念，而用普通集合來(lái)描述模糊性概念反而不準(zhǔn)確、不真實(shí)，也可以說(shuō)是粗糙的。定義2.2 支集（Support）：模糊集合的支集是一個(gè)普通集合，它是由論域U中滿足F(u)0的所有u組成的，即S=uU|F(u)0 （2.3）例如，在圖2.1中，模糊集合B（“中年”）的支集是開區(qū)間（35，60）。定義2.3 模糊單點(diǎn)（Singleton）: 如果模糊集合F的支集在論域U上只包含一個(gè)點(diǎn)u

8、0，且F(u0)=1，則F就稱為模糊單點(diǎn)，即F=u0U|F(u0)=1 （2.4）模糊單點(diǎn)的隸屬函數(shù)如圖2.2所示，它是位于u0點(diǎn)的一條豎直的線段，線段的高度為1。模糊單點(diǎn)也可以看成是一個(gè)普通的集合，它只包含一個(gè)點(diǎn)u0。圖2.2 模糊單點(diǎn)的隸屬函數(shù)2. 模糊集合的表示方法（1） 當(dāng)U為離散有限域U=u1，u2，un時(shí)，模糊集合F通常有以下三種表示方法。 扎德（Zadeh）表示法：（2.5） 式中的F（ui)/ui不代表分式，表示論域U中元素ui及其隸屬函數(shù)F（ui)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。符號(hào)“”也不表示“加法”運(yùn)算，而是表示模糊集合在論域U上的整體。這是一種列舉表示方法。 向量表示法：當(dāng)模糊集合F的

9、論域由有限個(gè)元素構(gòu)成時(shí)，模糊集合F可表示成向量形式F =F(u1)，F(xiàn)(u2)，F(xiàn)(un) （2.6） 一般地，若一向量的每個(gè)坐標(biāo)都在0，1之中，則稱其為模糊向量。注意：應(yīng)用向量表示時(shí)，隸屬度等于零的項(xiàng)不能舍棄，必須依次列入。 序偶表示法: 將論域中元素ui與其隸屬度F（ui)構(gòu)成序偶來(lái)表示F,則F=(u1，F(xiàn)(u1)，(u2，F(xiàn)(u2)，(un，F(xiàn)（un) （2.7）例2.1 在論域U=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中討論“小的數(shù)”F這一模糊概念，分別寫出上述三種模糊集合的表達(dá)式。解 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可以定量地給出“小的數(shù)”這一模糊概念的隸屬函數(shù)。Zadeh表示法：向量表示法： F =1

10、，0.9，0.7，0.5，0.3，0.1，0，0，0，0偶表示法： F=(1，1)，(2，0.9)，(3，0.7)，(4，0.5)，(5，0.3)， (6，0.1)，(7，0)，(8，0)，(9，0)，(10，0)(2) 當(dāng)論域U為離散無(wú)限域時(shí)，通常有兩種表示方法。 可數(shù)情況：扎德表示法（2.8） 這里的、僅僅是符號(hào)，不是表示求“和”或“積分”記號(hào)，而是表示論域U上的元素u與隸屬度F(u)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的總括； F(ui)/ui也不表示“分?jǐn)?shù)”，而表示論域U上u與隸屬度F(u)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 不可數(shù)情況：扎德表示法(2.9) 式中的符號(hào)“”不代表普通積分，而是表示無(wú)限多個(gè)元素與其隸屬度對(duì)應(yīng)關(guān)

11、系的一個(gè)總括。(3) 當(dāng)U為連續(xù)無(wú)限論域時(shí)，模糊集合F表示為例2.2 以年齡為論域，設(shè)U=0，200，扎德給出了 “年輕”Y與“年老”O(jiān)兩個(gè)模糊集合的隸屬度函數(shù)：(2.10) (2.11) (2.12) 采用扎德表示法，“年輕”Y與“年老”O(jiān)兩個(gè)模糊集合可寫為其隸屬函數(shù)曲線如圖2.3所示。圖2.3 “年輕”與“年老”隸屬函數(shù)曲線2.1.3 模糊集合的隸屬函數(shù)1 確定隸屬函數(shù)的原則隸屬函數(shù)的確定實(shí)質(zhì)上是人們對(duì)客觀事物中介過(guò)渡的定性描述，這種描述本質(zhì)上是客觀的。由于模糊理論研究的對(duì)象具有模糊性和經(jīng)驗(yàn)性，每個(gè)人對(duì)同一模糊概念的認(rèn)識(shí)和理解存在差異，因此，隸屬函數(shù)的確定又含有一定的主觀因素。 盡管確定隸

12、屬函數(shù)的方法帶有主觀因素，但主觀的反映和客觀的存在是有一定聯(lián)系的，是受到客觀制約的。因此，隸屬函數(shù)的確定應(yīng)遵守一些基本原則。定義2.4 凸模糊集合：設(shè)實(shí)數(shù)論域中模糊集合A在任意區(qū)間x1，x2上，對(duì)所有的實(shí)數(shù)xx1，x2都滿足A(x)minA(x1)，A(x2) (2.13)則稱A為凸模糊集合，否則即為非凸模糊集合，參看圖2.4。由此可見(jiàn)，凸模糊集合的隸屬函數(shù)是一個(gè)單峰凸函數(shù)。 (1) 隸屬函數(shù)所表示的模糊集合必須是凸模糊集合。下面以主觀性最強(qiáng)的專家經(jīng)驗(yàn)法為例來(lái)確定“舒適”溫度的隸屬函數(shù)。圖2.4 凸模糊集合與非凸模糊集合(a) 凸模糊集合； (b) 非凸模糊集合 某專家根據(jù)他本身的經(jīng)驗(yàn)對(duì)“舒適

13、”溫度的隸屬函數(shù)定義如下：“舒適溫度” 這里隸屬度為1.0的溫度點(diǎn)為20，即在20左右是“舒適”的溫度，越是偏離這個(gè)溫度，其隸屬度越小，即舒適的程度越小，這與大多數(shù)人的經(jīng)驗(yàn)是吻合的。至于30的隸屬度是0.5而不是0.45，也只能說(shuō)這是經(jīng)驗(yàn)。但是，這種經(jīng)驗(yàn)并不意味著可以任意確定，因?yàn)榭梢苑Q得上專家的經(jīng)驗(yàn)，那肯定不是一種具有任意性的經(jīng)驗(yàn)，通常都是指具有相當(dāng)成功把握和代表性的經(jīng)驗(yàn)。通常，某一模糊概念的隸屬函數(shù)的確定應(yīng)首先從最適合這一模糊概念的點(diǎn)下手，也即確定該模糊概念的最大隸屬函數(shù)中心點(diǎn)或區(qū)域，然后向兩邊延伸。連接各點(diǎn)后經(jīng)過(guò)平滑處理的隸屬函數(shù)曲線如圖2.5曲線1或曲線2所示。由圖2.5來(lái)看，從隸屬函

