矩陣基本知識

1、矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用 信息工程學(xué)院主講人 謝宏先修課程線性代數(shù)行列式向量的基本概念和運算維數(shù)、向量加法、數(shù)乘、內(nèi)積矩陣的基本概念和運算維數(shù)、矩陣加法、數(shù)乘、矩陣乘法方陣、逆矩陣、正交矩陣、對稱陣、相似矩陣特征值與特征向量線性方程組的解：解空間先修課程線性代數(shù)向量空間與線性變換線性無關(guān)、基底、歐式空間、線性變換二次型多元二次函數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)形、二次型的對角化相關(guān)概念及定義矩陣(Matrix)矩陣是數(shù)域F上的mn個數(shù)構(gòu)成的數(shù)表：稱為F上m行、n列的矩陣，記為A稱為A的第i行、第j列元素，記為(A)iji = 1, , m, j = 1, , n相關(guān)概念及定義（continue）數(shù)域F上的一切m行、n列的矩陣

2、的集合，記為：若 ， ，則稱矩陣A與B同型數(shù)域（Field）若數(shù)集F含有數(shù)1且對四則運算封閉，則稱F為數(shù)域映射（Mapping）若 ， ，若存在一個對應(yīng)關(guān)系（或?qū)?yīng)法則）: ，有Y中的唯一的一個元素y與之對應(yīng)，就稱給出了一個從X到Y(jié)的一個映射 f，記作：f: XY，或y = f(x)映射是函數(shù)概念的推廣，它與函數(shù)、算子、變換表示的是同一個概念特別地，當(dāng)Y為數(shù)集(實數(shù)集R或復(fù)數(shù)集C)時，稱 f 為定義在集合X上的泛函（functional）相關(guān)概念及定義（continue）直積集設(shè)A，B是給定的集合，稱為A與B的直積集，簡稱積集、直積舉例： ， ，那么 表示XOY平面上矩形中點的集合 表示XOY

3、平面上所有點的集合AB中的元素被稱為有序?qū)?，即?dāng) 時，直積集的概念可被推廣到兩個以上給定的集合：記為：相關(guān)概念及定義（continue）代數(shù)運算如果通過法則， ，得到唯一的 ，則稱 為A與B的直積集到C的一個代數(shù)運算：稱c為 和 經(jīng)運算 得出的結(jié)果，記為：集合A對運算 封閉：若 是 的一個代數(shù)運算，則稱集合A對運算封閉N和Z不是數(shù)域Q、R和C都是數(shù)域Q是最小的數(shù)域C是最大的數(shù)域相關(guān)概念及定義（continue） 在矩陣的定義的基礎(chǔ)上，可定義矩陣相等、負(fù)矩陣、零矩陣、方陣、單位陣、對角陣、逆矩陣等矩陣相等設(shè) ， ，若 ，i = 1, , m, j = 1, , n, 則稱矩陣A與B相等，記為A

4、= B負(fù)矩陣對 , 稱 -A 為A的負(fù)矩陣零矩陣元素全為零的矩陣，稱為零矩陣，記為O相關(guān)概念及定義（continue）方陣（Square matrix）行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣稱為方陣，行數(shù)為n的方陣稱為n階方陣。對方陣，又定義了主對角線元素、副對角線元素等概念：稱 為主對角線元素稱 為副對角線元素對角陣（diagonal matrix）除了主對角線元素以外，其余元素均為0的方陣，稱之為對角陣。單位陣（Identity matrix） 主對角線元素全為1的對角陣，稱之為單位陣。簡記為I。 n 階單位陣記為 矩陣運算矩陣加法：設(shè) ，稱 為矩陣A 與B 之和。矩陣加法是 的代數(shù)運算，性質(zhì)：交換律：A

5、+ B = B +A 結(jié)合律：(A + B) + C = A + (B + C) A + 0 = 0 + A = A A+ (-A) = (-A) + A = 0矩陣減法：設(shè) ，稱 為矩陣A與B之差。矩陣運算（Continue）數(shù)乘矩陣：設(shè) ，稱 為與之積。 推論 數(shù)乘矩陣是 的一個代數(shù)運算，性質(zhì)： 1。 2。 分配律 3。 分配律 4。 結(jié)合律矩陣乘法:設(shè) ,令矩陣運算（Continue）稱 , 為A與B之積(1)A的列數(shù) = B的行數(shù);(2)AB的行數(shù)為A的行數(shù),列數(shù)為B的列數(shù);(3)AB的i行j列元素為A的i行元素與B的j列對應(yīng)元素之積之和舉例：矩陣運算（Continue） ABBA：矩

6、陣乘法不滿足交換律 A 0； B 0，但AB = 0。 矩陣乘法是 的一個代數(shù)運算，它有以下性質(zhì)：1(AB)C =A(BC) 結(jié)合律2(A + B)C = AC + BC 分配律 A(B+C) = AB + AC 分配律3(A)B = A(B) = (AB) 結(jié)合律4A是方陣：AI = IA = A矩陣運算(Continue)方陣的冪（Power)設(shè) , 稱 為A的k次冪，并定義 因為矩陣乘法滿足結(jié)合律，所以 又因矩陣乘法不滿足交換律，一般地： 轉(zhuǎn)置矩陣和分塊矩陣轉(zhuǎn)置矩陣（Transposed matrix）可將對矩陣行與列的研究，轉(zhuǎn)化為對其中之一的研究設(shè) , 稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，有的教科書上記