14、數(shù)中心點(diǎn)出發(fā)向兩邊延伸時(shí)，其隸屬函數(shù)的值必須是單調(diào)遞減的，而不允許有波浪形(如圖2.4(b)所示)，否則會(huì)產(chǎn)生明顯不合邏輯的狀態(tài)。圖2.5 隸屬函數(shù)向最大值兩邊延伸的差別圖(2) 變量所取隸屬函數(shù)通常是對(duì)稱和平衡的。一般情況下，描述變量的模糊集合安排得越多，模糊控制系統(tǒng)的分辨率就越高，其系統(tǒng)響應(yīng)的結(jié)果就越平滑； 但模糊規(guī)則會(huì)明顯增多，計(jì)算時(shí)間增加，設(shè)計(jì)困難加大。如果描述變量的模糊集合安排得太少，則其系統(tǒng)的響應(yīng)可能會(huì)太不敏感，并可能無(wú)法及時(shí)提供輸出控制跟隨小的輸入變化，以使系統(tǒng)的輸出在期望值附近振蕩。實(shí)踐表明，一般取39個(gè)模糊集合為宜，并且通常取奇數(shù)個(gè)，在“零”、“適中”或“正?！奔系膬蛇?，模

15、糊集合通常是對(duì)稱的。(3) 隸屬函數(shù)要遵從語(yǔ)意順序，避免不恰當(dāng)?shù)闹丿B。在相同論域上使用的具有語(yǔ)意順序關(guān)系的若干模糊集合，例如“冷”、涼”、“適中”、“暖”、“熱”等模糊子集其中心值位置必須按這一次序排列，不能違背常識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。隸屬函數(shù)由中心值向兩邊模糊延伸的范圍也有一定的限制，間隔的兩個(gè)模糊集合的隸屬函數(shù)盡量不重疊。圖2.6中，“涼”和“熱”由“適中”所間隔，但“涼”和“熱”存在著嚴(yán)重的重疊現(xiàn)象。圖2.6 交叉越界的隸屬函數(shù)示意圖(4) 論域中的每個(gè)點(diǎn)應(yīng)該至少屬于一個(gè)隸屬函數(shù)的區(qū)域，同時(shí)，它一般應(yīng)該屬于至多兩個(gè)隸屬函數(shù)的區(qū)域。(5) 對(duì)同一個(gè)點(diǎn)沒(méi)有兩個(gè)隸屬函數(shù)會(huì)同時(shí)有最大隸屬度。(6) 當(dāng)兩個(gè)隸

16、屬函數(shù)重疊時(shí)，重疊部分的任何點(diǎn)的隸屬函數(shù)的和應(yīng)該小于等于1。 為了定性研究隸屬函數(shù)之間的重疊，Motorola公司的Marsh提出重疊率和重疊魯棒性的概念，并用這兩個(gè)指數(shù)來(lái)描述隸屬函數(shù)的重疊關(guān)系，如圖2.7中模糊集合A1，A2所示。定義如下：圖2.7 重疊指數(shù)的定義（2.14） （2.15） 例2.3 根據(jù)式(2.14)及(2.15)計(jì)算圖2.8所示模糊集合的重疊率及重疊魯棒性。圖2.8 隸屬函數(shù)重疊的例子解 圖2.8(a)模糊集合A1與A2無(wú)重疊。因此，重疊率等于0； 重疊魯棒性也等于0。 由圖2.8(b)可知，模糊集合A1與A2的重疊范圍為7060=10，附近隸屬函數(shù)的范圍為8050=30

17、。根據(jù)式(2.14)可得重疊率，用表示如下：從L到U的重疊區(qū)間，模糊集合A1， A2隸屬函數(shù)的和。因此，根據(jù)式(2.15)可得重疊魯棒性，用表示如下： 由圖2.8(c)可知，模糊集合A1與A2的重疊范圍為UL=6560=5，A1，A2附近隸屬函數(shù)的范圍為7550=25，因此 從L到U的重疊區(qū)間，模糊集合A1，A2隸屬函數(shù)的和，因此，根據(jù)式(2.15)可得 對(duì)于重疊指數(shù)的選擇，一般取重疊率為0.20.6為宜； 重疊魯棒性的值通常比重疊率稍大一點(diǎn)，一般為0.30.7。重疊率和重疊魯棒性越大，模糊控制模塊就更具有模糊性，而低重疊指數(shù)適用于有較大明確相關(guān)性的輸入輸出系統(tǒng)。為了使模糊控制模塊更平滑地操作

18、，應(yīng)該選擇成熟的重疊率和重疊魯棒性，例如，重疊率可取0.33，重疊魯棒性可取0.5。2. 確定隸屬函數(shù)的方法這里介紹幾種常用的確定隸屬函數(shù)的方法。(1) 模糊統(tǒng)計(jì)法。模糊統(tǒng)計(jì)是指對(duì)模糊性事物的可能性程度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果即為隸屬度。其基本思想是：對(duì)論域U上的一個(gè)確定元素u0，考慮n個(gè)有模糊集合A屬性的普通集合A *以及元素u0對(duì)A *的歸屬次數(shù)。u0對(duì)A *的歸屬次數(shù)和n的比值就是元素u0對(duì)模糊集合A的隸屬度：(2.16) 式中m表示u0A *的次數(shù)。例如，對(duì)于“青年人”這一模糊集合，27歲屬于“青年人”的隸屬度是多少呢？ 對(duì)n=129人進(jìn)行調(diào)查，其中101人認(rèn)為27歲完全屬于青年人，因此，

19、27歲屬于“青年人”Y模糊集合的隸屬度是(2) 專家經(jīng)驗(yàn)法。 這是由專家的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)給出模糊信息的處理算式或相應(yīng)權(quán)系數(shù)來(lái)確定隸屬函數(shù)的方法。(3) 二元排序法。 這是一種較實(shí)用的確定隸屬函數(shù)的方法。它通過(guò)對(duì)多個(gè)事物之間兩兩對(duì)比來(lái)確定某種特征下的順序，由此來(lái)決定這些事物對(duì)該特征的隸屬函數(shù)的大致形狀。根據(jù)對(duì)比尺度不同，二元對(duì)比排序法可分為相對(duì)比較法、對(duì)比平均法、優(yōu)先關(guān)系排序法和相似優(yōu)先比較法等，這里僅介紹使用方便的相對(duì)比較法。 相對(duì)比較法設(shè)論域U中的元素為u1，u2，un，要對(duì)這些元素按某種特征進(jìn)行排序。首先要在二元對(duì)比中建立比較等級(jí)，然后再用一定方法進(jìn)行總體排序，以獲得諸元素對(duì)于這個(gè)特性的隸屬度函

20、數(shù)。用該方法確定隸屬度函數(shù)的具體步驟如下：設(shè)論域U中一對(duì)元素(u1，u2)，其具有某特征的等級(jí)分別為 和 ，意思就是，在u1和u2的二元對(duì)比中，如果u1具有某特征的程度用 來(lái)表示，則u2具有該特征的程度表示為 。并且該二元比較級(jí)的數(shù)對(duì)( ， )必須滿足：01，01令(2.17)即有(2.18)這里u1，u2U。若由g(ui/uj)為元素構(gòu)成矩陣，并設(shè)g(ui/uj)當(dāng)i=j時(shí)，取值為1則得到矩陣 G ，被稱為“相及矩陣”，如(2.19)對(duì)于n個(gè)元素u1，u2，un，也按同理可以得到 G 矩陣，表示式為(2.20) 若對(duì)相及矩陣 G 的每一行取最小值，如第i行取值gi=ming(ui/u1),

21、g(ui/u2), , g(ui/ui-1), 1, g(ui/ui+1), , g(ui/un)然后按其值gi(i=1，2，n)大小排序，即可得到元素u1，u2， ，un對(duì)某特征的隸屬函數(shù)。例2.4 論域C=(c1，c2，c3，c0)，其元素c0代表某名牌產(chǎn)品，而c1，c2，c3則代表同類產(chǎn)品，若考慮這些同類產(chǎn)品與名牌產(chǎn)品相似這一模糊概念，可以用對(duì)比排序法來(lái)確定c1，c2，c3相似于c0的隸屬度函數(shù)。解 首先對(duì)每?jī)蓚€(gè)元素建立比較等級(jí)。c1和c2相比較，對(duì)c0的相似度分別為0.8和0.5；c2和c3相比較，對(duì)c0的相似度分別為0.6和0.9； c1和c3相比較，對(duì)c0的相似度分別為0.7和0.

22、3。這樣c1，c2和c3兩兩對(duì)比的相似度為將上述數(shù)據(jù)列入表2.1。表2.1 相似程度 按照式(2.17)和式(2.18)計(jì)算相及矩陣 G 的元素g(ci/cj)則有： 當(dāng)i=j=1，2，3時(shí)g(ci/cj)=1當(dāng)i=1，j=2，3時(shí)g(c1/c2)=0.8/max(0.8，0.5)=1，g(c1/c3)=0.7/max(0.7，0.3)=1當(dāng)i=2，j=1，3時(shí)g(c2/c1)=0.5/max(0.8, 0.5)=0.625, g(c2/c3) =0.6/max(0.6, 0.9)=0.667當(dāng)i=3，j=1，2時(shí)g(c3/c1)=0.3/max(0.3, 0.7)=0.429, g(c3/c

23、2)=0.9/max(0.6, 0.9)=1構(gòu)成相及矩陣 G ，對(duì)每行元素取最小值，得到 按大小排序10.6250.429。得到結(jié)果是c1最相似于c0(隸屬度為1)，c2次之(隸屬度為0.625)，c3差別最大(隸屬度為0.429)。 由上例可知：要求人們同時(shí)比較C論域中所有元素，并直接給出每個(gè)元素對(duì)某一模糊概念的隸屬函數(shù)往往是相當(dāng)困難的，因?yàn)檫@要考慮到諸多因素。如果對(duì)C論域中所有元素兩兩進(jìn)行比較，則能較容易而又客觀地比較出兩者中究竟哪一個(gè)對(duì)于同一模糊概念的隸屬度高。因此，對(duì)比排序法亦稱為“二元對(duì)比法”。(4) 典型函數(shù)法。根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，應(yīng)用一定的分析與推理，選用某些典型函數(shù)作為隸屬函數(shù)，如

24、三角形函數(shù)、梯形函數(shù)等。3. 常用隸屬函數(shù)的圖形如果按定義，模糊集合的隸屬函數(shù)可取無(wú)窮多個(gè)值，這在實(shí)際使用中是難以確定的，所以一般可進(jìn)行如下簡(jiǎn)化：把最大適合區(qū)間的隸屬度定為1.0，中等適合區(qū)間的隸屬度定為0.5，較小適合區(qū)間的隸屬度定為0.25，最小隸屬度(即不隸屬)為0.0。再對(duì)一些常用的基本隸屬函數(shù)圖形進(jìn)行定義?；镜碾`屬函數(shù)圖形可分為三類：左大右小的偏小型下降函數(shù)(通常稱做Z函數(shù))、右大左小的偏大型上升函數(shù)(通常稱做S函數(shù))和對(duì)稱型凸函數(shù)(通常稱做函數(shù))，如圖2.9所示。圖2.9 基本隸屬函數(shù)圖形(a) Z函數(shù)；(b) 函數(shù)；(c) S函數(shù)圖2.10 直線型隸屬函數(shù)(a) 三角形函數(shù)；

25、(b) 梯形函數(shù)； (c) 單值線形函數(shù) 2.1.4 模糊集合的運(yùn)算1. 模糊集合的邏輯運(yùn)算(1) 模糊集合的相等： 若有兩個(gè)模糊集合A和B，對(duì)所有的uU，均有A(u)=B(u)，則稱模糊集合A與模糊集合B相等，記作AB。(2) 模糊集合的包含： 若有兩個(gè)模糊集合A和B，對(duì)所有的uU，均有A(u)B(u)，則稱模糊集合A包含于模糊集合B，或稱A是B的子集，記作AB。(3) 模糊空集：對(duì)所有的uU，均有A(u)=0，則稱A為模糊空集。(4) 模糊全集：對(duì)所有的uU，均有A(u)=1，則稱A為模糊全集。(5) 模糊集合的并集：并集(C=AB)的隸屬函數(shù)C對(duì)所有uU被逐點(diǎn)定義為取大運(yùn)算，即 C(u)

26、=maxA，B(2.21)還可以表示為AB(u)=A(u)B(u) (2.22) (6) 模糊集合的交集：交集(C=AB)的隸屬函數(shù)C對(duì)所有uU被逐點(diǎn)定義為取小運(yùn)算，即 C(u)=minA，B (2.23)還可以表示為AB(u)=A(u)B(u) (2.24)兩個(gè)模糊集合的交，其隸屬函數(shù)還有以下運(yùn)算：AB(u)=A(u)B(u) (2.25) (7) 模糊集合的補(bǔ)運(yùn)算:模糊集合補(bǔ)集的隸屬函數(shù)A c(u)，對(duì)所有uU被逐點(diǎn)定義為A c(u)=1A(u) (2.26) 例2.5在水的溫度論域U=0，10，20，30，40，50，60，70，80，90，100中，有兩個(gè)模糊集合，“水溫中等”M及“水

27、溫高”H：計(jì)算MH、MH及M c。解模糊集合的運(yùn)算即為模糊集合逐點(diǎn)隸屬度的運(yùn)算，根據(jù)模糊集合“并”、“交”及“補(bǔ)”的運(yùn)算規(guī)則，利用式(2.21)、(2.23)和式(2.26)計(jì)算如下： 以上兩個(gè)模糊集合的“并”、“交”和“補(bǔ)”邏輯運(yùn)算用圖形表示，見(jiàn)圖2.11和圖2.12陰影部分。圖2.11 模糊集合的“并”、“交”運(yùn)算(a) 模糊集合的“并”運(yùn)算； (b) 模糊集合的“交”運(yùn)算圖2.12 模糊集合的“補(bǔ)”運(yùn)算2. 模糊集合的代數(shù)運(yùn)算模糊集合除了“交”、“并”、“補(bǔ)”等基本運(yùn)算以外，還有如下一些代數(shù)運(yùn)算法則。設(shè)A，B為U中的兩個(gè)模糊集合，隸屬函數(shù)分別為A，B，則可以由隸屬函數(shù)按以下的定義進(jìn)行模糊