7、為 , 易見：轉(zhuǎn)置矩陣具有以下性質(zhì)： (可用數(shù)學(xué)歸納法推廣至多個矩陣的情形)轉(zhuǎn)置矩陣和分塊矩陣分塊矩陣用水平線或垂直線將矩陣 分成若干個小矩陣，并將A視為以這些小矩陣為元素組成的矩陣，稱之為A的分塊矩陣，其中的每個小矩陣稱為A的子矩陣。一般用 表示r行s列的分塊矩陣，Aij為其第i行第j列上的子矩陣, i = 1, , r, j = 1, , s分塊矩陣的相等若兩個分塊矩陣恢復(fù)成普通矩陣是相等，則稱此兩分塊矩陣相等對 、 用相同的劃分法分為分塊矩陣，則矩陣加法、減法和數(shù)乘矩陣的法則可推廣到分塊矩陣上分塊矩陣的加法、減法、數(shù)乘其中 ， , 則 1。2。將 的列， 的行用相同的劃分法劃分為分塊矩陣

8、，則矩陣乘法可推廣到分塊矩陣上。分塊矩陣的乘法和轉(zhuǎn)置令 , 其中i = 1, , r, j = 1, , s，則分塊矩陣的轉(zhuǎn)置欲求分塊矩陣的轉(zhuǎn)置，只要將其對應(yīng)行列互換，然后將其中的每個子矩陣轉(zhuǎn)置即可分塊矩陣的乘法和轉(zhuǎn)置則其轉(zhuǎn)置矩陣為矩陣的秩矩陣的秩矩陣A的k階子式設(shè) ，在A中任取k行、k列位于這些行列相交處的元素構(gòu)成的k階行列式稱為矩陣A的一個k階子式若 ，A中非零子式的最高階數(shù)r稱為A的秩，記為：若 ，則定義F上所有m行n列且秩為r的矩陣的集合記為：若 ，稱A是行滿秩的；否則稱A是行降秩的，即r m若 ，稱A是列滿秩的；否則稱A是列降秩的，即r n方陣與其行列式的關(guān)系: : rankA =

9、n，稱方陣滿秩、非奇異 : rankA n，稱方陣降秩、奇異矩陣的秩(Continue)矩陣的秩的性質(zhì)矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣的秩相等：初等變換不改變矩陣的秩 ，則 ：滿秩方陣的乘積仍滿秩 可經(jīng)有限次初等變換化為 且A可表示為 其中， 、 , i = 1, , r, j = 1, , t是F上的初等陣推論：數(shù)域F上的滿秩陣可被分解為F上的初等陣之積 可經(jīng)初等行（列）變換化為單位陣，而單位陣在同樣的行（列）變換下化為逆矩陣和矩陣的逆方陣的逆(Inverse)對 ，若存在同階方陣 B，使得 AB = BA = I則稱 A 可逆，并稱 B 為 A 的逆矩陣，簡稱為 A 的逆，記為伴隨矩陣(Adjacent

10、matrix)對 ， 為 detA 中元素 aij 的代數(shù)余子式，則稱為A的伴隨矩陣， detA為方陣A的行列式（determinate）伴隨矩陣的性質(zhì)：若 ，則adjA逆矩陣和矩陣的逆(Continue)逆存在的條件：方陣 有逆的充分必要條件為：且滿足此條件時，A有唯一的逆：若 ，則稱A是滿秩的（或稱A是非奇異的），否則，稱A是降秩的（或稱A是奇異的）逆的性質(zhì)若 ， ，則： ：可推廣至有限個滿秩方陣相乘的情形線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次方程組解的結(jié)構(gòu)解集的幾何特征設(shè)W是F上齊次線性方程組AX = 0所有解的集合，rrankA，n=dim(X), 則W是 ( 或 ）的子空間 ；若A由初等行變換和某些

11、列對換化為分塊矩陣其中r n線性方程組解的結(jié)構(gòu)（Continue）那么矩陣的n r 個列向量 是W的基稱W為齊次線性方程組AX = 0的解空間解空間W的基稱為AX = o的基礎(chǔ)解系F上齊次線性方程組AX = o的解 是其任一基礎(chǔ)解系的線性組合 通常稱為齊次線性方程組AX = 0的通解或一般解線性方程組解的結(jié)構(gòu)（Continue）非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組的一個確定的解稱為它的特解F上非齊次線性方程組的解X，等于它的任一特解 與其對應(yīng)非齊次線性方程組AX = o的通解 之和X通常稱為非齊次線性方程組AX = B的通解或一般解矩陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量設(shè) ，如果 和 ，使得成立，則稱為A的特征值，稱x為A的對應(yīng)于特征值的特征向量特征矩陣設(shè) ，稱為A的特征矩陣矩陣的特征值與特征向量（Continue）特征多項式特征矩陣的行列式稱為A的特征多項式特征方程設(shè) ，稱方程 為A的特征方程（首一的一元n次方程）A的特征值的等價定義：A的特征方程在F上的根稱為A的特征值