28、集合的代數(shù)運(yùn)算。(1) 代數(shù)積：ABAB(u)=A(u)B(u) (2.27) (2) 代數(shù)和：若有三個(gè)模糊集合A、B、C，對(duì)所有的uU，均有C(u)=A(u)+B(u)A(u)B(u) (2.28)則稱C為A、B的代數(shù)和。(3) 有界和:(2.30)(4) 有界差: ABA B(2.29) (5) 有界積：(2.31) 例2.6仍依例2.5中模糊集合“水溫中等”M及“水溫高”H：計(jì)算M與H的代數(shù)積及M與H的代數(shù)和。解 M與H的代數(shù)積：根據(jù)式(2.27) ABAB(u)=A(u)B(u)，M與H的代數(shù)積為 M與H的代數(shù)和：根據(jù)式(2.28) M+HA+B(u) =A(u)+B(u)A(u)B(

29、u)，M與H的代數(shù)和為M與H的代數(shù)積及M與H的代數(shù)和示意圖見(jiàn)圖2.13陰影部分。圖2.13 模糊集合的代數(shù)積及代數(shù)和示意圖(a) 模糊集合的代數(shù)積； (b) 模糊集合的代數(shù)和 2.1.5 模糊集合運(yùn)算的基本性質(zhì)除了模糊集合的基本邏輯運(yùn)算和代數(shù)運(yùn)算之外，為了計(jì)算上的方便，在這里列出一些模糊集合的運(yùn)算性質(zhì)，供參考，運(yùn)算性質(zhì)證明從略。(1) 冪等律 AA=A AA=A(2) 交換律 AB=BA AB=BA(3) 結(jié)合律 (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)(4) 分配律 (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)(5) 吸收律 (AB)A=A (AB)A=A(6) 統(tǒng)一律

30、AU=U AU=A (7) 復(fù)原律 (Ac)c=A(8) 對(duì)偶律 (AB)c=AcBc (AB)c=AcBc 2.1.6 模糊集合與普通集合的關(guān)系 1. 截集模糊集合A本身是一個(gè)沒(méi)有確定邊界的集合，但是如果約定，凡u對(duì)A的隸屬度達(dá)到或超過(guò)某個(gè)水平者才算A的成員，那么模糊集合A就變成了普通集合A。定義2.5設(shè)A為論域U上的一個(gè)模糊集合，任取0，1，記A=uU|A(u) (2.32)稱A為A的截集，其中稱為閾值或置信水平。又記 (2.33)稱為A的強(qiáng)截集。 圖2.14(a)給出了1，2 (12)對(duì)應(yīng)的截集， ()圖形。圖2.14(b)、(c)為、的特征函數(shù)描述。當(dāng)=1時(shí)，得到的最小的水平截集A1稱

31、為模糊集合A的核。當(dāng)=0 +時(shí)，得到最大的水平截集稱為模糊集合A的支集，記為supA=u|uU，A(u)0(2.34)若A的核非空，則稱A為正規(guī)模糊集，否則稱為非正規(guī)模糊集。圖2.14 模糊集合的截集例2.7設(shè) 是有限論域U上的一個(gè)模糊集，于是A1=u4A0.5=u1，u2，u3，u4A0=u1，u2，u3，u4，u5用特征函數(shù)的向量形式來(lái)表示： A1=0，0，0，1，0 應(yīng)該注意到，A是不模糊的。2. 分解定理分解定理說(shuō)明，任何一個(gè)模糊集合可由一類普通集合套來(lái)表示。定義2.6設(shè)A是普通集合，0，1，做數(shù)量積運(yùn)算，得到一個(gè)特殊的模糊集合A，其隸屬函數(shù)為(2.35) 分解定理：設(shè)A為論域U上的模

32、糊集合，A是A的截集，則有(2.36) 例2.8設(shè) A0.6=u3, u4, u5 由式(2.36)得 分解定理亦可從圖2.14得到直觀的說(shuō)明，圖中給出1A1、2A2的圖形，設(shè)想取遍區(qū)間0，1中的實(shí)數(shù)時(shí)，按模糊集合求并運(yùn)算的法則，A(u)恰好取各點(diǎn)隸屬函數(shù)的最大值，將這些點(diǎn)連成一條曲線，正是A的隸屬函數(shù)A。A是模糊集合，A是普通集合(非模糊集合)，它們之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化由分解定理用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)了。這個(gè)定理也說(shuō)明了模糊性的成因，大量的甚至無(wú)限多的清晰事務(wù)重疊在一起，總體上就形成模糊事務(wù)。3. 擴(kuò)張?jiān)碓诮o定的論域U上，可以有多個(gè)模糊集合，記U上的模糊集合的全體為P(U)，稱P(U)為U上模糊集

33、合的冪集。顯然，P(U)是一個(gè)普通集合。若A為論域U上的一個(gè)模糊集合，在一個(gè)普通映射fUV下，A的像是什么？若已知BP(V)，它在U上對(duì)應(yīng)的模糊集合又是怎樣的呢？也就是說(shuō)，一個(gè)普通映射能否誘導(dǎo)到模糊集合之間的映射，問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何確定這些模糊集合的隸屬函數(shù)。為此，有擴(kuò)張?jiān)砣缦?。定義2.7擴(kuò)張?jiān)恚涸O(shè)有普通映射fUV，由 f 可以誘導(dǎo)出兩個(gè)映射f P(U)P(V)， f 1 P(V)P(U) A|f(A)，B|f 1(B)f(A)稱為A在f之下的像，f1(B)為B的逆像。它們的隸屬函數(shù)分別為(2.38) (2.37) 例2.9設(shè)U=1，2，6，V=a，b，c，d，論域U上有模糊集合求B=f(

34、A)及f 1(B)。解根據(jù)擴(kuò)張?jiān)眍愃频?，得f(A)(b)=0.4，f(A)(c)=0.2由于 ，所以f(A)(d)=0，于是參看圖2.15。圖2.15 擴(kuò)張?jiān)硎疽鈭D(a) 論域U到V的映射； (b) 模糊集合A的像由此可見(jiàn)，求擴(kuò)張模糊集合f(A)，可用如下辦法： 當(dāng)V為有限論域時(shí)，可根據(jù)擴(kuò)張?jiān)硭愠鯲上各點(diǎn)對(duì)f(A)的隸屬度，然后再按照模糊集合表示法寫出f(A)。 類似地求f1(B)。根據(jù)擴(kuò)張?jiān)?，f1(B)(u)=B(v)，由此得：f1(B)(1)=B(a)=1f1(B)(2)=B(a)=1f1(B)(3)=B(a)=1同理f1(B)(4)=B(b)=0.4f1(B)(5)=B(b)=0

35、.4f1(B)(6)=B(c)=0.2因此參看圖2.16。擴(kuò)張?jiān)碓谀：险撝惺且粋€(gè)很重要的原理，并得到廣泛的應(yīng)用。如果說(shuō)分解定理是模糊集合與清晰集合間的聯(lián)系紐帶，那么擴(kuò)張?jiān)硎前亚逦险撝械臄?shù)學(xué)方法擴(kuò)展到模糊集合中的有力工具。圖2.16 B的逆像集合 2.2 模糊語(yǔ)言邏輯及其算子2.2.1 模糊語(yǔ)言邏輯1. 模糊數(shù)若A是實(shí)數(shù)域 R 上的凸模糊集，那么截集A是實(shí)數(shù)軸上的凸集。顯然A是一區(qū)間，這個(gè)區(qū)間可以是有限的，如a，b； 也可以是無(wú)限的，如(，a、b，)或(，)。由凸模糊集給出模糊數(shù)的概念。定義2.8模糊數(shù)：設(shè)A是實(shí)數(shù)域 R 上的正規(guī)模糊集，且(0，1，A均為一閉區(qū)間，即A=a，b則稱

36、A 為一個(gè)模糊實(shí)數(shù)，簡(jiǎn)稱模糊數(shù)。 那就是說(shuō)，以實(shí)數(shù)集合為全集合，一個(gè)具有連續(xù)隸屬函數(shù)的正規(guī)的有界凸模糊集合就稱為模糊數(shù)。這里正規(guī)集合的含義就是其隸屬函數(shù)的最大值是1，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為 這里凸集合的含義是：在隸屬函數(shù)曲線上任意兩點(diǎn)之間曲線上的任一點(diǎn)所表示的隸屬度都大于或者等于兩點(diǎn)隸屬度中較小的一個(gè)。由定義2.4可知，在實(shí)數(shù)集合的任意區(qū)間a，b上，對(duì)于所有的ua，b，都有如下關(guān)系，就稱F是凸模糊集合：A(u)min(A(a)，A(b)(凸性) 這里凸模糊集的直觀幾何意義是(參見(jiàn)圖2.17)，假設(shè)A表示“速度快”這個(gè)模糊集，u1點(diǎn)的速度慢，u2點(diǎn)的速度較快，u1和u2連線上的任一點(diǎn)u的速度都比u1

37、點(diǎn)快而比u2點(diǎn)要慢，或者說(shuō)u隸屬于A的程度都比u1隸屬于A的程度大。通俗地說(shuō)，就是把那些諸如“大約5”、“10左右”等具有模糊概念的數(shù)稱為模糊數(shù)。圖2.17 凸模糊集的幾何意義2. 語(yǔ)言變量語(yǔ)言變量是以自然語(yǔ)言中的字、詞或句作為名稱，并且以自然語(yǔ)言中的單詞或詞組作為值的變量，它不同于一般數(shù)學(xué)中以數(shù)為值的數(shù)值變量。因此，語(yǔ)言變量實(shí)際上是一種模糊變量，是用模糊語(yǔ)言表示的模糊集合。例如，若將“年齡”看成是一個(gè)模糊語(yǔ)言變量，則它的取值不是具體歲數(shù)，而是諸如“年幼”、“年輕”、“年老”等用模糊語(yǔ)言表示的模糊集合。 語(yǔ)言變量用一個(gè)有五個(gè)元素的集合N，T(N)，U，G，M來(lái)表征，其中： N是語(yǔ)言變量的名稱，

38、如年齡、顏色、速度、體積等； U是N的論域； T(N)是語(yǔ)言變量值X的集合，每個(gè)語(yǔ)言值X都是定義在論域U上的一個(gè)模糊集合； G是語(yǔ)法規(guī)則，用以產(chǎn)生語(yǔ)言變量N的語(yǔ)言值X的名稱； M是語(yǔ)義規(guī)則，是與語(yǔ)言變量相聯(lián)系的算法規(guī)則，用以產(chǎn)生模糊子集X的隸屬函數(shù)。語(yǔ)言變量通過(guò)模糊等級(jí)規(guī)則，可以給它賦予不同的語(yǔ)言值，以區(qū)別不同的程度。 以語(yǔ)言變量名稱N表示“年齡”為例，則T(年齡)可以選取為：T(年齡)=(很年輕，年輕，中年，老，很老)，上述每個(gè)模糊語(yǔ)言值如老、中、輕等是定義在論域U上的一個(gè)模糊集合，設(shè)論域U=0，120。語(yǔ)言變量的五元素之間的相互關(guān)系可以用圖2.18來(lái)表示。圖2.18 語(yǔ)言變量體系結(jié)構(gòu) 2.

39、2.2 語(yǔ)言算子 1. 語(yǔ)氣算子語(yǔ)氣算子用于表達(dá)語(yǔ)言中對(duì)某個(gè)單詞或詞組的確定性程度。設(shè)有論域U，若存在單詞A，有隸屬函數(shù)A(u)=，則有以下算子。(1) 集中化算子。 在單詞A前面加上模糊量詞S后有SA(u)則稱Q為散漫化算子。 散漫化算子是起弱化語(yǔ)氣作用的語(yǔ)氣算子，如“較”、“略微”、“稍微”等，可使模糊語(yǔ)言值的隸屬度分布由中央向兩邊彌散，如圖2.20所示。圖2.19 集中化算子的強(qiáng)化作用 圖2.20 散漫化算子的弱化作用2. 模糊化算子 模糊化算子，其作用是把肯定轉(zhuǎn)化為模糊，或者使原來(lái)就是模糊概念的詞更加模糊化。模糊化算子有“大約”、“近似”、“大概”等。 模糊化算子如果對(duì)數(shù)字進(jìn)行作用，就

40、把精確數(shù)轉(zhuǎn)化為模糊數(shù)。例如，1.7 m是精確數(shù)，“近似1.7 m”就是模糊數(shù)。模糊化算子如果對(duì)模糊值進(jìn)行作用，就使模糊值更模糊。例如，“年輕”是個(gè)模糊值，“大約年輕”就更模糊。在模糊控制中，采樣的輸入量總是精確量，要利用模糊邏輯推理方法，就必須首先把輸入的精確量模糊化。模糊化實(shí)際上就是使用模糊化算子來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此引入模糊化算子是非常有實(shí)用價(jià)值的。 3. 判定化算子 與模糊化算子有相反作用的另一類算子，例如，“傾向于”、“偏向于”等，被稱為判定化算子。其作用是把模糊值進(jìn)行肯定化處理，對(duì)模糊值做出傾向性判斷。其處理方法類似于“四舍五入”，并把隸屬度0.5作為分界。 例如，“年老”的隸屬函數(shù)為uO(

41、x)0 x50 x50則“偏老”O(jiān)可用O(x)=0.5所對(duì)應(yīng)的年齡x為“偏老”的界限：求出x=55，得出“偏老”的明確界限： 語(yǔ)言變量適于表達(dá)因復(fù)雜而無(wú)法獲得確定信息的概念和現(xiàn)象，它為這些通常無(wú)法進(jìn)行量化的“量”提供了一種近似處理方法，把人的直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行量化，轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)可以操作的數(shù)值運(yùn)算，使人們有可能把專家的控制經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化成控制算法，并實(shí)現(xiàn)模糊控制。2.3 模糊關(guān)系與模糊邏輯推理 2.3.1 模糊關(guān)系1. 普通關(guān)系關(guān)系是客觀世界存在的普遍現(xiàn)象，它描述了事物之間存在的某種聯(lián)系。例如，人與人之間有父子、親戚、同事關(guān)系； 數(shù)與數(shù)之間有大于、等于、小于等關(guān)系； 元素與集合之間有屬于、不屬于等關(guān)系。兩個(gè)

42、客體之間的關(guān)系稱為二元關(guān)系，三個(gè)以上客體之間的關(guān)系稱為多元關(guān)系。普通關(guān)系只表示元素之間是否關(guān)聯(lián)。(1) 集合的直積。由兩個(gè)集合X和Y的各自元素x與y組成的序偶(x，y)的全體，稱為X和Y的直積，記為XY，即XY=(x，y)|xX，vY (2.39)一般情況下，XYYX。例2.10X=0，1，Y=4，5，6，則XY=(0，4)，(0，5)，(0，6)，(1，4)，(1，5)，(1，6)YX=(4，0)，(4，1)，(5，0)，(5，1)，(6，0)，(6，1) (2) 普通二元關(guān)系。 如果對(duì)集合X，Y的元素之間的搭配(x，y)，xX，yY施加某種限制，這時(shí)構(gòu)成的集合是直積XY的一個(gè)子集合。該子集

43、具有某種特定性質(zhì)，其性質(zhì)的內(nèi)容包含于搭配的限制之中，它反映X，Y元素之間的某種特定關(guān)系。 定義2.9設(shè)X與Y是兩個(gè)非空集合。集合X，Y的直積XY的一個(gè)子集R稱為X到Y(jié)的一個(gè)二元關(guān)系，簡(jiǎn)稱關(guān)系。 對(duì)于直積XY的序偶(x，y)，要么(x，y)具有關(guān)系R，記為(x，y)R，要么(x，y)不具有關(guān)系R，記為(x，y)R。因此，關(guān)系R的特征函數(shù)為若X=Y，則直積XY的子集R稱為X上的二元關(guān)系，或稱X上的關(guān)系。(3) 關(guān)系矩陣。 關(guān)系R可以用矩陣來(lái)表示，稱為關(guān)系矩陣。其中元素rij基于特征函數(shù)R(u，v)的定義，即例2.11X=Y=1，2，3，4，5，6，XY中的XY的關(guān)系可以用矩陣 R 表示： 2. 模

44、糊關(guān)系 關(guān)系是描述客觀事物之間聯(lián)系的重要概念。普通關(guān)系R描述了事物之間“有”與“無(wú)”的肯定關(guān)系，但有些事物不能簡(jiǎn)單地用肯定或否定的詞匯明確表達(dá)它們之間的關(guān)系。如“A與B很相似”、“X比Y大很多”、“他比他能干”等，這些語(yǔ)句是日常生活中人們常常會(huì)遇到的。它們表達(dá)了客觀事物之間另一種不明確、不確定的關(guān)系，稱為模糊關(guān)系。模糊關(guān)系是普通關(guān)系的拓廣和發(fā)展。它比普通關(guān)系的含義更豐富、更符合客觀實(shí)際的多數(shù)情況。 定義2.10模糊集合X和Y的直積XY=(x，y)|xX，yY中的模糊子集R被稱為X到Y(jié)的模糊關(guān)系，又稱為二元模糊關(guān)系，其特性用隸屬函數(shù)描述如下：RXY0，1當(dāng)X=Y時(shí)，則稱R是X的模糊關(guān)系。當(dāng)論域?yàn)?/p>

45、n個(gè)集合Xi(i=1，2，n)的子集X1X2Xn時(shí)，它們所對(duì)應(yīng)的模糊關(guān)系R稱為n元模糊關(guān)系。對(duì)于(x，y)XY，R(x，y)表達(dá)x對(duì)y有關(guān)系R的程度或x對(duì)y的關(guān)系R的相關(guān)程度。設(shè)X是m個(gè)元素構(gòu)成的有限論域，Y是n個(gè)元素構(gòu)成的有限論域。對(duì)于X到Y(jié)的一個(gè)模糊關(guān)系R，可以用一個(gè)mn階矩陣表示為(2.40)或 R =rij， rij=R(xi，yj)我們稱一個(gè)矩陣是模糊矩陣，如果它的每個(gè)元素屬于0，1。令Fmn= R =rij；0rij1Fmn表示mn階模糊矩陣的全體。在有限論域之間，普通關(guān)系與布爾矩陣建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，模糊關(guān)系與模糊矩陣建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，通常都把模糊矩陣和模糊關(guān)系看做一回事，

46、均以R表示。3. 模糊關(guān)系的表示模糊關(guān)系也是模糊集合，所以模糊關(guān)系也可用模糊集合的表示方法。(1) 模糊集合表示法。用模糊集合表示模糊關(guān)系如下：例2.12設(shè)集合X=1，2，3，Y=1，2，3，4，5，從X到Y(jié)的一個(gè)模糊關(guān)系R可表示為 (2) 模糊關(guān)系表表示法。 模糊關(guān)系R可用模糊關(guān)系表來(lái)表示。例2.12中模糊關(guān)系R的模糊關(guān)系表如表2.2所示。表2.2 X與Y的模糊關(guān)系表 (3) 模糊矩陣表示法。當(dāng)X，Y是有限集合時(shí)，定義在XY上的模糊關(guān)系R可用模糊矩陣來(lái)表示。上例中模糊關(guān)系R的矩陣表示為 (4) 模糊關(guān)系圖表示法。用圖直觀表示模糊關(guān)系時(shí)，將xi，yj作為節(jié)點(diǎn)，在xi到y(tǒng)j的連線上標(biāo)上R(xi，

47、yj)的值，這樣的圖稱為模糊關(guān)系圖。例2.13甲、乙二人博弈，具有相同的策略集合：X=Y=剪刀，石頭，布，“甲勝”定為1； “平局”定為0.5； “甲負(fù)”定為0。二人勝、負(fù)關(guān)系可用模糊關(guān)系圖表示，如圖2.21所示。圖2.21 模糊關(guān)系圖4. 模糊關(guān)系的運(yùn)算由于模糊矩陣本身是表示一個(gè)模糊關(guān)系的子集R，因此根據(jù)模糊集合的并、交、補(bǔ)運(yùn)算的定義，模糊矩陣也可作相應(yīng)的運(yùn)算。設(shè)模糊矩陣 R 和 Q 是 R =(rij)mn， Q =(qij)mn (i=1，2，m；j=1，2， ，n)模糊矩陣的并、交、補(bǔ)運(yùn)算為模糊矩陣并： R Q =(rijqij) (2.41) 模糊矩陣交： R Q =(rijqij)

48、 (2.42) 模糊矩陣補(bǔ)： Rc=(1rij)(2.43) 例2.14設(shè) ， 。試求RQ，RQ 及Rc。解根據(jù)式(2.41)、式(2.42)及式(2.43)有 5. 模糊矩陣的截陣模糊矩陣的截陣為(2.44) 例2.15設(shè) X =x1，x2，x3，Y =y1，y2，y3，y4， X Y 中的 R 為求 R0.8。解根據(jù)式(2.44)得 用截矩陣表示為 2.3.2 模糊關(guān)系的合成 模糊關(guān)系合成是指由第一個(gè)集合和第二個(gè)集合之間的模糊關(guān)系及第二個(gè)集合和第三個(gè)集合之間的模糊關(guān)系得到第一個(gè)集合和第三個(gè)集合之間的模糊關(guān)系的一種運(yùn)算。 模糊關(guān)系的合成，因使用的運(yùn)算不同而有各種定義。這里給出常用的maxmi

49、n合成法。定義2.11設(shè)R是XY中的模糊關(guān)系，S是YZ中的模糊關(guān)系，所謂R和S的合成，是指XZ的模糊關(guān)系Q，記做Q=R 。S或這里代表取小(min)，代表取大(max)，式(2.45)定義的合成稱為maxmin合成。設(shè) R =rij，S=sjk則 Q=R 。S =qik (2.46)Q 為模糊矩陣 R 和 S 的合成，且qik=(rijsjk)， i=1，2，m；j=1，2， ，n當(dāng)R是X中的模糊關(guān)系時(shí)，記R=R 。R，Rn=Rn1 。R。例2.16設(shè)， 求Q=R 。S 。解根據(jù)式(2.45)得出 就關(guān)系合成而言，當(dāng)前一個(gè)模糊關(guān)系的后域與后一個(gè)模糊關(guān)系的前域?yàn)橥徽撚驎r(shí)，兩個(gè)關(guān)系的合成才能得出

50、有意義的結(jié)果。因此，R 。S有意義，而S 。R沒(méi)有意義。 2.3.3 模糊邏輯推理 在形式邏輯中經(jīng)常使用三段論式的演繹推理，即由大前提、小前提和結(jié)論構(gòu)成的推理。比如，平行四邊形兩對(duì)角線相互平分，矩形是平行四邊形，則矩形的對(duì)角線也相互平分。這種推理可以寫成以下規(guī)則:大前提：如果 X 是 A，則 Y 是 B （知識(shí)） 小前提：X 是 A （事實(shí)）結(jié)論： Y 是 B 在科學(xué)研究中，常用基于二值邏輯的演繹推理和歸納推理方法，特別是在科學(xué)報(bào)告和論文中，過(guò)去只承認(rèn)這種推理方法是嚴(yán)格和合理的。大前提中的如果X是A有時(shí)稱為規(guī)則的前件，則Y是B稱為規(guī)則的后件。用傳統(tǒng)二值邏輯進(jìn)行推理，只要大前提或者推理規(guī)則是正確

51、的，小前提是肯定的，那么就一定會(huì)得到確定的結(jié)論。然而在現(xiàn)實(shí)生活中，常常獲得的信息是不精確、不完全的，或者事實(shí)就是模糊而不完全確定的，但又必須利用這些信息進(jìn)行判斷和決策，顯然傳統(tǒng)二值邏輯推理方法在這里就無(wú)法應(yīng)用。大部分情況下人們就是在這樣的環(huán)境中進(jìn)行判斷決策的。 模糊邏輯推理是不確定性推理方法的一種，其基礎(chǔ)是模糊邏輯，它是在二值邏輯三段論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，其生長(zhǎng)點(diǎn)是應(yīng)用領(lǐng)域。用這種推理方法得到的結(jié)論與人的思維一致或相近。它是一種以模糊判斷為前提，運(yùn)用模糊語(yǔ)言規(guī)則，推出一個(gè)新的近似的模糊判斷結(jié)論的方法。 下面通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明什么是模糊邏輯推理。 例如，大前提：友好是一種對(duì)稱關(guān)系 小前提：張三和

52、李四友好 結(jié) 論：李四和張三友好這里“友好”是模糊關(guān)系概念，但由于它是明確的對(duì)稱關(guān)系，所以從前件可以直接推理得到結(jié)論，并且推理過(guò)程也無(wú)模糊性，與精確推理是一樣的。由此可見(jiàn)，前提中雖然用的是模糊概念，但是可以用直接推理方法得到結(jié)論，其實(shí)質(zhì)仍然是精確推理。 以下再看一個(gè)間接推理的例子。 例如，大前提：健康則長(zhǎng)壽 小前提：周先生健康 結(jié) 論：周先生長(zhǎng)壽 這里“健康”和“長(zhǎng)壽”都是模糊概念，但是因?yàn)榇笄疤岬那凹托∏疤嶂械哪：袛鄧?yán)格相同，而結(jié)論則與大前提中的后件嚴(yán)格相同，故這里的推理過(guò)程也無(wú)模糊性。所以這種間接推理方法，其實(shí)質(zhì)與傳統(tǒng)邏輯推理還是一樣的。然而像下面的例子就無(wú)法用與傳統(tǒng)邏輯一樣的方法來(lái)推

53、理。 例如，大前提：健康則長(zhǎng)壽 小前提：周先生很健康 結(jié) 論：周先生近乎會(huì)很長(zhǎng)壽 這里小前提中的模糊判斷和大前提的前件不是嚴(yán)格相同，而是相近，它們有程度上的差別，這就不能得到與大前提中后件相同的明確結(jié)論，其結(jié)論也應(yīng)該是與大前提中后件相近的模糊判斷。這種結(jié)論不是從前提中嚴(yán)格地推出來(lái)，而是近似邏輯地推出結(jié)論的方法，通常就稱為假言推理或似然推理。 從以上分析可知，決定是不是模糊邏輯推理并不是看前提和結(jié)論中是否使用模糊概念，而是看推理過(guò)程是否具有模糊性，具體表現(xiàn)在推理規(guī)則是不是模糊的。從另外一個(gè)角度看，模糊推理與精確推理之間又沒(méi)有黑白分明的界限，有時(shí)是交叉的。這本身也要用模糊邏輯來(lái)劃分。 2.3.4

54、模糊邏輯推理方式和方法模糊邏輯推理方法尚在發(fā)展中，比較典型的方法有扎德(Zadeh)方法、鮑德溫(Baldwin) 方法、楚卡莫托(Tsukamoto)方法、耶格(Yager)方法和米祖莫托(Mizumoto)方法。這里主要介紹扎德方法。1975年扎德利用模糊變換關(guān)系，提出了模糊邏輯推理的合成規(guī)則，建立了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型，用于對(duì)各種模糊推理作統(tǒng)一處理。模糊假言推理是作為這一合成規(guī)則的特殊情況來(lái)處理的。 在模糊邏輯與近似推理中，有兩種重要的模糊蘊(yùn)涵推理規(guī)則：廣義前向推理法(Generalize Modus Ponens，GMP)和廣義后向推理法(Generalize Modus Tollens，G

55、MT)。GMP推理規(guī)則：前提1：若X為A則Y為B (知識(shí))前提2：X為A (事實(shí)) 結(jié) 論：Y為B GMT推理規(guī)則： 前提1：若X為A則Y為B(知識(shí)) 前提2：Y為B (事實(shí)) 結(jié) 論：X為A模糊蘊(yùn)涵推理是以1973年扎德提出的近似推理合成規(guī)則為基礎(chǔ)的。在此我們通過(guò)用語(yǔ)言變量x，y代替?zhèn)鹘y(tǒng)邏輯中的明晰集合來(lái)介紹模糊集合A，A和B，B。1. 近似推理或語(yǔ)言推理人們平常如果遇到像“如果x小，那么y就大”這樣的前提，要問(wèn)“如果x很小，y將怎么樣呢？”，我們會(huì)很自然地想到“如果x很小，那么y就很大”。人們所使用的這種推理方法就被稱為模糊假言推理或似然推理。這是一種近似推理方法。它可以這樣來(lái)表達(dá)： 大前

56、提：如果X是A，那么Y是B 小前提：X是A 結(jié) 論：那么Y是BB=A。(AB)(2.47) 即結(jié)論B可用A與A到B的蘊(yùn)涵關(guān)系進(jìn)行合成而得到，其中的算子“”表示合成運(yùn)算； (AB)是蘊(yùn)涵運(yùn)算，表示由A到B進(jìn)行模糊推理的關(guān)系或條件，即“如果X是A，那么Y是B”的簡(jiǎn)化表示方法，有時(shí)(AB)也可以寫成RAB。在式(2.47)模糊合成規(guī)則中，有兩個(gè)很重要的步驟：一個(gè)是求模糊蘊(yùn)涵AB(若A則B)的關(guān)系R，另一個(gè)是模糊關(guān)系的合成運(yùn)算。這里介紹比較常用的扎德(Zadeh)和瑪達(dá)尼(Mamdani)模糊關(guān)系的定義方法。(1) 模糊蘊(yùn)涵關(guān)系。Zadeh定義方法如下：式中，E 為全稱矩陣。隸屬函數(shù)為R(x，y)=A

57、(x)B(y)1A(x) (2.48)Mamdani定義方法如下：模糊蘊(yùn)涵關(guān)系R=(AB) 隸屬函數(shù)為R(x，y)=A(x)B(y)(2.49) 這兩種定義的模糊蘊(yùn)涵關(guān)系運(yùn)算方法不同，其模糊推理有差異，但結(jié)論大體一致。若論域U上模糊集合A有m個(gè)元素，即x1，x2，xm，論域V上模糊集合B有n個(gè)元素，即y1，y2， ，yn，就可以得到mn的模糊關(guān)系矩陣：(2.50)采用瑪達(dá)尼蘊(yùn)涵關(guān)系定義，式(2.50)中(2) 合成運(yùn)算“ ?！?。根據(jù)模糊控制中用得最多的瑪達(dá)尼方法可得B=A(AB)=A。R即式(2.51)中，“sup”表示對(duì)后面算式結(jié)果當(dāng)x在X中變化時(shí)，取其上確界。若X為有限論域時(shí)，sup就是取

58、大運(yùn)算。 是指模糊集合A與A交集的高度，可以表示為=H(AA)可以看成是A對(duì)A的適配程度，即隸屬度。 根據(jù)瑪達(dá)尼方法，結(jié)論B可以用此適配度與模糊集合B進(jìn)行模糊“與”，即取小運(yùn)算而得到。在圖形上就是用作基準(zhǔn)去切割，便可得到推論的結(jié)果?，斶_(dá)尼推理方法經(jīng)常又稱為削頂法。這種推理方法可用圖2.22來(lái)表示其推理關(guān)系。如果A與A完全一致，那么隸屬度=1，結(jié)論當(dāng)然是B與B完全一致，這就是推理前件和后件都為模糊概念時(shí)用布爾邏輯推理的結(jié)果。這說(shuō)明用這種推理方法可以包容傳統(tǒng)布爾邏輯推理方法。這種推理方法是否與人通過(guò)思維得到的結(jié)論相一致呢？可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子驗(yàn)證一下。圖2.22 瑪達(dá)尼推理過(guò)程例2.17設(shè)論域T(

59、溫度)0，20，40，60，80，100和P(壓力)1，2，3，4，5，6，7上定義模糊子集隸屬函數(shù)：A (溫度高) B (壓力大) 現(xiàn)在的條件是“如果溫度高，那么壓力就大”，如何通過(guò)瑪達(dá)尼模糊推理方法在“溫度較高”的情況下得到推理結(jié)論呢？若根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可把“溫度較高”的隸屬函數(shù)定義為A (溫度高) 解下面我們進(jìn)行推理計(jì)算。 試用A對(duì)A的隸屬度推理方法進(jìn)行推理。先求出A對(duì)A的隸屬度:=H(AA) =H =H 再用此去“切割”B隸屬函數(shù):B(壓力)=B(壓力大) =0.85 對(duì)比“壓力大”的隸屬函數(shù)，可以認(rèn)為此式相當(dāng)于“壓力較大”的隸屬函數(shù)，用模糊語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，推理結(jié)論就是“壓力較大”。這與我們的推理

60、結(jié)果一致。 下面用模糊關(guān)系來(lái)進(jìn)行推理。求出“如果溫度高，那么壓力就大”蘊(yùn)涵關(guān)系矩陣 R 的隸屬函數(shù)矩陣推理結(jié)果與的推理結(jié)果是一樣的。2. 模糊條件推理在模糊邏輯控制中，經(jīng)常用到模糊條件推理。其形式是：如果什么什么，那么怎么怎么，否則怎么怎么 用語(yǔ)言規(guī)則表示，即如果是A，那么是B，否則是C其邏輯表達(dá)式為(AB)(C)這種邏輯結(jié)構(gòu)可以用圖2.23表示。 A是論域X上的子集，B、C是論域Y上的子集。圖中的陰影部分就表示為(AB)(C)其模糊關(guān)系R是XY的子集，可表示為R=(AB)( C)其模糊關(guān)系矩陣中的各元素可通過(guò)下式求出：有了這個(gè)模糊關(guān)系，就可以根據(jù)推理合成規(guī)則，將輸入A與該關(guān)系R進(jìn)行合成得到模